Хаусдорфово пространство

В топологии и смежных разделах математики хаусдорфово пространство ( / ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWSS -dorf , / ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf^[1] ), отделенное пространство или пространство T ₂ — это топологическое пространство , в котором для любых двух различных точек существуют окрестности каждой, не пересекающиеся друг с другом. Из многих аксиом разделения , которые могут быть наложены на топологическое пространство, «условие Хаусдорфа» (Т ₂ ) является наиболее часто используемым и обсуждаемым. Это подразумевает единственность пределов последовательностей , сетей и фильтров . ^[2]

Пространства Хаусдорфа названы в честь Феликса Хаусдорфа , одного из основоположников топологии. Первоначальное определение топологического пространства, данное Хаусдорфом (в 1914 году), включало условие Хаусдорфа в качестве аксиомы .

Определения

Точки и в топологическом пространстве могут быть разделены окрестностями, если существует окрестность и окрестность таких , что и не пересекаются . является хаусдорфовым пространством , если любые две различные точки в нем разделены окрестностями. Это условие является третьей аксиомой отделимости (после T ₀ и T ₁ ), поэтому пространства Хаусдорфа также называют пространствами T ₂ . Также используется пространство, разделенное именем . $х$ $y$ $X$ $U$ $х$ $V$ $y$ $U$ $V$ $(U\cap V=\varnothing)$ $X$ $X$

Близкое, но более слабое понятие — это предрегулярное пространство . является предрегулярным пространством, если любые две топологически различимые точки можно разделить непересекающимися окрестностями. Предрегулярное пространство также называют _{пространством} R1 . $X$

Связь между этими двумя условиями следующая. Топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно одновременно предрегулярно (т. е. топологически различимые точки разделены окрестностями) и колмогоровски (т. е. различные точки топологически различимы). Топологическое пространство является предрегулярным тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова хаусдорфов.

Эквиваленты

Для топологического пространства следующие условия эквивалентны: ^[2] $X$

$X$ является хаусдорфовым пространством.
Пределы сетей уникальны . ^[3] $X$
Пределы фильтров на единственны ^[3] (мы рассматриваем только фильтры, сходящиеся к точке, а не сходящиеся к множеству). $X$
Любой одноэлементный набор равен пересечению всех замкнутых окрестностей . ^[4] (Замкнутая окрестность — это замкнутое множество , содержащее открытое множество, содержащее .) $\{x\}\subset X$ $х$ $х$ $х$
Диагональ замкнута как подмножество пространства продуктов . $\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}$ $X\times X$
Любая инъекция из дискретного пространства с двумя точками в имеет свойство подъема по отношению к отображению конечного топологического пространства с двумя открытыми точками и одной замкнутой точкой в одну точку. $X$

Примеры хаусдорфовых и нехаусдорфовых пространств

Почти все пространства, встречающиеся в анализе , хаусдорфовы; самое главное, действительные числа (в соответствии со стандартной метрической топологией действительных чисел) представляют собой хаусдорфово пространство. В более общем смысле все метрические пространства хаусдорфовы. Фактически, во многих пространствах, используемых в анализе, таких как топологические группы и топологические многообразия , условие Хаусдорфа явно указано в их определениях.

Простым примером топологии, которая является T 1 , но не является Хаусдорфовой, является коконечная топология, определенная на бесконечном множестве , а также косчетная топология , определенная на несчетном множестве.

Псевдометрические пространства обычно не являются хаусдорфовыми, но они предрегулярны, и их использование в анализе обычно происходит только при построении калибровочных пространств Хаусдорфа . Действительно, когда аналитики сталкиваются с нехаусдорфовым пространством, оно, вероятно, по крайней мере дорегулярно, а затем просто заменяют его коэффициентом Колмогорова, который является Хаусдорфом. ^[5]

Напротив, непредрегулярные пространства встречаются гораздо чаще в абстрактной алгебре и алгебраической геометрии , в частности как топология Зарисского на алгебраическом многообразии или спектре кольца . Они также возникают в модельной теории интуиционистской логики : каждая полная алгебра Гейтинга является алгеброй открытых множеств некоторого топологического пространства, но это пространство не обязательно должно быть предрегулярным, а тем более Хаусдорфовым, и фактически обычно не является ни тем, ни другим. Соответствующая концепция области Скотта также состоит из непредрегулярных пространств.

Хотя существование уникальных пределов для сходящихся сетей и фильтров подразумевает, что пространство является хаусдорфовым, существуют нехаусдорфовые пространства T ₁ , в которых каждая сходящаяся последовательность имеет уникальный предел. ^[6] Такие пространства называются пространствами США . ^[7] Для секвенциальных пространств это понятие эквивалентно слабому хаусдорфу .

Характеристики

Подпространства и произведения хаусдорфовых пространств являются хаусдорфовыми, но факторпространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми. Фактически, любое топологическое пространство можно реализовать как фактор некоторого хаусдорфова пространства. ^[8]

Пространства Хаусдорфа имеют вид T 1 , что означает, что каждый одноэлементный элемент является замкнутым множеством. Аналогично, предрегулярные пространства — это R 0 . Каждое хаусдорфово пространство является пространством Трезвия, хотя обратное, вообще говоря, неверно.

Другое свойство хаусдорфовых пространств состоит в том, что каждый компакт является замкнутым множеством. Для нехаусдорфовых пространств может быть так, что каждый компакт является замкнутым множеством (например, косчетная топология на несчетном множестве) или нет (например, коконечная топология на бесконечном множестве и пространство Серпинского ).

Определение хаусдорфова пространства гласит, что точки могут быть разделены окрестностями. Оказывается, из этого следует нечто, казалось бы, более сильное: в хаусдорфовом пространстве каждая пара непересекающихся компактов также может быть разделена окрестностями, ^[9] иными словами, существует окрестность одного множества и окрестность другого, такие что эти два района не пересекаются. Это пример общего правила, согласно которому компакты часто ведут себя как точки.

Условия компактности вместе с предрегулярностью часто подразумевают более сильные аксиомы разделения. Например, любое локально компактное предрегулярное пространство вполне регулярно . ^[10]^[11] Компактные предрегулярные пространства нормальны , ^[12] это означает, что они удовлетворяют лемме Урысона и теореме расширения Титце и имеют разбиения единицы, подчиненные локально конечным открытым покрытиям . Хаусдорфовые версии этих утверждений таковы: каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским , а каждое бикомпактное хаусдорфово пространство является нормальным хаусдорфовым пространством.

Следующие результаты представляют собой некоторые технические свойства отображений ( непрерывных и прочих) в и из хаусдорфовых пространств.

Пусть – непрерывная функция и предположим, что она является Хаусдорфовой. Тогда график , , является замкнутым подмножеством . $f\colon X\to Y$ $Y$ $f$ $\{(x,f(x))\mid x\in X\}$ $X\times Y$

Пусть – функция, и пусть – ее ядро , рассматриваемое как подпространство . $f\colon X\to Y$ $\ker(f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}$ $X\times X$

Если непрерывно и хаусдорфово, то множество замкнуто. $f$ $Y$ $\ker(f)$
Если — открытая сюръекция и замкнутое множество, то — Хаусдорф. $f$ $\ker(f)$ $Y$
Если это непрерывная открытая сюръекция (т. е. открытое фактор-отображение), то она является Хаусдорфовой тогда и только тогда, когда является замкнутым множеством. $f$ $Y$ $\ker(f)$

Если — непрерывные отображения и хаусдорфовы, то эквалайзер — замкнутое множество в . Отсюда следует, что если Хаусдорф и и согласны на плотном подмножестве то . Другими словами, непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножествах. $f,g\colon X\to Y$ $Y$ ${\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}$ $X$ $Y$ $f$ $g$ $X$ $f=g$

Пусть – замкнутая сюръекция такая, что компактна для всех . Тогда если Хаусдорф, то и . $f\colon X\to Y$ $f^{-1}(y)$ $y\in Y$ $X$ $Y$

Пусть – факторотображение с бикомпактом. Тогда следующие условия эквивалентны: $f\colon X\to Y$ $X$

$Y$ является Хаусдорф.
$f$ это закрытая карта .
$\ker(f)$ представляет собой закрытое множество.

Предрегулярность против регулярности

Все регулярные пространства предрегулярны, как и все пространства Хаусдорфа. Существует множество результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты справедливы для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы и к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (например, паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если предрегулярность удовлетворена. Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфово пространство, вообще говоря, не является регулярным, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, поскольку любое хаусдорфово пространство предрегулярно. Таким образом, с определенной точки зрения в таких ситуациях действительно важна предрегулярность, а не регулярность. Однако определения обычно по-прежнему формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем предрегулярность.

Дополнительную информацию по этому вопросу см. в разделе «История аксиом разделения» .

Варианты

Термины «Хаусдорф», «отделенный» и «предрегулярный» также могут быть применены к таким вариантам топологических пространств, как равномерные пространства , пространства Коши и пространства сходимости . Характеристика, объединяющая концепцию во всех этих примерах, состоит в том, что пределы сетей и фильтров (если они существуют) единственны (для разделенных пространств) или единственны с точностью до топологической неотличимости (для предрегулярных пространств).

Как оказывается, равномерные пространства и, в более общем плане, пространства Коши всегда предрегулярны, поэтому условие Хаусдорфа в этих случаях сводится к условию _T0 . Это также пространства, в которых полнота имеет смысл, и в этих случаях хаусдорфовость является естественным спутником полноты. В частности, пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет хотя бы один предел, в то время как пространство является Хаусдорфовым тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет не более одного предела (поскольку только сети Коши могут иметь пределы).

Алгебра функций

Алгебра непрерывных (вещественных или комплексных) функций на хаусдорфовом пространстве является коммутативной C*-алгеброй , и наоборот, по теореме Банаха–Стоуна можно восстановить топологию пространства по алгебраическим свойствам его алгебры непрерывных функций. Это приводит к некоммутативной геометрии , где некоммутативные C*-алгебры рассматриваются как представляющие алгебры функций в некоммутативном пространстве.

Академический юмор

Условие Хаусдорфа иллюстрируется каламбуром о том, что в пространствах Хаусдорфа любые две точки могут быть «отделены» друг от друга открытыми множествами . ^[13]
В Математическом институте Боннского университета , в котором Феликс Хаусдорф проводил исследования и читал лекции, есть некая комната, получившая название « Хаусдорф-Раум» . Это каламбур , поскольку Раум по-немецки означает и комнату , и пространство .

Смотрите также

Пространство неподвижной точки - топологическое пространство, такое, что каждый эндоморфизм имеет неподвижную точку, хаусдорфово пространство X такое, что каждая непрерывная функция $f : X \to X$ имеет неподвижную точку.
Локально Хаусдорфово пространство
Нехаусдорфово многообразие - обобщение многообразий
Квазитопологическое пространство – множество X, снабженное функцией, которая ставит в соответствие каждому хаусдорфовому пространству K набор отображений K→C, удовлетворяющих определенным естественным условиям.
Аксиома разделения - аксиомы топологии, определяющие понятие «разделения».
Слабое Хаусдорфово пространство - понятие в алгебраической топологии.

Примечания

^ "Определение и значение пространства Хаусдорфа" . www.dictionary.com . Проверено 15 июня 2022 г.
^ ab «Аксиомы разделения в nLab». ncatlab.org .
^ аб Уиллард 2004, стр. 86–87.
^ Бурбаки 1966, с. 75
^ См., например, пространство Lp # пространства Lp и интегралы Лебега , компакт Банаха – Мазура и т. д.
^ ван Даувен, Эрик К. (1993). «Антихаусдорфово пространство Фреше, в котором сходящиеся последовательности имеют уникальные пределы». Топология и ее приложения . 51 (2): 147–158. дои : 10.1016/0166-8641(93)90147-6 .
^ Вилански, Альберт (1967). «Между Т ₁ и Т ₂ ». Американский математический ежемесячник . 74 (3): 261–266. дои : 10.2307/2316017. JSTOR 2316017.
^ Шимрат, М. (1956). «Пространства разложения и свойства разделения». Ежеквартальный математический журнал . 2 : 128–129. дои : 10.1093/qmath/7.1.128.
^ Уиллард 2004, стр. 124.
^ Шехтер 1996, 17.14(d), с. 460.
^ «Локально компактные предрегулярные пространства вполне регулярны». math.stackexchange.com .
^ Шехтер 1996, 17.7(g), с. 457.
^ Адамс, Колин ; Францоза, Роберт (2008). Введение в топологию: чистую и прикладную . Пирсон Прентис Холл . п. 42. ИСБН 978-0-13-184869-6.