Линейная форма

Linear map from a vector space to its field of scalars

В математике линейная форма (также известная как линейный функционал , ^[1] одноформа или ковектор ) — это линейное отображение векторного пространства в его поле скаляров (часто действительных чисел или комплексных чисел ) . .

Если V — векторное пространство над полем k , набор всех линейных функционалов от V до k сам по себе является векторным пространством над k со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно . Это пространство называется двойственным к V пространством или иногда алгебраическим двойственным пространством , если также рассматривается топологическое двойственное пространство . Его часто обозначают Hom( V , k ) , ^[2] или, если понимать поле k , ; ^[3] также используются другие обозначения, такие как , ^{[4] [5]} или ^[2] Когда векторы представлены векторами-столбцами (как это обычно бывает, когда базис фиксирован), то линейные функционалы представляются как векторы-строки , и их значения на определенных векторах задаются матричными произведениями (с вектором-строкой слева). ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{\#}}$ ${\displaystyle V^{\vee }.}$

Примеры

Функция постоянного нуля , отображающая каждый вектор в ноль, тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен ( то есть его диапазон - весь k ).

• Индексация в вектор: второй элемент трехвектора задается одноформой. То есть второй элемент равен ${\displaystyle [0,1,0].}$ ${\displaystyle [x,y,z]}$
  $${\displaystyle [0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.}$$
• Среднее : средний элемент -вектора задается одной формой. То есть, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right].}$
  $${\displaystyle \operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.}$$
• Выборка : выборку с ядром можно считать одной формой, где одна форма — это ядро, перемещенное в соответствующее место.
• Чистая приведенная стоимость чистого денежного потока определяется в одной форме, где – ставка дисконтирования . То есть, ${\displaystyle R(t),}$ ${\displaystyle w(t)=(1+i)^{-t}}$ ${\displaystyle i}$
  $${\displaystyle \mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.}$$

Линейные функционалы в R n

Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве представлены как векторы-столбцы ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Для каждого вектора-строки существует линейный функционал, определяемый формулой ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {a} }}$

$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$$

Это можно интерпретировать либо как матричное произведение, либо как скалярное произведение вектора-строки и вектора-столбца : ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

След квадратной матрицы

След квадратной матрицы — это сумма всех элементов ее главной диагонали . Матрицы можно умножать на скаляры, а две матрицы одного размера можно складывать вместе; эти операции создают векторное пространство из набора всех матриц. След является линейным функционалом на этом пространстве, поскольку и для всех скаляров и всех матриц ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B.}$

(Определенная) интеграция

Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе , исследовании векторных пространств функций . Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана.

$${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$

${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$$

Оценка

Пусть обозначает векторное пространство вещественных полиномиальных функций степени, определенной на интервале. Если то пусть – оценочный функционал ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$$

${\displaystyle f\mapsto f(c)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$$

Если точки в различны, то оценочные функционалы образуют основу двойственного пространства (Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя интерполяцию Лагранжа ). ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}},}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

Непример

Функция, имеющая уравнение прямой с (например, ), не является линейным функционалом на , поскольку она не является линейной . ^{[nb 1]} Однако он аффинно-линейный . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=a+rx}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle f(x)=1+2x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Визуализация

Геометрическая интерпретация 1-формы α как стека гиперплоскостей постоянного значения, каждая из которых соответствует тем векторам, которые α сопоставляются с заданным скалярным значением, показанным рядом с ним вместе с «смыслом» увеличения. нулевая плоскость проходит через начало координат.

В конечных измерениях линейный функционал можно визуализировать с точки зрения его наборов уровней — наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях множества уровня линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях они представляют собой параллельные гиперплоскости . Этот метод визуализации линейных функционалов иногда встречается в текстах по общей теории относительности , таких как «Гравитация» Миснера, Торна и Уиллера (1973).

Приложения

Приложение к квадратуре

Если точки в [ a , b ] различны , то линейные функционалы, определенные выше, образуют базис двойственного пространства к _Pn , пространства полиномов степени _. Функционал интегрирования I также является линейным функционалом на Pn , и поэтому может выражаться как линейная комбинация этих базисных элементов. В символах существуют коэффициенты, для которых ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle \leq n.}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$$

числовых квадратур^[6] ${\displaystyle f\in P_{n}.}$

В квантовой механике

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике . Квантово - механические системы представлены гильбертовыми пространствами , которые антиизоморфны своим собственным двойственным пространствам. Состояние квантовомеханической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. обозначение bra–ket .

Распределения

В теории обобщенных функций некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями , могут быть реализованы как линейные функционалы на пространствах основных функций .

Двойные векторы и билинейные формы

Линейные функционалы (1-формы) α , β и их сумма σ и векторы u , v , w в трёхмерном евклидовом пространстве . Количество гиперплоскостей (1-формы) , пересекаемых вектором, равно скалярному произведению . ^[7]

Каждая невырожденная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве V индуцирует изоморфизм V → V ^∗  : v ↦ v ^∗ такой, что

$${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}$$

где обозначена билинейная форма на V ( например, в евклидовом пространстве — скалярное произведение v и w ). ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \langle v,w\rangle =v\cdot w}$

Обратный изоморфизм — это V ^∗ → V  : v ^∗ ↦ v , где v — единственный элемент V такой, что

$${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)}$$

${\displaystyle w\in V.}$

Определенный выше вектор v ^∗ ∈ V ^∗ называется двойственным вектором ${\displaystyle v\in V.}$

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты справедливы по теореме о представлении Рисса . Существует отображение V ↦ V ^∗ из V в его непрерывное сопряженное пространство V ^∗ .

Отношение к базам

Основа двойного пространства

Пусть векторное пространство V имеет базис , не обязательно ортогональный . Тогда двойственное пространство имеет базис , называемый двойственным базисом , определяемый особым свойством, заключающимся в том, что ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$

$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}}$$

Или, более кратко,

$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}$$

где δ — дельта Кронекера . Здесь верхние индексы базисных функционалов являются не экспонентами, а контравариантными индексами.

Линейный функционал, принадлежащий дуальному пространству, может _быть выражен как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») ui , ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$

$${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$$

Затем применение функционала к базисному вектору дает ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

$${\displaystyle {\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]}$$

вследствие линейности скалярных кратных функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. Затем

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, каждый компонент линейного функционала можно извлечь, применив его к соответствующему базисному вектору.

Двойной базис и внутренний продукт

Когда пространство V несет скалярное произведение , то можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис. В трех измерениях ( n = 3 ) двойственный базис можно записать явно. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.}$

$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$

—Чивитаскалярное произведениеV. ${\displaystyle i=1,2,3,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

В более высоких измерениях это обобщается следующим образом

$${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,}$$

оператор звезды Ходжа ${\displaystyle \star }$

Через кольцо

Модули над кольцом являются обобщением векторных пространств, что снимает ограничение на принадлежность коэффициентов полю . Для модуля M над кольцом R линейная форма на M — это линейное отображение из M в R , причем последнее рассматривается как модуль над самим собой. Пространство линейных форм всегда обозначается Hom _k ( V , k ) независимо от того, является ли k полем или нет. Это правый модуль , если V — левый модуль.

Существование «достаточного» количества линейных форм на модуле эквивалентно проективности . ^[8]

Лемма о двойственном базисе  .  R - модуль M проективен тогда и только тогда , когда существуют такое подмножество и линейные формы , что для каждого только конечное число ненулевых и ${\displaystyle A\subset M}$ ${\displaystyle \{f_{a}\mid a\in A\}}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle f_{a}(x)}$

$${\displaystyle x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}}$$

Смена поля

Предположим, что это векторное пространство над. Ограничение скалярного умножения дает начало вещественному векторному пространству ^[9] , называемому реализацией . Любое векторное пространство над также является векторным пространством над , наделенным сложной структурой ; то есть существует такое вещественное векторное подпространство , которое мы можем (формально) записать как -векторное пространство. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Действительные и сложные линейные функционалы

Каждый линейный функционал на является комплекснозначным, а каждый линейный функционал на — вещественным. Если тогда линейный функционал на любом из или нетривиален (то есть не тождественен ), тогда и только тогда, когда он сюръективен (потому что если тогда для любого скаляра ), где образ линейного функционала на является в то время как образ линейного Функционал on является Следовательно, единственная функция on , которая является одновременно линейным функционалом on и линейной функцией on, — это тривиальный функционал; другими словами, где обозначает алгебраическое двойственное пространство пространства . Однако каждый -линейный функционал on является -линейным оператором (это означает, что он аддитивен и однороден по ), но если он не является тождественным, он не является -линейным функционалом по , потому что его диапазон (который равен ) двумерен по . И наоборот, ненулевой -линейный функционал имеет слишком малый диапазон, чтобы быть также -линейным функционалом. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},}$ ${\displaystyle \,{\cdot }^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Действительные и мнимые части

Если тогда обозначим его действительную часть через , а мнимую часть через Тогда и являются линейными функционалами от и Из того, что для всех, следует, что для всех ^[9] ${\displaystyle \varphi \in X^{\#}}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.}$ ${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}}$$

^[10] ${\displaystyle \varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).}$

Присвоение определяет биективный ^[10] -линейный оператор , обратным которому является отображение, определенное присваиванием , которое отправляет линейный функционал, определенный формулой ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle g\mapsto L_{g}}$ ${\displaystyle g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{g}:X\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.}$$

^[10] ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{g+h}=L_{g}+L_{h}}$ ${\displaystyle L_{rg}=rL_{g}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto I(ix)+iI(x).}$

Это соотношение было обнаружено Генри Лёвигом в 1934 г. (хотя обычно его приписывают Ф. Мюррею) ^[11] и может быть естественным образом обобщено на произвольные конечные расширения поля . Это имеет множество важных последствий, некоторые из которых сейчас будут описаны.

Свойства и отношения

Пусть — линейный функционал с действительной и мнимой частью. ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .}$

Тогда тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }=0}$ ${\displaystyle \varphi _{i}=0.}$

Предположим, что это топологическое векторное пространство . Тогда непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна его действительная часть, тогда и только тогда, когда непрерывна его мнимая часть . То есть либо все три из и непрерывны, либо ни один из них не является непрерывным. Это останется верным, если слово «непрерывный» заменить словом « ограниченный ». В частности, тогда и только тогда, когда где штрих обозначает непрерывное двойственное пространство пространства . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$

Пусть Если для всех скаляров единичной длины (что означает ), то ^{[доказательство 1] [12]} ${\displaystyle B\subseteq X.}$ ${\displaystyle uB\subseteq B}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |u|=1}$

$${\displaystyle \sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.}$$

${\displaystyle \varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle iB\subseteq B}$

$${\displaystyle \sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.}$$

нормированное пространствоверхние граниоператорными нормами^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle \varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$

$${\displaystyle \|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.}$$

полярмножествтопологических векторных пространствах

• Если это комплексное гильбертово пространство с (комплексным) внутренним произведением , антилинейным по первой координате (и линейным по второй), то оно становится реальным гильбертовым пространством, если наделить его вещественной частью . Явно, это вещественное внутреннее произведение на определяется формулой для всех , и это индуцирует ту же норму, что и для всех векторов. Применение теоремы о представлении Рисса к (соответственно к ) гарантирует существование уникального вектора (соответственно ) такого, что (соответственно ) для всех векторов. Теорема также гарантирует, что и Легко проверить, что Now и предыдущие равенства влекут за собой тот же вывод, к которому пришли выше. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle {\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{\varphi }\in X}$ ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle }$ ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.}$ ${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|}$ ${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},}$

В бесконечных измерениях

Ниже все векторные пространства относятся либо к действительным , либо к комплексным числам. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Если — топологическое векторное пространство , то пространство непрерывных линейных функционалов — непрерывное двойственное — часто называют просто двойственным пространством. Если — банахово пространство , то также и его (непрерывное) двойственное пространство. Чтобы отличить обычное дуальное пространство от непрерывного дуального пространства, первое иногда называют алгебраическим дуальным пространством . В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный функционал аналогичен алгебраическому двойственному, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный функционал является собственным подпространством алгебраически двойственного. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Линейный функционал f в топологическом векторном пространстве X (не обязательно локально выпуклом ) непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма p на X такая, что ^[13] ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Характеристика замкнутых подпространств

Непрерывные линейные функционалы обладают хорошими свойствами для анализа : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро ​​замкнуто ^[14] , а нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением , даже если (топологическое) векторное пространство не является полным. . ^[15]

Гиперплоскости и максимальные подпространства

Векторное подпространство называется максимальным, если ( значение и ) и не существует такого векторного подпространства , что векторное подпространство максимально тогда и только тогда, когда оно является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на (т. е. для некоторого линейный функционал при этом не тождественен 0 ). Аффинная гиперплоскость в является транслятом максимального векторного подпространства. В силу линейности подмножество является аффинной гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует нетривиальный линейный функционал на такой, что ^[11] Если является линейным функционалом и является скаляром, то это равенство можно использовать для связи различных множеств уровня более того , если то ядро ​​можно восстановить по аффинной гиперплоскости с помощью ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subsetneq X}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle M\neq X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subsetneq N\subsetneq X.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M=\ker f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H:=f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle \ker f=H-H.}$

Отношения между несколькими линейными функционалами

Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Теорема ^{[16] [17]}  —  Если линейные функционалы на X , то следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}}$

1. f можно записать как линейную комбинацию ; то есть существуют скаляры такие, что ; ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}}$
2. ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f}$;
3. существует такое вещественное число r , что для всех и вся ${\displaystyle |f(x)|\leq rg_{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Если f — нетривиальный линейный функционал на X с ядром N , удовлетворяет условиям и U — сбалансированное подмножество X , то тогда и только тогда, когда для всех ^[15] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=1,}$ ${\displaystyle N\cap (x+U)=\varnothing }$ ${\displaystyle |f(u)|<1}$ ${\displaystyle u\in U.}$

Теорема Хана – Банаха

Любой (алгебраический) линейный функционал в векторном подпространстве можно расширить на все пространство; например, описанные выше функционалы оценки могут быть расширены на векторное пространство полиномов для всех. Однако это расширение не всегда может быть выполнено, сохраняя при этом непрерывный линейный функционал. Семейство теорем Хана – Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например, ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Теорема Хана–Банаха о доминируемом расширении ^[18] (Рудин 1991, теорема 3.2)  —  Если это сублинейная функция и линейный функционал в линейном подпространстве , в котором доминирует p на M , то существует линейное расширение f до все пространство X , в котором доминирует p , т. е. существует линейный функционал F такой, что ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle F(m)=f(m)}$$

для всех и ${\displaystyle m\in M,}$

$${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$$

для всех ${\displaystyle x\in X.}$

Равнонепрерывность семейств линейных функционалов

Пусть X — топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством ${\displaystyle X'.}$

Для любого подмножества H следующие утверждения эквивалентны: ^[19] ${\displaystyle X',}$

1. H равностепенно непрерывен;
2. H содержится в поляре некоторой окрестностив X ; ${\displaystyle 0}$
3. (пре)полярная точка H является окрестностью в X ; ${\displaystyle 0}$

Если H — равностепенно непрерывное подмножество, то следующие множества также равнонепрерывны: слабое замыкание, сбалансированная оболочка , выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка . ^[19] Более того, из теоремы Алаоглу следует, что слабое* замыкание равностепенно непрерывного подмножества является слабо* компактным (и, таким образом, каждое равноравномерно непрерывное подмножество слабо* относительно компактно). ^{[20] [19]} ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$

Смотрите также

• Прерывистая линейная карта
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Положительный линейный функционал  – упорядоченное векторное пространство с частичным порядком.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Мультилинейная форма  – отображение нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу.
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.

Примечания

Сноски

1. Например, ${\displaystyle f(1+1)=a+2r\neq 2a+2r=f(1)+f(1).}$

Доказательства

1. Это правда, если так, то предположим иначе. Поскольку для всех скаляров следует, что Если то пусть и таковы, что и где, если тогда взять Тогда и поскольку является действительным числом, По предположению так Поскольку было произвольным, отсюда следует, что ${\displaystyle B=\varnothing }$ ${\displaystyle \left|\operatorname {Re} z\right|\leq |z|}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,}$ ${\textstyle \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|\leq \sup _{x\in B}|\varphi (x)|.}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle r_{b}\geq 0}$ ${\displaystyle u_{b}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left|u_{b}\right|=1}$ ${\displaystyle \varphi (b)=r_{b}u_{b},}$ ${\displaystyle r_{b}=0}$ ${\displaystyle u_{b}:=1.}$ ${\displaystyle |\varphi (b)|=r_{b}}$ ${\textstyle \varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}}$ ${\textstyle \varphi _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=\varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{u_{b}}}b\in B}$ ${\textstyle |\varphi (b)|=r_{b}\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\textstyle \sup _{x\in B}|\varphi (x)|\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Рекомендации

1. Экслер (2015) с. 101, §3.92
2. Ту (2011) с. 19, §3.1
3. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 37, §2.1.3
4. Экслер (2015) с. 101, §3.94
5. Халмос (1974) с. 2013
6. Лакс 1996
7. Миснер, Торн и Уиллер (1973), с. 57
8. Кларк, Пит Л. Коммутативная алгебра (PDF) . Неопубликовано. Лемма 3.12.
9. Рудин 1991, стр. 57.
10. Narici & Beckenstein 2011, стр. 9–11.
11. Narici & Beckenstein 2011, стр. 10–11.
12. Narici & Beckenstein 2011, стр. 126–128.
13. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 126.
14. Рудин 1991, Теорема 1.18.
15. Narici & Beckenstein 2011, с. 128.
16. Рудин 1991, стр. 63–64.
17. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 1–18.
18. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 177–220.
19. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
20. Шефер и Вольф 1999, следствие 4.3.

Библиография

• Экслер, Шелдон (2015), Правильно выполненная линейная алгебра , Тексты для бакалавров по математике (3-е изд.), Springer , ISBN 978-3-319-11079-0
• Бишоп, Ричард ; Гольдберг, Сэмюэл (1980), «Глава 4», Тензорный анализ многообразий, Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN 0-471-60848-3. ОСЛК  18412261.
• Халмос, Пол Ричард (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике (1958, 2-е изд.), Springer , ISBN 0-387-90093-4
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008), A (краткое) Введение в линейную алгебру , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Лакс, Питер (1996), Линейная алгебра , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шутц, Бернард (1985), «Глава 3», Первый курс общей теории относительности , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Springer , ISBN 978-0-8218-4419-9
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.