Дискретное пространство

Тип топологического пространства

В топологии дискретное пространство является особенно простым примером топологического пространства или аналогичной структуры, в которой точки образуют прерывистую последовательность , то есть они в определенном смысле изолированы друг от друга. Дискретная топология — это лучшая топология, которая может быть задана на множестве. Каждое подмножество открыто в дискретной топологии, так что, в частности, каждое одноэлементное подмножество является открытым множеством в дискретной топологии.

Определения

Учитывая набор : ${\displaystyle X}$

• тотдискретная топология определяетсятем, что каждоеподмножествоявляетсяоткрытым,следовательно,замкнутым), иявляется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$дискретное топологическое пространство , если оно снабжено своей дискретной топологией;
• тотдискретная однородность определяется,что каждоенадмножестводиагоналиявляетсяокружением, иявляется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$дискретное однородное пространство , если оно наделено своей дискретной однородностью.
• тотдискретная метрика наопределяется формулой ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle X}$
  $${\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x\neq y,\\0&{\text{if}}\ x=y\end{cases}}}$$
  для любого В этом случае называется ${\displaystyle x,y\in X.}$ ${\displaystyle (X,\rho )}$дискретное метрическое пространство илипространство изолированных точек .
• аДискретное подпространство некоторого данного топологического пространстваотносится ктопологическому подпространству(подмножествувместе синдуцирующейтопологией подпространствакоторогоравна дискретной топологии. Например, еслионо имеет свою обычнуюевклидову топологию, то(наделенное топологией подпространства) является дискретным подпространством,ноне является таковым. ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (Y,\tau )}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\cup \{0\}}$
• множество дискретно в метрическом пространстве , если для каждого существует такое (зависящее от ), что для всех ; такое множество состоит из изолированных точек . Множество является равномерно дискретным в метрическом пространстве , если существует такое, что для любых двух различных ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d(x,y)>\delta }$ ${\displaystyle y\in S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .}$

Метрическое пространство называется равномерно дискретным, если существует ${\displaystyle (E,d)}$радиус упаковки такой, что для любогоиз них имеется либоили^[1] Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной, при этом метрика не является равномерно дискретной: например, обычная метрика на множестве ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x,y\in E,}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle d(x,y)>r.}$ ${\displaystyle \left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно является равномерно дискретным.

Рассмотрим это множество, используя обычную метрику действительных чисел. Тогда это дискретное пространство, поскольку для каждой точки мы можем окружить его открытым интервалом , где Пересечение, следовательно, тривиально является одноэлементным. Поскольку пересечение открытого набора действительных чисел и открыто для индуцированной топологии, отсюда следует, что open, поэтому синглтоны открыты и представляют собой дискретное пространство. ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}=2^{-n}\in X,}$ ${\displaystyle (x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.}$ ${\displaystyle \left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$

Однако не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует такое, что всякий раз, когда достаточно показать, что существует по крайней мере две точки , которые находятся ближе друг к другу, чем Поскольку расстояние между соседними точками и есть, нам нужно найти, которое удовлетворяет этому неравенству: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle d(x,y)>r}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle 2^{-(n+1)},}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}}$$

Поскольку всегда существует большее, чем любое данное действительное число, из этого следует, что всегда будет как минимум две точки, которые находятся ближе друг к другу, чем любое положительное число, поэтому не являются равномерно дискретными. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Основная однородность дискретного метрического пространства — это дискретная однородность, а основная топология дискретного равномерного пространства — это дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, основная топология недискретного равномерного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство (с метрикой, унаследованной от реальной строки и заданной ). Это не дискретная метрика; кроме того, это пространство не является полным и, следовательно, не дискретным как однородное пространство. Тем не менее оно дискретно как топологическое пространство. Мы говорим, что оно топологически дискретно , но не является равномерно дискретным или метрически дискретным . ${\displaystyle X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle d(x,y)=\left|x-y\right|}$ ${\displaystyle X}$

Кроме того:

• Топологическая размерность дискретного пространства равна 0.
• Топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда его одиночные элементы открыты, что имеет место тогда и только тогда, когда оно не содержит никаких точек накопления .
• Синглтоны составляют основу дискретной топологии.
• Равномерное пространство дискретно тогда и только тогда, когда диагональ является антуражем . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$
• Каждое дискретное топологическое пространство удовлетворяет каждой из аксиом разделения ; в частности, каждое дискретное пространство хаусдорфово , то есть отделено.
• Дискретное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно .
• Каждое дискретное равномерное или метрическое пространство является полным .
• Объединив два приведенных выше факта, каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Каждое дискретное метрическое пространство ограничено .
• Каждое дискретное пространство счетно поначалу ; более того, оно счетно по секундам тогда и только тогда, когда оно счетно .
• Каждое дискретное пространство полностью несвязно .
• Каждое непустое дискретное пространство относится ко второй категории .
• Любые два дискретных пространства одинаковой мощности гомеоморфны .
• Каждое дискретное пространство метризуемо (по дискретной метрике).
• Конечное пространство метризуемо только в том случае, если оно дискретно.
• Если — топологическое пространство и множество, несущее дискретную топологию, то оно равномерно покрыто (карта проекции — искомое покрытие) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times Y}$
• Топология подпространства целых чисел как подпространство вещественной прямой является дискретной топологией.
• Дискретное пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно счетно.
• Любое дискретное топологическое подпространство (с его обычной евклидовой топологией ) обязательно счетно . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство непрерывна , а любая функция из дискретного равномерного пространства в другое равномерное пространство равномерно непрерывна . То есть дискретное пространство свободно на множестве в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, при котором дискретные структуры обычно свободны на множествах. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

С метрическими пространствами дела обстоят сложнее, поскольку существует несколько категорий метрических пространств в зависимости от того, что выбрано для морфизмов . Конечно, дискретное метрическое пространство является свободным, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или всеми непрерывными отображениями, но это не говорит ничего интересного о метрической структуре , а только о равномерной или топологической структуре. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми непрерывными отображениями или короткими отображениями ; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств и липшицевых непрерывных отображений, а также свободно в категории метрических пространств, ограниченных единицей, и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является непрерывной по Липшицу, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное единицей, является короткой.

В другом направлении функция из топологического пространства в дискретное пространство непрерывна тогда и только тогда, когда она локально постоянна в том смысле, что каждая точка в имеет постоянную окрестность . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Каждый ультрафильтр на непустом множестве может быть связан с топологией, обладающей тем свойством, что каждое непустое собственное подмножество является либо открытым подмножеством , либо закрытым подмножеством , но никогда и тем, и другим. Другими словами, каждое подмножество является открытым или закрытым, но (в отличие от дискретной топологии) единственными подмножествами, которые являются одновременно открытыми и закрытыми (т.е. clopen ), являются и . Для сравнения, каждое подмножество является открытым и закрытым в дискретной топологии. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Примеры и использование

Дискретная структура часто используется как «структура по умолчанию» в наборе, который не несет в себе никакой другой естественной топологии, однородности или метрики; дискретные структуры часто могут использоваться в качестве «крайних» примеров для проверки конкретных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу , если придать ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. Действительно, аналитики могут называть обычные нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, « дискретными группами ». В некоторых случаях это можно с пользой применить, например в сочетании с двойственностью Понтрягина . 0-мерное многообразие (или дифференцируемое или аналитическое многообразие) — это не что иное, как дискретное и счетное топологическое пространство (несчетное дискретное пространство не является счетным по второй раз). Поэтому мы можем рассматривать любую дискретную счетную группу как 0-мерную группу Ли .

Произведение счетных бесконечных копий дискретного пространства натуральных чисел гомеоморфно пространству иррациональных чисел с гомеоморфизмом, заданным разложением в цепную дробь . Произведение счетных бесконечных копий дискретного пространства гомеоморфно канторову множеству ; и фактически равномерно гомеоморфно множеству Кантора, если мы используем однородность произведения. Такой гомеоморфизм задается с помощью троичной записи чисел. (См. Канторово пространство .) Каждый слой локально инъективной функции обязательно является дискретным подпространством своей области определения . ${\displaystyle \{0,1\}}$

В основах математики изучение свойств компактности произведений занимает центральное место в топологическом подходе к лемме об ультрафильтре (эквивалентно булевой теореме о простых идеалах ), которая является слабой формой аксиомы выбора . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Недискретные пространства

В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией ), которая имеет наименьшее количество открытых множеств (только пустое множество и само пространство). Если дискретная топология является начальной или свободной, то недискретная топология является конечной или косвободной : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство непрерывна и т. д.

Смотрите также

• Комплект цилиндров
• Список топологий
• Геометрия такси

Рекомендации

1. Плезантс, Питер AB (2000). «Дизайнерские квазикристаллы: наборы вырезания и проецирования с заранее заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах . Серия монографий по CRM. Том. 13. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Збл  0982.52018.
2. Вилански 2008, с. 35.

• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1978). Контрпримеры в топологии (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7. МР  0507446. Збл  0386.54001.
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. ОКЛК  227923899.