Топологическое векторное пространство

Векторное пространство с понятием близости

В математике топологическое векторное пространство (также называемое линейным топологическим пространством и обычно сокращенно TVS или tvs ) является одной из основных структур, исследуемых в функциональном анализе . Топологическое векторное пространство — это векторное пространство , которое также является топологическим пространством , обладающим тем свойством, что операции с векторным пространством (сложение векторов и скалярное умножение) также являются непрерывными функциями . Такая топология называется векторной топологией , и каждое топологическое векторное пространство имеет однородную топологическую структуру , что допускает понятие равномерной сходимости и полноты . Некоторые авторы также требуют, чтобы пространство было хаусдорфовым пространством (хотя в этой статье это не так). Одной из наиболее широко изученных категорий ТВС являются локально выпуклые топологические векторные пространства . В этой статье основное внимание уделяется TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми. Банаховы пространства , гильбертовы пространства и пространства Соболева — другие известные примеры TVS.

Многие топологические векторные пространства представляют собой пространства функций или линейных операторов , действующих на топологические векторные пространства, и топология часто определяется так, чтобы отразить конкретное понятие сходимости последовательностей функций.

В этой статье предполагается, что скалярное поле топологического векторного пространства представляет собой либо комплексные числа , либо действительные числа , если явно не указано иное. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Мотивация

Нормированные пространства

Каждое нормированное векторное пространство имеет естественную топологическую структуру : норма индуцирует метрику , а метрика индуцирует топологию. Это топологическое векторное пространство, потому что:

1. Карта сложения векторов , определяемая (совместно) непрерывна относительно этой топологии. Это следует непосредственно из неравенства треугольника , подчиняющегося норме. ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$
2. Карта скалярного умножения , определяемая как базовое скалярное поле, является (совместно) непрерывной. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы. ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto s\cdot x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X,}$

Таким образом, все банаховы и гильбертовы пространства являются примерами топологических векторных пространств.

Ненормированные пространства

Существуют топологические векторные пространства, топология которых не индуцируется нормой, но все же представляют интерес для анализа. Примерами таких пространств являются пространства голоморфных функций на открытой области, пространства бесконечно дифференцируемых функций , пространства Шварца , пространства основных функций и пространства распределений на них. ^[1] Все это примеры пространств Монтеля . Бесконечномерное пространство Монтеля никогда не является нормируемым. Существование нормы для данного топологического векторного пространства характеризуется критерием нормируемости Колмогорова .

Топологическое поле — это топологическое векторное пространство над каждым из своих подполей .

Определение

Семейство окрестностей начала координат с двумя указанными выше свойствами однозначно определяет топологическое векторное пространство. Система окрестностей любой другой точки векторного пространства получается сдвигом .

Топологическое векторное пространство ( TVS ) — это векторное пространство над топологическим полем (чаще всего вещественных или комплексных чисел с их стандартной топологией), которое наделено такой топологией, что векторное сложение и скалярное умножение являются непрерывными функциями (где области определения этих функции наделены топологиями продуктов ). Такая топология называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X}$ ${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times X\to X}$векторная топология илиТопология TVS включена ${\displaystyle X.}$

Каждое топологическое векторное пространство также является коммутативной топологической группой при сложении.

предположение Хаусдорфа

Многие авторы (например, Вальтер Рудин ), но не эта страница, требуют, чтобы топология on была T 1 ; отсюда следует, что пространство хаусдорфово и даже тихоновское . Топологическое векторное пространство называется ${\displaystyle X}$отделяется , если это Хаусдорф; Важно отметить, что «отделенный» не означает «отделимый». Топологические и линейные алгебраические структуры можно еще теснее связать вместе с помощью дополнительных предположений, наиболее распространенные из которых перечислены ниже.

Категория и морфизмы

Категорию топологических векторных пространств над данным топологическим полем обычно обозначают или. Объекты представляют собой топологические векторные пространства, а морфизмы представляют собой непрерывные -линейные отображения одного объекта в другой. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }}$ ${\displaystyle \mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Агомоморфизм топологического векторного пространства (сокращенноTVS-гомоморфизм ), также называемыйтопологический гомоморфизм ,^[2][3]— этонепрерывное линейное отображение между топологическими векторными пространствами (TVS), такое, что индуцированное отображениеявляетсяоткрытым отображением,когдадиапазон или образ которогозаданытопологией подпространства,индуцированной ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u:X\to \operatorname {Im} u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} u:=u(X),}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle Y.}$

Авложение топологического векторного пространства (сокращенноTVS-вложение ), также называемоетопологический мономорфизм —инъективныйтопологический гомоморфизм. Эквивалентно, TVS-вложение — это линейное отображение, которое также являетсятопологическим вложением. ^[2]

Аизоморфизм топологического векторного пространства (сокращенноTVS-изоморфизм ), также называемыйтопологический векторный изоморфизм ^[4]илиизоморфизм в категории TVS , является биективнымлинейным гомеоморфизмом. Эквивалентно, этосюръективноеTVS-вложение^[2]

Многие свойства TVS, которые изучаются, такие как локальная выпуклость , метризуемость , полнота и нормируемость , инвариантны относительно TVS-изоморфизмов.

Необходимое условие векторной топологии.

Совокупность подмножеств векторного пространства называется аддитивной ^[5] , если для каждого существует такое, что ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq N.}$

Характеристика непрерывности сложения в ^[5] ${\displaystyle 0}$  —  Если группа (как и все векторные пространства), является топологией и наделена топологией произведения , то карта сложения ( определяемая ) непрерывна в начале if и только если множество окрестностей начала координат в аддитивно. Это утверждение остается верным, если слово «соседство» заменить на «открытое соседство». ${\displaystyle (X,+)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Следовательно, все вышеперечисленные условия являются необходимыми для того, чтобы топология сформировала векторную топологию.

Определение топологий с использованием окрестностей начала координат

Поскольку каждая векторная топология является трансляционно-инвариантной (что означает, что для всего отображения , определяемого как гомеоморфизм ), для определения векторной топологии достаточно определить для нее базис (или подбазис) окрестности в начале координат. ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$

Теорема ^[6]  (Фильтр окрестности начала координат)  .  Предположим, что это действительное или комплексное векторное пространство. Если это непустой аддитивный набор сбалансированных и поглощающих подмножеств, то это база соседства at для векторной топологии. То есть предполагается, что это база фильтра , которая удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Каждый сбалансирован и поглощающ , _ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является аддитивным: для каждого существует такое, что ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle U+U\subseteq B,}$

Если он удовлетворяет двум вышеуказанным условиям, но не является базой фильтра, то он будет формировать подбазис окрестности ( а не базис окрестности) для векторной топологии на ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Вообще говоря, совокупность всех сбалансированных и поглощающих подмножеств векторного пространства не удовлетворяет условиям этой теоремы и не образует базиса окрестности в начале координат ни для какой векторной топологии. ^[5]

Определение топологий с использованием строк

Пусть - векторное пространство и пусть - последовательность подмножеств каждого множества в последовательности называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$узел идля каждого индексаназывается-м узлом множества.Множествоназываетсяначаломпоследовательности.Последовательностьесть/есть a:^[7][8][9] ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{\bullet }.}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$

• Суммативный , еслидля каждого индекса ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• Сбалансированный (соответственно поглощающий , закрытый , ^{[примечание 1]} выпуклый , открытый , симметричный , бочкообразный , абсолютно выпуклый/дисковый и т. д.), если это верно для каждого ${\displaystyle U_{i}.}$
• Строка ifявляется суммирующей, поглощающей и сбалансированной. ${\displaystyle U_{\bullet }}$
• Топологическая строка илистрока окрестности в TVS, еслиявляется строкой и каждый ее узел является окрестностью начала координат в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$

Если это поглощающий диск в векторном пространстве , то последовательность, определенная формирует строку, начинающуюся с Это называется натуральной строкой из ^[7] . Более того, если векторное пространство имеет счетную размерность, то каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}:=2^{1-i}U}$ ${\displaystyle U_{1}=U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Суммативные последовательности множеств обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные субаддитивные функции с действительным знаком. Эти функции затем можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств.

Теорема  ( -значная функция, индуцированная строкой) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .  Пусть это набор подмножеств векторного пространства такой, что и для всех. Для всех пусть ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\in U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 0.}$ ${\displaystyle u\in U_{0},}$

$${\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}$$

Определите , если и в противном случае пусть ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\not \in U_{0}}$

$${\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}$$

Тогда является субаддитивным (то есть для всех ) и так , в частности, если все являются симметричными множествами , то и если все сбалансированы, то для всех скаляров таких, что и все If является топологическим векторным пространством и если все являются окрестностями начала координат, то оно непрерывно. , где, кроме того, является хаусдорфовой и образует базис сбалансированных окрестностей начала координат в, то является метрикой, определяющей векторную топологию на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f(sx)\leq f(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательство указанной теоремы дано в статье о метризуемых топологических векторных пространствах .

Если и — два набора подмножеств векторного пространства и если — скаляр, то по определению: ^[7] ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle V_{\bullet }}$ содержит : тогда и только тогда, когда для каждого индекса ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq V_{i}}$ ${\displaystyle i.}$
• Набор узлов : ${\displaystyle \ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.}$
• Ядро : ${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• Скалярное кратное : ${\displaystyle \ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Сумма : ${\displaystyle \ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$
• Пересечение : ${\displaystyle \ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$

Если это коллекция последовательностей подмножеств, то говорят, что она направлена ​​( вниз ) при включении или просто направлена ​​вниз , если не пуста и для всех существует такая, что и (говоря по-другому, тогда и только тогда, когда является префильтром по отношению к сдерживание, определенное выше). ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }}$ ${\displaystyle W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Обозначения : Пусть это множество всех узлов всех струн в ${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Определение векторных топологий с использованием наборов строк особенно полезно для определения классов TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми.

Теорема ^[7]  (Топология, индуцированная строками)  .  Если это топологическое векторное пространство, то существует набор ^{[доказательство 1]} соседних строк в нем, направленный вниз и такой, что набор всех узлов всех строк в нем является базисом соседства. в начале. Такой набор строк называется фундаментальным . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle \tau }$

И наоборот, если векторное пространство и набор строк в нем направлены вниз, то множество всех узлов всех строк в образует базис окрестности в начале координат для векторной топологии . В этом случае эта топология обозначается by и называется топологией, порожденной ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Если - множество всех топологических строк в ТВС, то ^[7] Хаусдорфова ТВС метризуема тогда и только тогда, когда ее топология может быть индуцирована одной топологической строкой. ^[10] ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\mathbb {S} }=\tau .}$

Топологическая структура

Векторное пространство является абелевой группой относительно операции сложения, а в топологическом векторном пространстве обратная операция всегда непрерывна (поскольку она аналогична умножению на ). Следовательно, каждое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой . Любой ТВС совершенно регулярен , но ТВС не обязательно должен быть нормальным . ^[11] ${\displaystyle -1}$

Пусть – топологическое векторное пространство. Для данного подпространства фактор-пространство с обычной фактор-топологией является топологическим векторным пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когда оно замкнуто. ^{[примечание 2]} Это позволяет следующую конструкцию: учитывая топологическое векторное пространство (которое, вероятно, не является Хаусдорфовым), сформировать фактор-пространство, где замыкание является тогда топологическим векторным пространством Хаусдорфа, которое можно изучать вместо ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X,}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$

Инвариантность векторных топологий

Одним из наиболее часто используемых свойств векторных топологий является то, что каждая векторная топология являетсяинвариант перевода :

для всего отображения , определенного как, является гомеоморфизмом , но если тогда оно не линейно и, следовательно, не является TVS-изоморфизмом. ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto x_{0}+x}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$

Скалярное умножение на ненулевой скаляр является TVS-изоморфизмом. Это означает, что если то линейное отображение , определенное посредством, является гомеоморфизмом. Использование создает отображение отрицания , определенное которым, следовательно, является линейным гомеоморфизмом и, следовательно, TVS-изоморфизмом. ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto sx}$ ${\displaystyle s=-1}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto -x,}$

Если и любое подмножество , то ^[6] и, более того, if then является окрестностью (соответственно открытой окрестностью, закрытой окрестностью) in тогда и только тогда, когда то же самое верно и для начала координат. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Местные понятия

Говорят, что подмножеством векторного пространства является ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• поглощающий (в): если для каждогосуществуеттакое вещественное число, чтодля любого скаляра, удовлетворяющего ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in E}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
• сбалансированный или обведенный кружком : еслидля каждого скаляра ^[12] ${\displaystyle tE\subseteq E}$ ${\displaystyle |t|\leq 1.}$
• выпуклый : еслидля каждого действительного ^[12] ${\displaystyle tE+(1-t)E\subseteq E}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$
• диск или абсолютно выпуклый : если выпуклый и уравновешенный. ${\displaystyle E}$
• симметричный : еслиили, что то же самое, если ${\displaystyle -E\subseteq E,}$ ${\displaystyle -E=E.}$

Каждая окрестность начала координат является поглощающим множеством и содержит открытую сбалансированную окрестность из ^[6] , поэтому каждое топологическое векторное пространство имеет локальную базу поглощающих и сбалансированных множеств . Начало координат даже имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых сбалансированных окрестностей, а если пространство локально выпуклое, то оно также имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых выпуклых сбалансированных окрестностей начала координат. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0;}$

Ограниченные подмножества

Подмножество топологического векторного пространства ограничено ^[13] , если для каждой окрестности начала координат существует такое, что . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV}$

Определение ограниченности можно несколько ослабить; ограничено тогда и только тогда, когда ограничено каждое его счетное подмножество. Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждая его подпоследовательность является ограниченным множеством. ^[14] Кроме того, ограничено тогда и только тогда, когда для каждой сбалансированной окрестности начала координат существует такое, что Более того, когда локально выпукло, ограниченность может быть охарактеризована полунормами : подмножество ограничено тогда и только тогда, когда каждая непрерывная полунорма ограничено на ^[15] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E\subseteq tV.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E.}$

Всякое вполне ограниченное множество ограничено. ^[14] Если — векторное подпространство TVS, то подмножество ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено в ^[14] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

метризуемость

Теорема Биркгофа – Какутани.  Если  —топологическое векторное пространство, то следующие четыре условия эквивалентны: ^{[16] [примечание 3]} ${\displaystyle (X,\tau )}$

1. Начало координат замкнуто, и в начале координат существует счетный базис окрестностей. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. ${\displaystyle (X,\tau )}$метризуемо ( как топологическое пространство).
3. Существует трансляционно-инвариантная метрика , которая индуцирует топологию , которая является заданной топологией на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle (X,\tau )}$— метризуемое топологическое векторное пространство . ^{[примечание 4]}

По теореме Биркгофа–Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , которая является трансляционно-инвариантной.

TVS псевдометризуем тогда и только тогда, когда он имеет счетный базис окрестностей в начале координат или эквивалентен ему тогда и только тогда, когда его топология порождается F -полунормой . ТВС метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.

Более строго: топологическое векторное пространство называется нормируемым, если его топология может быть индуцирована нормой. Топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат. ^[17]

Пусть – недискретное локально компактное топологическое поле, например вещественных или комплексных чисел. Топологическое векторное пространство Хаусдорфа над локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно , т. е. изоморфно для некоторого натурального числа ^[18] ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Полнота и единая структура

Каноническая однородность ^[19] на TVS — это уникальная трансляционно-инвариантная однородность , которая индуцирует топологию на TVS. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Предполагается, что каждая ТВС наделена этой канонической однородностью, которая превращает все ТВС в однородные пространства . Это позволяет говорить ^{[ необходимы пояснения ]} о родственных понятиях, таких как полнота , равномерная сходимость , сети Коши, равномерная непрерывность и т. д., которые всегда предполагаются относительно этой однородности (если не указано иное). Это означает, что каждое топологическое векторное пространство Хаусдорфа является тихоновским . ^[20] Подмножество ТВС компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено (для хаусдорфовых ТВС вполне ограниченное множество эквивалентно тому, что оно предкомпактно ). Но если TVS не хаусдорфово, то существуют незамкнутые компактные подмножества. Однако замыкание компактного подмножества нехаусдорфовой TVS снова компактно (поэтому компактные подмножества относительно компактны ).

С точки зрения этой однородности сеть (или последовательность ) является Коши тогда и только тогда, когда для каждой окрестности существует такой индекс , что всякий раз и ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in V}$ ${\displaystyle i\geq n}$ ${\displaystyle j\geq n.}$

Любая последовательность Коши ограничена, хотя сети Коши и фильтры Коши могут быть не ограничены. Топологическое векторное пространство, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется секвенциально полным ; вообще говоря, оно может быть не полным (в том смысле, что все фильтры Коши сходятся).

Операция сложения в векторном пространстве является равномерно непрерывной и представляет собой открытое отображение. Скалярное умножение является непрерывным по Коши , но, вообще говоря, оно почти никогда не бывает равномерно непрерывным. Благодаря этому каждое топологическое векторное пространство может быть полным и, таким образом, является плотным линейным подпространством полного топологического векторного пространства .

• Любая ТВС имеет пополнение , а каждая ТВС Хаусдорфа имеет пополнение Хаусдорфа. ^[6] Каждая ТВС (даже хаусдорфова и/или полная) имеет бесконечное количество неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.
• Компактное подмножество ТВС (не обязательно Хаусдорфа) полно. ^[21] Полное подмножество хаусдорфовой ТВС замкнуто. ^[21]
• Если — полное подмножество TVS, то любое замкнутое в нем подмножество является полным. ^[21] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Последовательность Коши в хаусдорфовой ТВС не обязательно является относительно компактной (т. е. ее замыкание в не обязательно компактно). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Если фильтр Коши в ТВС имеет точку накопления , то он сходится к ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
• Если ряд сходится ^{[примечание 5]} в ТВС , то в ^[22] ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры

Самая тонкая и самая грубая векторная топология

Пусть – вещественное или комплексное векторное пространство. ${\displaystyle X}$

Тривиальная топология

Тривиальная топология или недискретная топология всегда является TVS-топологией в любом векторном пространстве и является самой грубой из возможных TVS-топологий. Важным следствием этого является то, что пересечение любого набора топологий TVS всегда содержит топологию TVS. Любое векторное пространство (в том числе бесконечномерное), наделенное тривиальной топологией, является компактным (и, следовательно, локально компактным ) полным псевдометризуемым полунормируемым локально выпуклым топологическим векторным пространством. Это Хаусдорф тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$

Тончайшая векторная топология

Существует топология TVS , называемая ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle X,}$тончайшая векторная топология наэтом тоньше, чем любая другая TVS-топология на(то есть любая TVS-топология наобязательно является подмножеством). ^[23][24]Любое линейное отображение изв другую TVS обязательно непрерывно. Еслиимеет несчетныйбазис Гамеля,тонелокально выпуклоинеметризуемо. ^[24] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{f}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{f}}$

Декартовы произведения

Декартово произведение семейства топологических векторных пространств, наделенное топологией произведения , является топологическим векторным пространством. Рассмотрим, например, набор всех функций , где существует обычная евклидова топология . Это множество представляет собой реальное векторное пространство (где сложение и скалярное умножение, как обычно, определяются поточечно), которое можно отождествить (и действительно часто определяют как) с декартовым произведением , которое несет в себе топологию натурального произведения . С этой топологией продукта становится топологическим векторным пространством, топология которого называется топологией поточечной сходимости на. Причина этого названия следующая: if является последовательностью (или, в более общем смысле, сетью ) элементов в и если затем сходится к в тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа сходится к в Эта ТВС полная , хаусдорфова и локально выпуклая , но не метризуемая и, следовательно, не нормируемая ; действительно, каждая окрестность начала координат в топологии произведения содержит линии (то есть одномерные векторные подпространства, которые являются подмножествами вида с ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },,}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in X}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$

Конечномерные пространства

По теореме Ф. Рисса топологическое векторное пространство Хаусдорфа конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно , что происходит тогда и только тогда, когда оно имеет компактную окрестность начала координат.

Обозначим или и снабдим его обычной хаусдорфовой нормированной евклидовой топологией . Позвольте быть векторным пространством конечной размерности и поэтому это векторное пространство, изоморфное (явно, это означает, что существует линейный изоморфизм между векторными пространствами и ). Это конечномерное векторное пространство всегда имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа , что делает его TVS-изоморфным тому, где наделено обычной евклидовой топологией (которая совпадает с топологией произведения ). Эта векторная топология Хаусдорфа также является (уникальной) лучшей векторной топологией, имеет уникальную векторную топологию тогда и только тогда, когда If then, хотя и не имеет уникальной векторной топологии, но имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle n:=\dim X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=0.}$ ${\displaystyle \dim X\neq 0}$ ${\displaystyle X}$

• If then имеет ровно одну векторную топологию: тривиальную топологию , которая в этом случае (и только в этом случае) является Хаусдорфовой. Тривиальная топология векторного пространства является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда векторное пространство имеет размерность ${\displaystyle \dim X=0}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$
• If then имеет две векторные топологии: обычную евклидову топологию и (нехаусдорфову) тривиальную топологию. ${\displaystyle \dim X=1}$ ${\displaystyle X}$
  • Поскольку поле само по себе является -мерным топологическим векторным пространством и поскольку оно играет важную роль в определении топологических векторных пространств, эта дихотомия играет важную роль в определении поглощающего множества и имеет последствия, которые отражаются на протяжении всего функционального анализа . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Схема доказательства

Доказательство этой дихотомии (т.е. того, что векторная топология либо тривиальна, либо изоморфна ) является простым, поэтому дается только схема с важными наблюдениями. Как обычно, предполагается наличие (нормированной) евклидовой топологии. Пусть для всех Пусть - -мерное векторное пространство над If и - шар с центром, то всякий раз , когда содержит «неограниченную последовательность», под которой понимается последовательность вида где и неограничена в нормированном пространстве (в обычном смысле) . Любая векторная топология на будет трансляционно-инвариантной и инвариантной относительно ненулевого скалярного умножения, и для каждого отображение, заданное выражением, является непрерывной линейной биекцией. Потому что для любого такого каждое подмножество можно записать как для некоторого уникального подмножества. И если эта векторная топология имеет окрестность начала координат, которая не равна всем из, то непрерывность скалярного умножения в начале координат гарантирует существование открытого шара с центром и открытой окрестностью начала координат, что подразумевает, что не содержит никакой «неограниченной последовательности». Это означает, что для каждого существует некоторое положительное целое число такое , что Из этого можно вывести, что if не несет тривиальной топологии и если тогда для любого центра шара в точке 0 in содержит открытую окрестность начала координат, в которой затем доказывается, что линейный гомеоморфизм . КЭД ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}}$ ${\displaystyle r>0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B\cdot S=X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle M_{x}:\mathbb {K} \to X}$ ${\displaystyle M_{x}(a):=ax}$ ${\displaystyle X=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Fx=M_{x}(F)}$ ${\displaystyle F\subseteq \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle B_{r}\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S\subseteq B_{n}x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle M_{x}(B)=Bx}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M_{x}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

• If then имеет бесконечно много различных векторных топологий: ${\displaystyle \dim X=n\geq 2}$ ${\displaystyle X}$
  • Некоторые из этих топологий теперь описаны: Каждый линейный функционал , на котором векторное пространство изоморфно , индуцирует полунорму, определенную следующим образом: где Каждая полунорма индуцирует ( псевдометризуемую локально выпуклую ) векторную топологию на и полунормах с различными ядрами, индуцирует различные топологии, так что, в частности, полунормы на которых индуцируются линейные функционалы с различными ядрами, будут индуцировать различные векторные топологии на ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ ${\displaystyle |f|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle \ker f=\ker |f|.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
  • Однако хотя существует бесконечно много векторных топологий на , когда существуют с точностью до TVS-изоморфизма только векторные топологии на. Например, если тогда векторные топологии на состоят из тривиальной топологии, евклидовой топологии Хаусдорфа, а затем из бесконечного множества оставшихся все нетривиальные неевклидовы векторные топологии на TVS-изоморфны друг другу. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X\geq 2,}$ ${\displaystyle 1+\dim X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle n:=\dim X=2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Невекторные топологии

Дискретная и коконечная топологии

Если это нетривиальное векторное пространство (т. е. ненулевой размерности), то дискретная топология на (которая всегда метризуема ) не является топологией TVS, поскольку, несмотря на то, что сложение и отрицание делаются непрерывными (что превращает ее в топологическую группу при кроме того), он не может сделать скалярное умножение непрерывным. Коконечная топология на (где подмножество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение конечно) также не является топологией TVS на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Линейные карты

Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами, непрерывный в одной точке, непрерывен во всей области. Более того, линейный оператор непрерывен, если он ограничен (как определено ниже) в некоторой окрестности начала координат. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X}$

Гиперплоскость в топологическом векторном пространстве либо плотная, либо замкнутая . Линейный функционал в топологическом векторном пространстве имеет либо плотное, либо замкнутое ядро. Более того, непрерывно тогда и только тогда, когда его ядро ​​замкнуто . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Типы

В зависимости от приложения на топологическую структуру пространства обычно накладываются дополнительные ограничения. Фактически, несколько основных результатов функционального анализа в целом не справедливы для топологических векторных пространств: теорема о замкнутом графике , теорема об открытом отображении и тот факт, что двойственное пространство разделяет точки в пространстве.

Ниже приведены некоторые распространенные топологические векторные пространства, примерно в порядке возрастания «красивости».

• F-пространства — это полные топологические векторные пространства с трансляционно-инвариантной метрикой. ^[25] К ним относятся места для всех ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>0.}$
• Локально выпуклые топологические векторные пространства : здесь каждая точка имеет локальную базу , состоящую из выпуклых множеств . ^[25] С помощью метода, известного как функционалы Минковского, можно показать, что пространство локально выпукло тогда и только тогда, когда его топология может быть определена семейством полунорм. ^[26] Локальная выпуклость является минимальным требованием для «геометрических» аргументов, таких как теорема Хана-Банаха . Пространства локально выпуклы (фактически банаховы пространства) для всех, но не для ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$
• Бочковые пространства : локально выпуклые пространства, в которых справедлива теорема Банаха – Штейнхауза .
• Борнологическое пространство : локально выпуклое пространство, в котором непрерывные линейные операторы любого локально выпуклого пространства являются в точности ограниченными линейными операторами .
• Стереотипное пространство : локально выпуклое пространство, удовлетворяющее варианту условия рефлексивности , где двойственное пространство наделено топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах .
• Пространство Монтеля : бочкообразное пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное множество компактно .
• Пространства Фреше : это полные локально выпуклые пространства, топология которых происходит из трансляционно-инвариантной метрики или, что то же самое: из счетного семейства полунорм. В этот класс попадает много интересных пространств функций — пространство Фреше при полунормах. Локально выпуклое F-пространство является пространством Фреше. ^[25] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$
• LF-пространства являются пределами пространств Фреше . Пространства ILH являются обратными пределами гильбертовых пространств.
• Ядерные пространства : это локально выпуклые пространства, обладающие тем свойством, что каждое ограниченное отображение ядерного пространства в произвольное банахово пространство является ядерным оператором .
• Нормированные пространства и полунормированные пространства : локально выпуклые пространства, топология которых может быть описана одной нормой или полунормой. В нормированных пространствах линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
• Банаховы пространства : Полные нормированные векторные пространства . Большая часть функционального анализа сформулирована для банаховых пространств. К этому классу относятся пространства с пространством функций ограниченной вариации и некоторые пространства мер. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle BV}$
• Рефлексивные банаховы пространства : банаховы пространства, естественно изоморфные своему двойному двойнику (см. ниже), что гарантирует возможность проведения некоторых геометрических рассуждений. Важным примером, который не является рефлексивным, является , двойственное которого есть , но строго содержится в двойственном к ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$
• Гильбертовы пространства : у них есть внутренний продукт ; даже несмотря на то, что эти пространства могут быть бесконечномерными, в них можно проводить большинство геометрических рассуждений, знакомых по конечным измерениям. К ним относятся пространства, пространства Соболева и пространства Харди . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle W^{2,k},}$
• Евклидовы пространства : или с топологией, индуцированной стандартным скалярным произведением. Как указывалось в предыдущем разделе, для данного конечного числа существует только одномерное топологическое векторное пространство с точностью до изоморфизма. Отсюда следует, что любое конечномерное подпространство ТВС замкнуто. Характеристика конечномерности состоит в том, что хаусдорфова ТВС локально компактна тогда и только тогда, когда она конечномерна (следовательно, изоморфна некоторому евклидову пространству). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

Двойное пространство

Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное двойственное пространство — набор всех непрерывных линейных функционалов, то есть непрерывных линейных отображений пространства в основное поле. Топологию двойственного пространства можно определить как самую грубую топологию, такую, что каждое двойственное спаривание Оценка баллов является непрерывной. Это превращает двойственное пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство. Эта топология называется топологией слабого* . ^[27] Возможно, это не единственная естественная топология в двойственном пространстве; например, в двойственном нормированном пространстве определена естественная норма. Однако он очень важен в приложениях из-за своих свойств компактности (см. теорему Банаха–Алаоглу ). Внимание: всякий раз, когда является ненормируемым локально выпуклым пространством, тогда отображение спаривания никогда не является непрерывным, независимо от того, какую топологию векторного пространства вы выбираете. Топологическое векторное пространство имеет нетривиальное непрерывное двойственное пространство тогда и только тогда, когда оно имеет собственное выпуклое пространство. окрестности источника. ^[28] ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle X'\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'\times X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X'.}$

Характеристики

Для любой TVS выпуклая (соответственно сбалансированная , дисковая , закрыто-выпуклая, закрытая сбалансированная, закрытая дисковая ) оболочка является наименьшим подмножеством, которое обладает этим свойством и содержит замыкание (соответственно внутреннюю, выпуклую оболочку , сбалансированную оболочку, дисковая оболочка) набора иногда обозначается (соответственно ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$

Выпуклая оболочка подмножества равна множеству всех выпуклых комбинаций элементов, в которых есть конечные линейные комбинации вида где - целое число, а сумма равна ^[29] Пересечение любого семейства выпуклых множеств выпукло, а выпуклое оболочка подмножества равна пересечению всех выпуклых множеств, которые его содержат. ^[29] ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]}$ ${\displaystyle 1.}$

Соседства и открытые наборы

Свойства окрестностей и открытых множеств

Любая ТВС связна ^[6] и локально связна ^[30] , а любое связное открытое подмножество ТВС является дугообразно связным . Если и является открытым подмножеством, то это открытое множество в ^[6] , а если имеет непустую внутреннюю часть, то является окрестностью начала координат. ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S-S}$

Открытые выпуклые подмножества TVS (не обязательно хаусдорфовы или локально выпуклые) — это в точности те, которые имеют вид ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}}$$

сублинейного функционала^[28] ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Если – поглощающий диск в ТВС , если – функционал Минковского , то [ ^31] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:=p_{K}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K}$$

не ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

Пусть и — две векторные топологии на Тогда тогда и только тогда, когда всякий раз, когда сеть в сходится в то в ^[32] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \nu }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (X,\nu )}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Позвольте быть базисом окрестности начала координат в let и пусть Тогда тогда и только тогда, когда существует сеть в (индексированная ) такая, что в ^[33] Это показывает, в частности, что часто бывает достаточно рассматривать сети, индексированные окрестностью основе начала координат, а не сети на произвольных направленных множествах. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$

Если есть ТВС, принадлежащая сама по себе второй категории (т. е. нетощее пространство ), то любое замкнутое выпуклое поглощающее подмножество является окрестностью начала координат. ^[34] Это больше не гарантируется, если множество не является выпуклым (контрпример существует даже в ) или если оно не относится ко второй категории само по себе. ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle X}$

Интерьер

Если и имеет непустую внутреннюю часть, то ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)}$$

$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).}$$

Топологическая внутренность диска не пуста тогда и только тогда, когда эта внутренность содержит начало координат . ^[35] В более общем смысле, если это сбалансированное множество с непустой внутренней частью в TVS, то оно обязательно будет сбалансированным; ^[6] следовательно, будет сбалансированным тогда и только тогда, когда оно содержит начало координат. ^{[доказательство 2]} Чтобы это (т. е. ) было истинным, достаточно, чтобы он также был выпуклым (помимо сбалансированности и непустой внутренней части).; ^[6] Вывод может быть ложным, если он не является также выпуклым; ^{В [35]} , например, внутри замкнутого и сбалансированного множества есть ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S:=\{(x,y):xy\geq 0\}}$ ${\displaystyle \{(x,y):xy>0\}.}$

Если выпукло, а затем ^[36] Явно это означает, что if является выпуклым подмножеством TVS (не обязательно Хаусдорфовым или локально выпуклым), а затем открытый отрезок соединяет и принадлежит внутренней части , то есть ^{[37] [ 38] [доказательство 3]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {int} _{X}C,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$

Если есть какая-либо сбалансированная окрестность начала координат, то где находится набор всех скаляров таких, что ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|<1.}$

Если принадлежит внутренности выпуклого множества , то полуоткрытый отрезок ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{X}S,}$

$${\displaystyle [x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y}$$

^[37]

$${\displaystyle [x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.}$$

сбалансированнаясимметричными ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},}$ ${\displaystyle N\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}}$ ${\displaystyle r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.}$

Нехаусдорфовые пространства и замыкание начала координат.

Топологическое векторное пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является замкнутым подмножеством или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда поскольку это векторное подпространство того же самого, верно его замыкание , которое называется замыканием начала координат в Это векторное пространство удовлетворяет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N}$$

подпространстватривиальной топологиейпространствомограниченным подмножеством^[14].подпространством^{[доказательство 4]}компактны и полныне замкнуты^[39] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Если компактно, то и это множество компактно. Таким образом, замыкание компактного подмножества ТВС компактно (иными словами, все компакты относительно компактны ), ^[40] , что не гарантируется для произвольных нехаусдорфовых топологических пространств . ^{[примечание 6]} ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

Для каждого подмножества ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$

^{[доказательство 5]}произвольноеили«трубку» ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle S}$полностью ограничен .
• ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$полностью ограничен. ^[41]
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$полностью ограничен. ^{[42] [43]}
• Изображение при каноническом факторотображении вполне ограничено. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$

Если — векторное подпространство ТВС, то оно является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда замкнуто в . Более того, фактор-отображение всегда является замкнутым отображением на (необходимо) Хаусдорфову ТВС. ^[44] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

Каждое векторное подпространство этого является алгебраическим дополнением (то есть векторное подпространство , которое удовлетворяет и ) является топологическим дополнением Следовательно , если является алгебраическим дополнением в, то отображение сложения , определенное через, является TVS-изоморфизмом, где обязательно Хаусдорфа и имеет недискретную топологию . ^[45] Более того, если является хаусдорфовым пополнением , то является пополнением ^[41] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,}$ ${\displaystyle (h,n)\mapsto h+n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Закрытые и компактные наборы

Компактные и вполне ограниченные множества.

Подмножество ТВС компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . ^[39] Таким образом, в полном топологическом векторном пространстве замкнутое и вполне ограниченное подмножество компактно. ^[39] Подмножество ТВС вполне ограничено тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, ^{[42] [43]} тогда и только тогда, когда его образ при каноническом фактор-отображении ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$

$${\displaystyle X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})}$$

^[41]

Всякое относительно компактное множество вполне ограничено ^[39] , и замыкание вполне ограниченного множества вполне ограничено. ^[39] Образ вполне ограниченного множества при равномерно непрерывном отображении (например, непрерывном линейном отображении) полностью ограничен. ^[39] Если это подмножество TVS такое, что каждая последовательность в имеет точку кластера, то оно полностью ограничено. ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Если — компактное подмножество TVS и открытое подмножество содержащего, то существует окрестность 0 такая, что ^[46] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K+N\subseteq U.}$

Закрытие и закрытый набор

Тем же свойством обладает замыкание любого выпуклого (соответственно любого сбалансированного, любого поглощающего) подмножества любой ТВС. В частности, замыканием любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества является бочка .

Замыкание векторного подпространства ТВС является векторным подпространством. Каждое конечномерное векторное подпространство хаусдорфовой ТВС замкнуто. Сумма замкнутого векторного подпространства и конечномерного векторного подпространства замкнута. ^[6] Если — векторное подпространство и является замкнутой окрестностью начала координат в такой , что замкнуто , то замкнуто в ^[46] Сумма компакта и замкнутого множества замкнута. Однако сумма двух замкнутых подмножеств может оказаться не замкнутой ^[6] ( примеры см. в этой сноске ^{[7] ).} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Если и является скаляром, то ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),}$$

^[47] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).}$

Если то выпукло. ^[47] ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$

Если тогда ^[6] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)}$$

^[47] ${\displaystyle R+S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).}$

Если это настоящий ТВС, то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle \bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$$

${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle S}$

Для любого подмножества ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)}$$

^[48] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}}$$

^[49][50] ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Закрытые корпуса

В локально-выпуклом пространстве ограничены выпуклые оболочки ограниченных множеств. Это не относится к ТВС в целом. ^[14]

• Замкнутая выпуклая оболочка множества равна замыканию выпуклой оболочки этого множества; то есть равен ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$
• Закрытая сбалансированная оболочка множества равна замыканию сбалансированной оболочки этого множества; то есть равен ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).}$
• Закрытая дисковая оболочка набора равна замыканию дисковой оболочки этого набора; то есть равный ^[51] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).}$

Если и замкнутая выпуклая оболочка одного из множеств или компактна, то ^[51] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).}$$

^[51] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].}$$

Корпуса и компактность

В общей ТВС замкнутая выпуклая оболочка компакта может не быть компактной. Тем же свойством обладает сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного ) множества. ^[6] Выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств снова компактна и выпукла. ^[6]

Другие объекты недвижимости

Скудный, нигде не густой и Бэр

Диск в TVS не является нигде плотным тогда и только тогда , когда его замыкание является окрестностью начала координат. ^[9] Замкнутое, но не открытое векторное подпространство ТВС нигде не является плотным . ^[9]

Предположим , что это TVS, который не несет в себе недискретную топологию . Тогда пространство Бэра тогда и только тогда, когда не имеет сбалансированного поглощающего нигде плотного подмножества. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

TVS является пространством Бэра тогда и только тогда, когда оно нетощее , что происходит тогда и только тогда, когда не существует нигде не плотного множества такого, что ^[9] Всякое нетощее локально выпуклое TVS является бочоночным пространством . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}$

Важные алгебраические факты и распространенные заблуждения

Если тогда ; если выпукло, то имеет место равенство. В примере, где равенство не выполняется, пусть будет ненулевое значение, и set также подойдет. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle 2S\subseteq S+S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S=\{-x,x\};}$ ${\displaystyle S=\{x,2x\}}$

Подмножество является выпуклым тогда и только тогда, когда для всех положительных вещественных чисел ^[29] или, что то же самое, тогда и только тогда, когда для всех ^[52] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1.}$

Выпуклая сбалансированная оболочка множества равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки , то есть равна Но в общем случае ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$

сбалансированная оболочка ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Если и является скаляром, то ^[6] ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.}$$

${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\not \in R\cup S,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing }$ ${\displaystyle R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .}$

В любом нетривиальном векторном пространстве существуют два непересекающихся непустых выпуклых подмножества, объединение которых есть ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Другие объекты недвижимости

Любая TVS-топология может быть порождена семейством F - полунорм . ^[53]

Если - некоторый унарный предикат (истинное или ложное утверждение, зависящее от ), то для любого ^{[доказательство 6]} Так, например, если обозначает " ", то для любого Аналогично, если является скаляром, то Элементы этих множеств должны располагаться в векторном пространстве (то есть над ), а не просто подмножество, иначе эти равенства больше не гарантируются; аналогично, должно принадлежать этому векторному пространству (т.е. ). ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \|x\|<1}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in X}$

Свойства, сохраняемые операторами множества

• Тем же свойством обладает сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного , открытого) множества. ^[6]
• Тем же свойством обладает сумма (Минковского) двух компактных (соответственно ограниченных, уравновешенных, выпуклых) множеств. ^[6] Но сумма двух замкнутых множеств не обязательно должна быть замкнутой.
• Выпуклая оболочка сбалансированного (соответственно открытого) множества уравновешена (соответственно открыта). Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно должна быть замкнутой. ^[6] И выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно должна быть ограниченной.

В следующей таблице цвет каждой ячейки указывает, сохраняется ли данное свойство подмножеств (обозначенное именем столбца, например, «выпуклый») под действием оператора набора (обозначаемого именем строки, например, «замыкание»). ). Если в каждом TVS свойство сохраняется под указанным оператором множества, то эта ячейка будет окрашена в зеленый цвет; в противном случае он будет окрашен в красный цвет. ${\displaystyle X}$

Так, например, поскольку объединение двух поглощающих множеств снова является поглощающим, ячейка в строке « » и столбце «Поглощающие» окрашивается в зеленый цвет. Но поскольку произвольное пересечение поглощающих множеств не обязательно должно быть поглощающим, ячейка в строке «Произвольные пересечения (хотя бы 1 множества)» и столбце «Поглощающие» окрашивается в красный цвет. Если ячейка не закрашена, значит, эта информация еще не заполнена. ${\displaystyle R\cup S}$

Смотрите также

• Банахово пространство  - полное нормированное векторное пространство.
• Полное поле  - алгебраическая структура, полная относительно метрики.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гильбертово пространство  - тип топологического векторного пространства.
• Жидкое векторное пространство  - концепция сокращенной математики
• Нормированное пространство  - векторное пространство, в котором определяется расстояние.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локально компактное поле
• Локально компактная группа  - топологическая группа G, для которой основная топология локально компактна и хаусдорфова, так что можно определить меру Хаара.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Локально компактная квантовая группа  – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группамPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Топологическая абелева группа  - понятие в математике.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое поле  - алгебраическая структура со сложением, умножением и делением.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологическая группа  - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Топологический модуль
• Топологическое кольцо  - кольцо, в котором кольцевые операции непрерывны.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическая полугруппа  - полугруппа с непрерывным действием.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическая векторная решетка

Примечания

1. Топологические свойства, конечно, также требуют, чтобы это был TVS. ${\displaystyle X}$
2. В частности, является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда множество замкнуто (то есть является пространством T 1 ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$
3. Фактически, это верно для топологической группы, поскольку в доказательстве не используются скалярные умножения.
4. Также называется метрическим линейным пространством , что означает, что это действительное или комплексное векторное пространство вместе с трансляционно-инвариантной метрикой, для которой сложение и скалярное умножение непрерывны.
5. Говорят, что ряд сходится в TVS , если сходится последовательность частичных сумм. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ ${\displaystyle X}$
6. В общей топологии замыкание компактного подмножества нехаусдорфова пространства может не быть компактным (например, конкретная точечная топология на бесконечном множестве). Этот результат показывает, что в нехаусдорфовых TVS этого не происходит. компактен, потому что это образ компакта при отображении непрерывного сложения. Напомним также, что сумма компакта (т. е. ) и замкнутого множества замкнута, поэтому замкнута в ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$
7. В сумме по -оси и график, который является дополнением к -оси, открыт в. В сумме Минковского есть счетное плотное подмножество, поэтому не замкнутое в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Доказательства

1. Это условие выполняется, если обозначает множество всех топологических строк в ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
2. Это связано с тем, что каждый непустой сбалансированный набор должен содержать начало координат и потому, что тогда и только тогда, когда ${\displaystyle 0\in \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.}$
3. Fix, так что остается показать, что принадлежит. Заменяя при необходимости на , мы можем без ограничения общности считать, что и так остается показать, что это окрестность начала координат. Пусть так, что Так как скалярное умножение на является линейным гомеоморфизмом Поскольку и отсюда следует, что там, где потому что открыто, существует некоторое , которое удовлетворяет Определить по которому является гомеоморфизмом, потому что множество , таким образом, является открытым подмножеством того, что, кроме того, содержит Если тогда, поскольку оно выпукло, и что доказывает, что Таким образом , это открытое подмножество, содержащее начало координат и содержащееся в КЭД. ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$
4. Поскольку топология имеет тривиальную топологию, то же самое имеет и каждое из его подмножеств, что делает их все компактными. Известно, что подмножество любого равномерного пространства компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$
5. Если тогда Потому что если закрыто, то равенство сохраняется. Используя тот факт, что это векторное пространство, легко проверить, что дополнение в любом наборе , удовлетворяющем равенству , также должно удовлетворять этому равенству (когда вместо ). ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S}$
6. $${\displaystyle z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}}$$
   и так используя и тот факт, что это равно ${\displaystyle y=z+x}$ ${\displaystyle z+X=X,}$
   $${\displaystyle \{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.}$$
   КЭД ${\displaystyle \blacksquare }$

Цитаты

1. Рудин 1991, с. 4-5 §1.3.
2. Кете 1983, с. 91.
3. Шефер и Вольф 1999, стр. 74–78.
4. Гротендик 1973, стр. 34–36.
5. Wilansky 2013, стр. 40–47.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 67–113.
7. Adasch, Ernst & Keim 1978, стр. 5–9.
8. Шехтер 1996, стр. 721–751.
9. Narici & Beckenstein 2011, стр. 371–423.
10. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 10–15.
11. Виланский 2013, с. 53.
12. Рудин 1991, с. 6 §1.4.
13. Рудин 1991, с. 8.
14. Narici & Beckenstein 2011, стр. 155–176.
15. Рудин 1991, с. 27-28 Теорема 1.37.
16. Кете 1983, раздел 15.11.
17. «Топологическое векторное пространство», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
18. Рудин 1991, с. 17 Теорема 1.22.
19. Шефер и Вольф 1999, стр. 12–19.
20. Шефер и Вольф 1999, стр. 16.
21. Narici & Beckenstein 2011, стр. 115–154.
22. Шварц 1992, стр. 27–29.
23. «Быстрое применение теоремы о замкнутом графике» . Что нового . 22 апреля 2016 г. Проверено 7 октября 2020 г.
24. Narici & Beckenstein 2011, с. 111.
25. Рудин 1991, с. 9 §1.8.
26. Рудин 1991, с. 27 Теорема 1.36.
27. Рудин 1991, с. 62–68 §3.8–3.14.
28. Narici & Beckenstein 2011, стр. 177–220.
29. Рудин 1991, с. 38.
30. Шефер и Вольф 1999, стр. 35.
31. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 119-120.
32. Вилански 2013, с. 43.
33. Вилански 2013, с. 42.
34. Рудин 1991, с. 55.
35. Narici & Beckenstein 2011, с. 108.
36. Ярчоу 1981, стр. 101–104.
37. Schaefer & Wolff 1999, стр. 38.
38. Конвей 1990, с. 102.
39. Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–66.
40. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 156.
41. Schaefer & Wolff 1999, стр. 12–35.
42. Schaefer & Wolff 1999, стр. 25.
43. Jarchow 1981, стр. 56–73.
44. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–112.
45. Вилански 2013, с. 63.
46. Narici & Beckenstein 2011, стр. 19–45.
47. Wilansky 2013, стр. 43–44.
48. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 80.
49. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 108–109.
50. Ярчоу 1981, стр. 30–32.
51. Narici & Beckenstein 2011, с. 109.
52. Рудин 1991, с. 6.
53. Шварц 1992, с. 35.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. ОСЛК  297140003.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.

дальнейшее чтение

• Бирштедт, Клаус-Дитер (1988). «Введение в локально выпуклые индуктивные пределы». Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek: 35–133 . Проверено 20 сентября 2020 г.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. ОСЛК  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN 978-0201029857.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. ОСЛК  180577972.
• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс – Лондон – Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вальдивия, Мануэль (1982). Нахбин, Леопольдо (ред.). Темы в локально выпуклых пространствах . Том. 67. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Научный паб Elsevier . ISBN компании 978-0-08-087178-3. ОСЛК  316568534.
• Фойгт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Чам: Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-030-32945-7. ОСЛК  1145563701.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с топологическими векторными пространствами, на Викискладе?