Соседство (математика)

Открытое множество, содержащее данную точку

Множество на плоскости является окрестностью точки , если небольшой круг вокруг содержится в Маленький круг вокруг является открытым множеством ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U.}$

В топологии и смежных областях математики окрестность (или окрестность ) — одно из основных понятий топологического пространства . Оно тесно связано с понятиями открытой площадки и интерьера . Интуитивно говоря, окрестность точки — это набор точек, содержащий эту точку, где можно отойти на некоторую величину в любом направлении от этой точки, не выходя из множества.

Определения

Окрестность точки

Если топологическое пространство и точка в то окрестность является подмножеством , которое включает в себя открытое множество, содержащее , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p\in U\subseteq V\subseteq X.}$$

Это также эквивалентно принадлежности точки топологической внутренности in . ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$

Окрестность не обязательно должна быть открытым подмножеством , но если она открыта, то она называется ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$открытый район .^[1]Известно, что некоторые авторы требуют, чтобы районы были открытыми, поэтому важно учитывать условности.^{[ нужна цитата ]}

Замкнутый прямоугольник не имеет окрестностей ни в одном из своих углов, ни на границе, поскольку не существует открытого множества, содержащего какой-либо угол.

Множество, являющееся окрестностью каждой из своих точек, является открытым, поскольку его можно выразить как объединение открытых множеств, содержащих каждую из его точек. Замкнутый прямоугольник, как показано на рисунке, не является окрестностью всех его точек; точки на краях или углах прямоугольника не содержатся ни в каком открытом множестве, содержащемся внутри прямоугольника.

Совокупность всех окрестностей точки называется системой окрестностей в этой точке.

Окрестности множества

Если — подмножество топологического пространства , то окрестность — это множество , включающее открытое множество , содержащее ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.}$$

тогда и только тогда, когдавнутренней части ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$открытая окрестность ${\displaystyle S.}$

В метрическом пространстве

Множество на плоскости и однородная окрестность ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S.}$

Эпсилон-окрестность числа на действительной числовой прямой. ${\displaystyle a}$

В метрическом пространстве множество называется окрестностью точки , если существует открытый шар с центром и радиусом такими, что ${\displaystyle M=(X,d),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r>0,}$

$${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$

${\displaystyle V.}$

${\displaystyle V}$называется равномерной окрестностью множества , если существует такое положительное число, что для всех элементов множества ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$

${\displaystyle V.}$

При том же условии, что -окрестность набора - это набор всех точек в нем, находящихся на расстоянии меньшем, чем от (или, что то же самое, это объединение всех открытых шаров радиуса , центрированных в точке в ): ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$

Отсюда непосредственно следует, что -окрестность является однородной окрестностью и что множество является однородной окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит -окрестность для некоторого значения ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r.}$

Примеры

Множество M является окрестностью числа a , поскольку существует ε-окрестность числа a , которая является подмножеством числа M.

Учитывая набор действительных чисел с обычной евклидовой метрикой и подмножеством, определяемым как ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$

чиселне ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Топология из окрестностей

Приведенное выше определение полезно, если понятие открытого множества уже определено. Существует альтернативный способ определения топологии: сначала определить систему окрестностей , а затем открыть множества как те множества, которые содержат окрестность каждой из своих точек.

Система соседства — это присвоение каждому фильтру подмножеств в таком, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$

1. точка является элементом каждого из ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(x)}$
2. каждый in содержит некоторое количество in , так что для каждого in есть in ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(y).}$

Можно показать, что оба определения совместимы, то есть топология, полученная из системы соседства, определенной с использованием открытых множеств, является исходной, и наоборот, если исходить из системы соседства.

Однородные кварталы

В однородном пространстве называется однородной окрестностью , если существует такое окружение , которое содержит все точки, близкие к некоторой его точке , т. е. для всех ${\displaystyle S=(X,\Phi ),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P;}$ ${\displaystyle U[x]\subseteq V}$ ${\displaystyle x\in P.}$

Удаленный район

Удаленная окрестность точки (иногда называемая проколотой окрестностью ) — это окрестность без . Например, интервал — это окрестность в реальной прямой , поэтому множество является удаленной окрестностью. Удаленная окрестность данной точки не находится в факт окрестность точки. Понятие удаленной окрестности встречается, помимо прочего, в определении предела функции и предельных точек. ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \{p\}.}$ ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

Смотрите также

• Изолированная точка  - точка подмножества S, вокруг которой нет других точек из S.
• Система окрестностей  - (для точки x) совокупность всех окрестностей точки x.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Регион (математика)  - Связное открытое подмножество топологического пространства.Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Трубчатая окрестность  - окрестность подмногообразия, гомеоморфного нормальному расслоению этого подмногообразия.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта

Рекомендации

1. Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Стерлинга К. Берберяна. Спрингер. п. 6. ISBN 0-387-90972-9. Согласно этому определению, открытая окрестность — ${\displaystyle x}$ это не что иное, как открытое подмножество, содержащее ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x.}$
2. Питерс, Чарльз (2022). «Профессор Чарльз Питерс» (PDF) . Хьюстонский математический университет . Проверено 3 апреля 2022 г.

• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Бредон, Глен Э. (1993). Топология и геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8.