Система соседства

В топологии и смежных областях математики система окрестностей , полная система окрестностей , ^[1] или фильтр окрестностей для точки в топологическом пространстве — это совокупность всех окрестностей точки. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Определения

Окрестность точки или множества

Аноткрытая окрестность точки (илиподмножества^{[примечание 1]})в топологическом пространстве— это любоеоткрытое подмножество,содержащее A ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$окрестность in ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$— любое подмножество,содержащеенекоторуюоткрытую окрестность; явно,является окрестностьювтогда и только тогда, когдасуществует некоторое открытое подмножествос.^[2][3] Эквивалентно, окрестность —это любое множество, которое содержитв своейтопологической внутренности. ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Важно отметить, что «район» не обязательно должен быть открытым множеством; те районы, которые также являются открытыми множествами, известны как «открытые районы». ^{[примечание 2]} Аналогично, окрестность, которая также является замкнутым (соответственно компактным , связным и т. д.) множеством, называетсязакрытое окружение (соответственно,компактный район ,подключенный район и т. д.). Существует множество других типов окрестностей, которые используются в топологии и смежных областях, таких какфункциональный анализ. Семейство всех кварталов, имеющих определенное «полезное» свойство, часто образует основу соседства, хотя во многих случаях эти кварталы не обязательно являются открытыми.Например, локально-компактные пространства

Фильтр соседства

Система окрестности для точки (или непустое подмножество) представляет собой фильтр , называемый фильтром окрестности для . Фильтр окрестности для точки аналогичен фильтру окрестности одноэлементного множества. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

По соседству

Ана основе соседства илина местном уровне (илирайонная база илиlocal base ) для точки—базафильтра соседства; это означает, что это подмножество ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$$

^[3] ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V.}$

Эквивалентно, является локальным базисом тогда и только тогда, когда фильтр окрестности можно восстановить в том смысле, что выполняется следующее равенство: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.}$$

конфинальным подмножествомпорядканадмножестваподмножества ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)}$ ${\displaystyle \supseteq }$

Подбазис соседства

АПодбазис окрестности в— это семействоподмножествкаждого из которых содержиттакие, что совокупность всех возможных конечныхпересеченийэлементовобразует базис окрестности в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle x.}$

Примеры

Если имеет обычную евклидову топологию , то окрестностями являются все те подмножества , для которых существует некоторое действительное число такое, что, например, все следующие множества являются окрестностями in : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$

${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$

рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Если является открытым подмножеством топологического пространства , то для каждого является окрестностью в. В более общем смысле, если является любым множеством и обозначает топологическую внутреннюю часть in , то это окрестность (в ) каждой точки и, более того, не является окрестностью какой-либо точки. другой момент. Другими словами, является окрестностью точки тогда и только тогда, когда ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

Соседские базы

В любом топологическом пространстве система окрестности точки является также базисом окрестности точки. Множество всех открытых окрестностей в точке образует базис окрестностей в этой точке. Для любой точки метрического пространства последовательность открытых шаров радиуса образует счетный базис окрестностей . Это означает, что каждое метрическое пространство является счетным по началу . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$

Для пространства с недискретной топологией система окрестностей любой точки содержит только все пространство . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$

В слабой топологии пространства мер база окрестностей о задается формулой ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$

непрерывные ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$

Полунормированные пространства и топологические группы

В полунормированном пространстве , то есть векторном пространстве с топологией, индуцированной полунормой , все системы окрестностей могут быть построены путем перевода системы окрестностей для начала координат:

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

Это связано с тем, что по предположению сложение векторов отдельно непрерывно в индуцированной топологии. Следовательно, топология определяется ее системой окрестностей в начале координат. В более общем смысле, это остается верным всякий раз, когда пространство является топологической группой или топология определяется псевдометрикой .

Характеристики

Предположим , и пусть - базис окрестности для в. Преобразовать в направленное множество , частично упорядочив его включением надмножества. Тогда не является окрестностью в тогда и только тогда, когда существует -индексированная сеть в такая, что для каждого (что подразумевает, что в ). ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle X\setminus U}$ ${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• База (топология)  - совокупность открытых наборов, используемых для определения топологии.
• Фильтр (теория множеств)  - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии  . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Окрестность (математика)  - Открытое множество, содержащее данную точку.
• Подбаза  — совокупность подмножеств, генерирующих топологию.
• Трубчатая окрестность  - окрестность подмногообразия, гомеоморфного нормальному расслоению этого подмногообразия.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Рекомендации

1. Обычно «окрестность» относится к окрестностям точки , и это будет четко указано, если вместо этого оно относится к окрестностям множества. Так, например, такое утверждение, как «окрестность в », которое не относится к какой-либо конкретной точке или множеству, должно, если не указано иное, пониматься как «окрестность некоторой точки в » . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Большинство авторов не требуют, чтобы окрестности были открытыми множествами, потому что написание слова «открытый» перед словом «окрестность», когда это свойство необходимо, не слишком обременительно, а также потому, что требование, чтобы они всегда были открытыми, также значительно ограничило бы полезность таких терминов, как « закрытое окружение» и «компактное окружение».

1. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 41. ИСБН 0-486-66352-3.
2. Бурбаки 1989, стр. 17–21.
3. Уиллард 2004, стр. 31–37.
4. Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Издательство Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201087079.(См. главу 2, раздел 4)

Библиография

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. ОСЛК  10277303.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.