Фильтр (теория множеств)

Семейство множеств, представляющих «большие» множества

В математике фильтр на множестве — это семейство подмножеств , такое что: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$и ${\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {B}}}$
2. если и , то ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {B}}}$
3. Если и , то ${\displaystyle A\subset B\subset X}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

Фильтр на множестве можно рассматривать как представление «коллекции больших подмножеств», ^[2] одним из наглядных примеров является фильтр соседства . Фильтры появляются в теории порядка , теории моделей и теории множеств , но также могут быть найдены в топологии , из которой они происходят. Двойственное понятие фильтра — это идеал .

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году ^{[3] [4]} и, как описано в статье, посвященной фильтрам в топологии , они впоследствии были использованы Николя Бурбаки в его книге Topologie Générale в качестве альтернативы связанному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Х. Муром и Германом Л. Смитом . Фильтры порядка являются обобщениями фильтров из множеств на произвольные частично упорядоченные множества . В частности, фильтр на множестве является просто надлежащим фильтром порядка в частном случае, когда частично упорядоченное множество состоит из множества мощности, упорядоченного включением множества .

Предварительные сведения, обозначения и основные понятия

В этой статье заглавные латинские буквы, такие как и обозначают множества (но не семейства, если не указано иное) и будут обозначать множество мощности Подмножество множества мощности называется семейством множеств (или просто семейством ), где оно является подмножеством Семейства множеств будут обозначаться заглавными каллиграфическими буквами, такими как Всякий раз, когда требуются эти предположения, то следует предполагать, что непусто и что и т. д. являются семействами множеств над ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle X.}$

Термины «предварительный фильтр» и «база фильтра» являются синонимами и будут использоваться взаимозаменяемо.

Предупреждение о конкурирующих определениях и обозначениях

К сожалению, в теории фильтров есть несколько терминов, которые разные авторы определяют по-разному. К ним относятся некоторые из наиболее важных терминов, такие как «фильтр». Хотя различные определения одного и того же термина обычно имеют значительное совпадение, из-за очень технической природы фильтров (и топологии «точка-множество»), эти различия в определениях, тем не менее, часто имеют важные последствия. При чтении математической литературы рекомендуется, чтобы читатели проверяли, как терминология, связанная с фильтрами, определяется автором. По этой причине в этой статье будут четко изложены все определения по мере их использования. К сожалению, не все обозначения, связанные с фильтрами, устоялись, и некоторые обозначения сильно различаются в литературе (например, обозначения для множества всех предварительных фильтров на множестве), поэтому в таких случаях в этой статье используются любые обозначения, которые являются наиболее самоописывающими или легко запоминающимися.

Теория фильтров и предфильтров хорошо разработана и имеет множество определений и обозначений, многие из которых теперь бесцеремонно перечислены, чтобы не допустить, чтобы эта статья стала длинной, и чтобы облегчить поиск обозначений и определений. Их важные свойства описаны ниже.

Операции над множествами

Theзамыкание вверх илиизотонизацияв^[5][6]семействамножествесть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

и аналогично закрытие вниз является ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$

Для любых двух семейств заявляют, что тогда и только тогда, когда для каждого существует некоторое , в этом случае говорят, что грубее, чем и что мельче , чем (или подчинено ) ^{[10] [11] [12]} Обозначение также может использоваться вместо ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Два семейства сцепляются , ^[7] записано , если ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$

На протяжении всего повествования есть карта и есть набор. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

Сети и их хвосты

Направленный набор — это набор вместе с предпорядком , который будет обозначаться (если явно не указано иное), что делает его ( восходящим ) направленным набором ; ^[15] это означает, что для всех существует некоторое такое, что Для любых индексов обозначение определено как означающее , в то время как определено как означающее , что выполняется , но неверно , что (если является антисимметричным , то это эквивалентно ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$

Сеть в [ 15 ${\displaystyle X}$^] — это отображение из непустого направленного множества в Обозначение будет использоваться для обозначения сети с областью определения ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I.}$

Предупреждение об использовании строгого сравнения

Если является сетью, то множество , называемое хвостом после , может быть пустым (например, это происходит, если является верхней границей направленного множества ). В этом случае семейство будет содержать пустой набор, что не позволит ему быть предварительным фильтром (определенным позже). Это (важная) причина для определения как , а не или даже , и именно по этой причине в общем случае при работе с предварительным фильтром хвостов сети строгое неравенство не может использоваться взаимозаменяемо с неравенством ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Фильтры и предварительные фильтры

Ниже приведен список свойств, которыми может обладать семейство множеств, и они формируют определяющие свойства фильтров, предварительных фильтров и подбаз фильтров. Всякий раз, когда это необходимо, следует предполагать, что ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

Семейство множеств : ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Правильный илиневырожденным ,еслито он называетсянесобственным^[17]иливырожденным. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. Направлено вниз ^[15],если всякий раз, когда существует такое, что ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • Это свойство можно охарактеризовать в терминах направленности , что объясняет слово «направленный»: Бинарное отношение на называется (вверх) направленным, если для любых двух существует некоторое удовлетворяющее Использование вместо дает определение направленного вниз, тогда как использование вместо дает определение направленного вверх . Явно, направлено вниз (соответственно, направлено вверх ) тогда и только тогда, когда для всех существует некоторый «больший» такой, что (соответственно, такой, что ) − где «больший» элемент всегда находится с правой стороны, ^{[примечание 1]} − что можно переписать как (соответственно, как ). ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
   • Если семейство имеет наибольший элемент относительно (например, если ), то оно обязательно направлено вниз. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}$
3. Замкнут относительно конечных пересечений (соответственнообъединений), если пересечение (соответственно объединение) любых двух элементовявляется элементом ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Если замкнуто относительно конечных пересечений, то обязательно направлено вниз. Обратное, как правило, неверно. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. Замкнутый вверх илиизотоническийв^[5],еслиили, что эквивалентно, если всякий раз, когдаи некоторое множествоудовлетворяетАналогично,замкнутвниз,еслиЗамкнутый вверх (соответственно, вниз) набор также называетсяверхним наборомилирасстройством(соответственно,нижним наборомилинижним набором). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • Семейство , которое является замыканием вверх, является единственным наименьшим (относительно ) изотонной семьей множеств над , имеющей в качестве подмножества. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Многие свойства определенных выше и ниже, такие как «собственный» и «направленный вниз», не зависят от, поэтому при использовании таких терминов упоминание набора необязательно. Определения, включающие «закрытый вверх в », такие как «фильтровать по », зависят от, поэтому набор следует упомянуть, если это неясно из контекста. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\textrm {Filters}}(X)\quad =\quad {\textrm {DualIdeals}}(X)\,\setminus \,\{\wp (X)\}\quad \subseteq \quad {\textrm {Prefilters}}(X)\quad \subseteq \quad {\textrm {FilterSubbases}}(X).}$$

Семья — это: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Идеал ^[17][18],еслизамкнут вниз и замкнут относительно конечных объединений. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. Двойственный идеал на^[19],еслизамкнут вверх ви также замкнут относительно конечных пересечений. Эквивалентно,является двойственным идеалом, если для всех^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • Объяснение слова «дуальный»: Семья является дуальным идеалом (соотв. идеалом) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$дуальное из ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ которых семейство является идеалом (соотв. дуальным идеалом) на Другими словами, дуальный идеал означает « дуальный идеал ». Семейство не следует путать с , поскольку эти два множества в общем случае не равны; например, Двойственное двойственному является исходное семейство, что означает Множество принадлежит дуальному из тогда и только тогда, когда ^[17] $${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X~:~S\notin {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}=\wp (X){\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}=\wp (X).}$ ${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}.}$
3. Фильтр на^[19][7]если— собственный двойственный идеал наТо есть фильтр на— это непустое подмножество, замкнутое относительно конечных пересечений и замкнутое вверх вЭквивалентно, это предфильтр, замкнутый вверх вДругими словами, фильтр на— это семейство множеств над, которое (1) не пусто (или, что эквивалентно, содержит), (2) замкнуто относительно конечных пересечений, (3) замкнуто вверх ви (4) не имеет пустого множества в качестве элемента. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$
   • Предупреждение : Некоторые авторы, особенно алгебристы, используют «фильтр» для обозначения дуального идеала; другие, особенно топологи, используют «фильтр» для обозначения правильного / невырожденного дуального идеала. ^[20] Читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр» при чтении математической литературы. Однако определения «ультрафильтр», «предфильтр» и «подбаза фильтра» всегда требуют невырожденности. В этой статье используется оригинальное определение «фильтра» Анри Картана ^{[3] [4]} , которое требовало невырожденности.
   • Двойственный фильтр на — это семейство , двойственный фильтр которого является фильтром на Эквивалентно, это идеал на , который не содержит в качестве элемента. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
   • Набор степеней — единственный дуальный идеал , который не является также фильтром. Исключение из определения «фильтра» в топологии имеет то же преимущество, что и исключение из определения « простого числа »: оно устраняет необходимость указывать «невырожденный» (аналог «неунитального » или «не- ») во многих важных результатах, тем самым делая их утверждения менее неуклюжими. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
4. Предварительный фильтр илибаза фильтра ^[7][21],еслиявляется собственной и направлена ​​вниз. Эквивалентно,называется предфильтром, если ее замыкание вверхявляется фильтром. Его также можно определить как любое семейство, которое эквивалентно (относительно)некоторомуфильтру.^[8] Собственное семействоявляется предфильтром тогда и только тогда, когда^[8]Семейство является предфильтром тогда и только тогда, когда то же самое верно для его замыкания вверх. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Если является предварительным фильтром, то его восходящее замыкание является уникальным наименьшим (относительно ) фильтром по содержащему и называется фильтром, сгенерированным фильтром. Фильтр считается сгенерированным предварительным фильтром, если в , который называется базой фильтра для ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • В отличие от фильтра, предварительный фильтр не обязательно замкнут относительно конечных пересечений.
5. π –система , еслизамкнута относительно конечных пересечений. Каждое непустое семействосодержится в единственной наименьшейπ–системе, называемой π –системой, порожденной, которая иногда обозначаетсяОна равна пересечению всехπ–систем, содержащих, а также множеству всех возможных конечных пересечений множеств из: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$
   • π –система является предфильтром тогда и только тогда, когда она является правильной. Каждый фильтр является правильной π –системой, а каждая правильная π –система является предфильтром , но обратные утверждения в общем случае не выполняются.
   • Предварительный фильтр эквивалентен (относительно ) π -системе, порожденной им, и оба эти семейства порождают один и тот же фильтр на ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X.}$
6. Фильтровать подоснову ^[7][22]ицентрировать^[8],еслииудовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$имеет свойство конечного пересечения , что означает, что пересечение любого конечного семейства (одного или более) множеств в непусто; явно, это означает, что всякий раз, когда то ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. Система π , созданная с помощью, является правильной, то есть ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$
   3. Генерируемая π - система является предварительным фильтром. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого предварительного фильтра.
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является подмножеством некоторого фильтра.
   • Предположим, что есть подбаза фильтра. Тогда существует уникальный наименьший (относительно ) фильтр, содержащий называемый ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$фильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , иназываетсяподбазой фильтра дляэтого фильтра. Этот фильтр равен пересечению всех фильтров на ,которые являются надмножествамиπсистемы, сгенерированнойобозначенной ,будет предфильтром и подмножеством Более того, фильтр, сгенерированный ,равен восходящему замыканиюзначения^[8]Однако,тогдаи только тогда, когдаявляется предфильтром (хотявсегда является восходящей закрытой подбазой фильтрадля). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • Наименьший  (то есть наименьший относительно  ) предварительный фильтр, содержащий подбазу фильтра , будет существовать только при определенных обстоятельствах. Он существует, например, если подбаза фильтра также является предварительным фильтром. Он также существует, если фильтр (или, что эквивалентно, π –система), сгенерированный является главным, в этом случае является уникальным наименьшим предварительным фильтром, содержащим В противном случае, в общем случае,  наименьший предварительный фильтр, содержащий, может не существовать. По этой причине некоторые авторы могут ссылаться на π –систему, сгенерированную как ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$предварительный фильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Однако, если наименьший предварительный фильтр существует (скажем, он обозначен как), то вопреки обычным ожиданиям, оннеобязательно равен "предварительному фильтру, сгенерированному B {\displaystyle {\mathcal {B}}} " (то есть,возможен). И если подбаза фильтратакже является предварительным фильтром, но неπ-системой, то, к сожалению, "предварительный фильтр, сгенерированный этим предварительным фильтром" (то есть) не будет(то есть,возможен, даже когдаявляется предварительным фильтром), поэтому в этой статье будет предпочтительнее точная и недвусмысленная терминология " π -система,сгенерированная". ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. Подфильтр фильтра, иэто ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$суперфильтр ^[17][23]еслифильтромигде для фильтров, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • Важно отметить, что выражение «является суперфильтром » для фильтров является аналогом выражения «является подпоследовательностью ». Таким образом, несмотря на наличие префикса «под», выражение «является подфильтром» на самом деле является обратным выражению «является подпоследовательностью » . Однако его также можно записать так: « является подчиненным ». С этой терминологией выражение «является подчиненным » становится для фильтров (а также для предварительных фильтров) аналогом выражения «является подпоследовательностью » [ ^24] , что делает эту ситуацию единственной, в которой использование термина «подчиненный» и символа может быть полезным. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \,\vdash \,}$

В , нет никаких предварительных фильтров (и нет никаких сеток, оцененных в ), поэтому в этой статье, как и у большинства авторов, будет автоматически предполагаться без комментариев всякий раз, когда это предположение необходимо. ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$

Простые примеры

Названные примеры

• Одноэлементный набор называется недискретным или ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$тривиальный фильтр на ${\displaystyle X.}$^[25][10]Это уникальныйминимальныйфильтр на ,поскольку он является подмножеством каждого фильтра на; однако, он не обязательно должен быть подмножеством каждого предварительного фильтра на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Двойственный идеал также называется вырожденным фильтром на ^[9] (несмотря на то, что на самом деле он не является фильтром). Это единственный двойственный идеал на , который не является фильтром на ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Если является топологическим пространством и тогда фильтр соседства в является фильтром на По определению семейство называется базисом соседства (соответственно, подбазой соседства ) в тогда и только тогда, когда является предфильтром (соответственно, является подбазой фильтра), а фильтр на , который порождает , равен фильтру соседства Подсемейство открытых окрестностей является базисом фильтра для Оба предфильтра также образуют базисы для топологий на , причем генерируемая топология является более грубой , чем Этот пример немедленно обобщает окрестности точек на окрестности непустых подмножеств ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x{\text{ for }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau (x)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$этоэлементарный предварительный фильтр ^[26],еслидля некоторой последовательности ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$этоэлементарный фильтр илипоследовательный фильтр на^[27],еслиявляется фильтром на ,сгенерированным некоторым элементарным предфильтром. Фильтр хвостов, сгенерированный последовательностью, которая в конечном счете не является константой, обязательноне являетсяультрафильтром.^[28]Каждый главный фильтр на счетном множестве последователен, как и каждый коконечный фильтр на счетно бесконечном множестве.^[9]Пересечение конечного числа последовательных фильтров снова последовательно.^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
• Множество всех кофинитных подмножеств ( то есть тех множеств, дополнение которых в конечно) является собственным тогда и только тогда, когда является бесконечным (или, что эквивалентно, является бесконечным), и в этом случае является фильтром, известным как фильтр Фреше или ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$кофинитный фильтр на^[10][25]Есликонечен, торавен двойственному идеалу, который не является фильтром. Еслибесконечен, то семействодополнений одноэлементных множеств является подбазой фильтров, которая порождает фильтр Фреше наКак и в случае с любым семейством множеств над, содержащимядро ​​фильтра Фреше на ,является пустым множеством: ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• Пересечение всех элементов в любом непустом семействе само по себе является фильтром на , называемым инфимумом или наилучшей нижней границей , поэтому его можно обозначить как Сказано иначе, поскольку каждый фильтр на имеет в качестве подмножества, это пересечение никогда не бывает пустым. По определению, инфимум является наилучшим/наибольшим (относительно ) фильтром, содержащимся в качестве подмножества каждого члена ^[10] ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle \bigwedge _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker \mathbb {F} =\bigcap _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • Если являются фильтрами, то их инфимум по является фильтром ^[8] Если являются предварительными фильтрами, то является предварительным фильтром, который грубее (по отношению к ), чем оба (то есть ); на самом деле, это один из лучших таких предварительных фильтров , что означает, что если является предварительным фильтром, таким что то обязательно ^[8] В более общем смысле, если являются непустыми семействами и если , то и является наибольшим элементом (по отношению к ) из ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \mathbb {S} .}$
• Пусть и пусть Супремум или наименьшая верхняя граница для обозначается как является наименьшим (относительно ) дуальным идеалом на , содержащим каждый элемент из как подмножество; то есть, это наименьший (относительно ) дуальный идеал на , содержащим как подмножество. Этот дуальный идеал есть где является π -системой, порожденной Как и в случае с любым непустым семейством множеств, содержится в некотором фильтре на тогда и только тогда, когда он является подбазой фильтра, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда является фильтром на в этом случае это семейство является наименьшим (относительно ) фильтром на , содержащим каждый элемент из как подмножество и обязательно ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• Пусть и пусть Супремум или наименьшая верхняя граница обозначается как , если он существует, по определению является наименьшим (относительно ) фильтром на , содержащим каждый элемент из как подмножество. Если он существует, то обязательно ^[10] (как определено выше) и также будет равен пересечению всех фильтров на , содержащих Этот супремум существует тогда и только тогда, когда двойственный идеал является фильтром на Наименьшая верхняя граница семейства фильтров может не быть фильтром. ^[10] Действительно, если содержит по крайней мере 2 различных элемента, то существуют фильтры, для которых не существует фильтра , содержащего оба Если не является подбазой фильтра, то супремум не существует, и то же самое верно для его супремума в , но их супремум в множестве всех двойственных идеалов на будет существовать (он является вырожденным фильтром ). ^[9] ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  • Если являются предварительными фильтрами (соответственно фильтрами на ), то является предварительным фильтром (соответственно фильтром) тогда и только тогда, когда он невырожден (или, говоря иначе, тогда и только тогда, когда сетка ), в этом случае он является одним из самых грубых предварительных фильтров (соответственно самым грубым фильтром) на (относительно ), который тоньше (относительно ), чем оба это означает, что если является любым предварительным фильтром (соответственно любым фильтром) таким, что то обязательно ^[8] в этом случае он обозначается как ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$
• Пусть — непустые множества и для каждого пусть — двойственный идеал на Если — любой двойственный идеал на , то — двойственный идеал на , называемый двойственным идеалом Ковальского или фильтром Ковальского . ^[17] ${\displaystyle I{\text{ and }}X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \bigcup _{\Xi \in {\mathcal {I}}}\;\;\bigcap _{i\in \Xi }\;{\mathcal {D}}_{i}}$ ${\displaystyle X}$
• Клубный фильтр регулярного несчетного кардинала — это фильтр всех множеств, содержащих клубное подмножество Это -полный фильтр, замкнутый относительно диагонального пересечения . ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle \kappa }$

Другие примеры

• Пусть и пусть что делает предварительный фильтр и подбазу фильтра, которая не замкнута относительно конечных пересечений. Поскольку является предварительным фильтром, наименьший предварительный фильтр, содержащий является π –система, сгенерированная является В частности, наименьший предварительный фильтр, содержащий подбазу фильтра, не равен множеству всех конечных пересечений множеств в Фильтр на сгенерированном является Все три π –системы порождают и являются примерами фиксированных , главных , ультра предварительных фильтров, которые являются главными в точке также является ультрафильтром на ${\displaystyle X=\{p,1,2,3\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$
• Пусть будет топологическим пространством, и определите, где обязательно тоньше, чем ^[29] Если непусто (соответственно, невырождено, является подбазой фильтра, предфильтром, замкнуто относительно конечных объединений), то то же самое верно для Если является фильтром на , то является предфильтром, но не обязательно является фильтром на , хотя является фильтром на эквивалентно ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$
• Множество всех плотных открытых подмножеств (непустого) топологического пространства является собственной π -системой и, следовательно, также предфильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств является π -системой и предфильтром, который тоньше, чем Если (с ), то множество всех таких, что имеет конечную меру Лебега , является собственной π -системой и свободным предфильтром, который также является собственным подмножеством Предфильтры и эквивалентны и, следовательно, порождают тот же фильтр на Предфильтр надлежащим образом содержится в предфильтре, состоящем из всех плотных подмножеств из Поскольку является пространством Бэра , каждое счетное пересечение множеств из плотно в (а также коагре и нетощее), поэтому множество всех счетных пересечений элементов из является предфильтром и π -системой; оно также тоньше, но не эквивалентно, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.}$
• Подбаза фильтра без наименьшего содержащего ее предфильтра ${\displaystyle \,\subseteq -}$ : В общем случае, если подбаза фильтра не является π -системой, то пересечение множеств из обычно требует описания с использованием переменных, которые не могут быть сведены к двум (рассмотрим, например, случай ). Этот пример иллюстрирует нетипичный класс подбаз фильтра , где все множества в обеих и ее сгенерированной π -системе могут быть описаны как множества вида так, что, в частности, для описания сгенерированной π -системы требуется не более двух переменных (в частности, ) . Для всех пусть , где всегда выполняется, поэтому общность не теряется при добавлении предположения Для всех действительных чисел если неотрицательно, то ^{[примечание 2]} Для каждого набора положительных действительных чисел пусть ^{[примечание 3]} Пусть и предположим, что не является одноэлементным множеством. Тогда является подбазой фильтра , но не предварительным фильтром и является π -системой , которую она генерирует, так что является уникальным наименьшим фильтром в , содержащим Однако не является фильтром на (и не является предварительным фильтром, поскольку он не направлен вниз, хотя и является подбазой фильтра) и является собственным подмножеством фильтра Если являются непустыми интервалами, то подбазы фильтра генерируют тот же фильтр на тогда и только тогда, когда Если является предварительным фильтром , удовлетворяющим ^{[примечание 4]} , то для любого семейство также является предварительным фильтром , удовлетворяющим Это показывает, что не может существовать минимального / наименьшего (относительно ) предфильтра , который одновременно содержит и является подмножеством π -системы, генерируемой Это остается верным, даже если требование, чтобы предварительный фильтр был подмножеством , удалено; то есть (в резком контрасте с фильтрами) не существует минимального / наименьшего (относительно ) предфильтра , содержащего подбазу фильтра ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{(-\infty ,r)\cup (r,\infty )~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle B_{r,s},}$ ${\displaystyle r{\text{ and }}s}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle B_{r,s}=(r,0)\cup (s,\infty ),}$$ ${\displaystyle B_{r,s}=B_{\min(r,s),s}}$ ${\displaystyle r\leq s.}$ ${\displaystyle r\leq s{\text{ and }}u\leq v,}$ ${\displaystyle s{\text{ or }}v}$ ${\displaystyle B_{-r,s}\cap B_{-u,v}=B_{-\min(r,u),\max(s,v)}.}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}:=\left\{B_{-r,r}:r\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (r,\infty ):r\in R\}\quad {\text{ and }}\quad {\mathcal {B}}_{R}:=\left\{B_{-r,s}:r\leq s{\text{ with }}r,s\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (s,\infty ):r\leq s{\text{ in }}R\}.}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varnothing \neq R\subseteq (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}=\pi \left({\mathcal {S}}_{R}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle R,S\subseteq (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}{\text{ and }}{\mathcal {S}}_{S}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}\setminus {\mathcal {S}}_{(0,\infty )},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\setminus \{C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\setminus \{C\}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}=\pi \left({\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\right)}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.}$

Ультрафильтры

Существует множество других характеристик «ультрафильтра» и «ультрапредфильтра», которые перечислены в статье об ультрафильтрах . Важные свойства ультрафильтров также описаны в этой статье.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}{\textrm {Ultrafilters}}(X)\;&=\;{\textrm {Filters}}(X)\,\cap \,{\textrm {UltraPrefilters}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {UltraPrefilters}}(X)={\textrm {UltraFilterSubbases}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {Prefilters}}(X)\\\end{alignedat}}}$$

Непустое семейство множеств — это: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

8. Ультра ^{[7] [30]} , есливыполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$
   1. Для каждого множества существует некоторое множество такое, что (или, что эквивалентно, такое, что ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing }$
   2. Для каждого множества существует некоторое множество такое, что ${\displaystyle S\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Эта характеристика « ультра» не зависит от набора , поэтому упоминание набора необязательно при использовании термина «ультра». ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
   3. Для каждого множества (не обязательно даже подмножества ) существует некоторое множество такое, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Если удовлетворяет этому условию, то так же удовлетворяет и любое надмножество . Например, если является любым одноэлементным множеством , то является ультра и, следовательно, любое невырожденное надмножество (такое как его восходящее замыкание) также является ультра. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{T\}}$ ${\displaystyle \{T\}}$
9. Ultra prefilter ^{[7] [30]} если это prefilter, который также является ultra. Эквивалентно, это filter subbase, который является ultra. Prefilter является ultra тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является максимальным по отношению к , что означает, что ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
   2. ${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$
      • Хотя это утверждение идентично приведенному ниже для ультрафильтров, здесь просто предполагается, что это предварительный фильтр; это не обязательно должен быть фильтр. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$является ультра (и, следовательно, ультрафильтром).
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$эквивалентно (относительно ) некоторому ультрафильтру. ${\displaystyle \leq }$
   • Фильтрующая подбаза, которая является ультра, обязательно является предфильтром. Фильтрующая подбаза является ультра, если и только если она является максимальной фильтрующей подбазой относительно (как выше). ^[17] ${\displaystyle \,\leq \,}$
10. Ультрафильтр на ${\displaystyle X}$^{[7] [30]} если это фильтр на, который является ультра. Эквивалентно, ультрафильтр на— это фильтр, который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$
    1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$генерируется ультрафильтром предварительной очистки.
    2. Для любого ^[17] ${\displaystyle S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.}$
    3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).}$Это условие можно переформулировать так: разделяется и его двойственным ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}.}$
       • Множества не пересекаются, если является предварительным фильтром. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
    4. ${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\in \wp (X):S\not \in {\mathcal {B}}\}}$это идеал. ^[17]
    5. Для любого если то ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S=X}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.}$
    6. Для любого если то (фильтр с таким свойством называется простым фильтром ). ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}}$
       • Это свойство распространяется на любое конечное объединение двух или более множеств.
    7. Для любого если то либо ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}R\cap S=\varnothing }$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.}$
    8. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является максимальным фильтром на ; это означает, что если является фильтром на , таким что , то обязательно (это равенство можно заменить на ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$
       • Если закрыто вверх, то Таким образом, эту характеристику ультрафильтров как максимальных фильтров можно переформулировать следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.}$ $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
       • Поскольку подчинение для фильтров является аналогом «является подсетью/подпоследовательностью» (в частности, «подсеть» должно означать «AA–подсеть», что определено ниже), эта характеристика ультрафильтра как «максимально подчиненного фильтра» предполагает, что ультрафильтр можно интерпретировать как аналог некоторой «максимально глубокой сети» (что может, например, означать, что «если смотреть только из » в некотором смысле, он неотличим от своих подсетей, как в случае с любой сетью, оцененной в одноэлементном наборе, например), ^{[примечание 5],} что является идеей, которая фактически сделана строгой ультрасетями . Лемма об ультрафильтре тогда является утверждением, что каждый фильтр («сеть») имеет некоторый подчиненный фильтр («подсеть»), который является «максимально подчиненным» («максимально глубоким»). ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle X}$

Любое невырожденное семейство, имеющее в качестве элемента набор синглетонов, является ультра, и в этом случае оно будет ультра-предфильтром тогда и только тогда, когда оно также имеет свойство конечного пересечения. Тривиальный фильтр является ультра тогда и только тогда, когда является набором синглетонов. ${\displaystyle \{X\}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle X}$

Лемма об ультрафильтре

Следующая важная теорема принадлежит Альфреду Тарскому (1930). ^[31]

Лемма/принцип/теорема об ультрафильтре ^[10]  ( Тарский )  —  Каждый фильтр на множествеявляется подмножеством некоторого ультрафильтра на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Следствием леммы об ультрафильтре является то, что каждый фильтр равен пересечению всех ультрафильтров, его содержащих. ^{[10] [доказательство 1]} Предполагая аксиомы Цермело–Френкеля (ZF) , лемма об ультрафильтре следует из аксиомы выбора (в частности, из леммы Цорна ), но строго слабее ее. Лемма об ультрафильтре подразумевает аксиому выбора для конечных множеств. Если иметь дело только с хаусдорфовыми пространствами, то большинство основных результатов (встречающихся во вводных курсах) по топологии (таких как теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств и теорема Александера о предбазе ) и по функциональному анализу (таких как теорема Хана–Банаха ) можно доказать, используя только лемму об ультрафильтре; полная сила аксиомы выбора может не потребоваться.

Ядра

Ядро полезно для классификации свойств предварительных фильтров и других семейств множеств.

Ядро ^[5] семейства множеств — это пересечение всех множеств, являющихся элементами ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$ $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

Если тогда для любой точки ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x,x\not \in \ker {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus \{x\}\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$

Свойства ядер

Если то и этот набор также равен ядру π -системы, которая генерируется В частности, если является подбазой фильтра, то ядра всех следующих наборов равны: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(1) (2) π –система, сгенерированная и (3) фильтр, сгенерированный ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Если это отображение, то и Если , то, пока если и эквивалентны, то Эквивалентные семейства имеют равные ядра. Два главных семейства эквивалентны тогда и только тогда, когда их ядра равны; то есть, если и являются главными, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\subseteq \ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.}$

Классификация семей по их ядрам

Семейство множеств — это: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

2. Бесплатно ^[6],еслиили, что эквивалентно, еслиэто можно переформулировать как ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Фильтр на является свободным тогда и только тогда, когда он бесконечен и содержит фильтр Фреше на в качестве подмножества. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$
3. Фиксирован , еслив этом случаеговорят, что онфиксированлюбой точкой ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathcal {B}}.}$
   • Любое фиксированное семейство обязательно является подбазой фильтра.
4. Принципал ^[6]если ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Правильное главное семейство множеств обязательно является предварительным фильтром.
5. Дискретный илиглавный в ^[25],еслив каком случаеназывается его ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle x}$главный элемент .
   • Главный фильтр в точке ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ является фильтром Фильтр является главным в точке тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.}$
6. Счетно глубоко , если всякий раз, когда есть счетное подмножество, то ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.}$

Если — главный фильтр, то и где — также наименьший предварительный фильтр, который генерирует ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}=\{S\cup \ker {\mathcal {B}}:S\subseteq X\setminus \ker {\mathcal {B}}\}=\wp (X\setminus \ker {\mathcal {B}})\,(\cup )\,\{\ker {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Семейство примеров: Для любого непустого семейство свободно, но является подбазой фильтра тогда и только тогда, когда никакое конечное объединение вида не покрывает , в этом случае фильтр, который он порождает, также будет свободным. В частности, является подбазой фильтра, если является счетным (например, простые числа), тощим множеством в множестве конечной меры или ограниченным подмножеством Если является одноэлементным множеством, то является подбазой для фильтра Фреше на ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Для каждого фильтра существует уникальная пара дуальных идеалов, такая что является свободным, является главным, и и не зацепляются (то есть, ). Дуальный идеал называется свободной частью , в то время как называется главной частью ^[9] , где по крайней мере один из этих дуальных идеалов является фильтром. Если является главным , то в противном случае и является свободным (невырожденным) фильтром. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\wedge {\mathcal {F}}^{\bullet }={\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\vee {\mathcal {F}}^{\bullet }=\wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }:={\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{*}:=\wp (X);}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }:=\{\ker {\mathcal {F}}\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}:={\mathcal {F}}\vee \{X\setminus \left(\ker {\mathcal {F}}\right)\}^{\uparrow X}}$

Конечные предварительные фильтры и конечные множества

Если подбаза фильтра конечна, то она фиксирована (то есть не свободна); это происходит потому, что является конечным пересечением, а подбаза фильтра имеет свойство конечного пересечения. Конечный предфильтр обязательно является главным, хотя он не обязательно должен быть замкнутым относительно конечных пересечений. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Если конечно, то все приведенные выше выводы справедливы для любого В частности, на конечном множестве нет свободных подбаз фильтров (и, следовательно, нет свободных предварительных фильтров), все предварительные фильтры являются главными, а все фильтры на являются главными фильтрами, порожденными их (непустыми) ядрами. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Тривиальный фильтр всегда является конечным фильтром на и если бесконечно, то это единственный конечный фильтр, поскольку нетривиальный конечный фильтр на множестве возможен тогда и только тогда, когда конечно. Однако на любом бесконечном множестве существуют нетривиальные подбазы фильтров и предфильтры, которые являются конечными (хотя они не могут быть фильтрами). Если является одноэлементным множеством, то тривиальный фильтр является единственным собственным подмножеством и, более того, это множество является главным ультрапредфильтром, и любое надмножество (где ) со свойством конечного пересечения также будет главным ультрапредфильтром (даже если бесконечно). ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}X\subseteq Y}$ ${\displaystyle Y}$

Характеристика фиксированных ультрафильтров предварительной очистки

Если семейство множеств фиксировано (то есть ), то является ультра тогда и только тогда, когда некоторый элемент является синглтонным множеством, в этом случае обязательно будет предфильтром. Каждый главный предфильтр фиксирован, поэтому главный предфильтр является ультра тогда и только тогда, когда является синглтонным множеством. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}}$

Каждый фильтр на , который является главным в одной точке, является ультрафильтром, а если вдобавок является конечным, то нет никаких ультрафильтров на , кроме этих. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он свободен, либо это главный фильтр, порожденный одной точкой.

Предложение  —  Если является ультрафильтром, то следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$фиксировано или, что то же самое, не свободно, то есть ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является главным, то есть ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.}$
3. Некоторый элемент представляет собой конечное множество. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
4. Некоторый элемент представляет собой одноэлементное множество. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является главным в какой-то момент, что означает для некоторых ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$не содержит фильтр Фреше на ${\displaystyle X.}$
7. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$является последовательным. ^[9]

Более тонкий/грубый, подчинение и сцепка

Предварительный порядок , который определен ниже, имеет фундаментальное значение для использования предварительных фильтров (и фильтров) в топологии. Например, этот предварительный порядок используется для определения эквивалента предфильтра "подпоследовательности", ^[24] где " " можно интерпретировать как " является подпоследовательностью " (поэтому "подчиненный" является предварительным эквивалентом "подпоследовательности"). Он также используется для определения сходимости предфильтра в топологическом пространстве. Определение сеток, с которыми тесно связано предварительный порядок, используется в топологии для определения точек кластера . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$

Два семейства наборов ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ сетка ^[7]исовместимы, что обозначается записью,еслиеслине сцепляются, то онидиссоциированы. Еслитоговорят, чтосцепляютсяеслисцепляются, или, что эквивалентно, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}}$след которогоявляется семейством не содержит пустого множества, где след также называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$ограничение​ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ to }}S.}$

Объявить, что указанное как является более грубым, чем и является более тонким, чем (или подчиненным ) ^{[10] [11] [12] [8] [9],} если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

1. Определение: Каждый содержит некоторые Явно это означает, что для каждого существует некоторые такие, что ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C.}$
   • Говоря короче, если каждое множество в больше некоторого множества в Здесь «большее множество» означает надмножество. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
2. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.}$
   • На словах утверждается, что оно больше некоторого множества в Эквивалентность (а) и (б) следует немедленно. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • Из этой характеристики следует, что если — семейства множеств, то ${\displaystyle \left({\mathcal {C}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for all }}i\in I.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$что эквивалентно ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}}$;
5. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$что эквивалентно ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$

и если вдобавок закрыто вверх, это означает, что тогда этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$

6. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$^[5]
   • Таким образом, в этом случае определение « тоньше , чем » было бы идентично топологическому определению «тоньше», если бы топологии были на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Если замкнутое вверх семейство тоньше (то есть ), но тогда говорят, что оно строго тоньше и строго грубее ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Два семейства сравнимы , если одно из этих множеств лучше другого. ^[10]

Пример : Если является подпоследовательностью , то подчиняется в символах: и также Говоря простым языком, предварительный фильтр хвостов подпоследовательности всегда подчиняется таковому исходной последовательности. Чтобы увидеть это, пусть будет произвольным (или, что эквивалентно, пусть будет произвольным), и остается показать, что этот набор содержит некоторые Для того, чтобы набор содержал его, достаточно иметь Поскольку являются строго возрастающими целыми числами, существует такое, что и поэтому выполняется, как и требовалось. Следовательно, Левая часть будет строгим/собственным подмножеством правой части, если (например) каждая точка уникальна (то есть когда является инъективной) и является четно-индексированной подпоследовательностью , потому что при этих условиях каждый хвост (для каждого ) подпоследовательности будет принадлежать фильтру правой стороны, но не фильтру левой стороны. ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},}$ ${\displaystyle i\leq i_{n}.}$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i_{n}\geq i,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Другой пример: если есть какое-либо семейство, то всегда выполняется и, кроме того, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

Предположим, что являются семействами множеств, которые удовлетворяют Тогда и и также Если в дополнение к является подбазой фильтра и тогда является подбазой фильтра ^[8] и также сетка. ^{[19] [доказательство 2]} В более общем случае, если и если пересечение любых двух элементов непусто, то сетка. ^{[доказательство 2]} Каждая подбаза фильтра грубее как π -системы, которую она порождает, так и фильтра, который она порождает. ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\subseteq \ker {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing {\text{ implies }}{\mathcal {F}}\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {C}}{\text{ implies }}\varnothing \in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}\varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

Если есть семейства такие, что семейство является ультра, то обязательно является ультра. Из этого следует, что любое семейство, эквивалентное ультрасемейству, обязательно будет ультра . В частности, если является предварительным фильтром, то либо оба и фильтр, который он генерирует, являются ультра, либо ни один из них не является ультра. Если подбаза фильтра является ультра, то она обязательно является предварительным фильтром, в этом случае фильтр, который он генерирует, также будет ультра. Подбаза фильтра , которая не является предварительным фильтром, не может быть ультра; но тем не менее предварительный фильтр и фильтр, сгенерированный с помощью, все еще могут быть ультра. Если замкнуто вверх в то ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}(X\setminus S)\#{\mathcal {B}}.}$

Относительные свойства подчинения

Отношение рефлексивно и транзитивно , что делает его предпорядком на [ ^32]. Отношение антисимметрично, но если имеет более одной точки, то оно не симметрично . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$

Симметрия : Для любого So множество имеет более одной точки тогда и только тогда, когда отношение не является симметричным . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),{\mathcal {B}}\leq \{X\}{\text{ if and only if }}\{X\}={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$

Антисимметрия : Если , но в то время как обратное не выполняется в общем случае, оно выполняется, если закрыто вверх (например, если является фильтром). Два фильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны, что делает ограничение на антисимметричным . Но в общем случае не является антисимметричным ни на ; то есть не обязательно подразумевает ; даже если оба являются предварительными фильтрами. ^[12] Например, если является предварительным фильтром, но не фильтром, то ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ and }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {B}}{\text{ but }}{\mathcal {B}}\neq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$

Эквивалентные семейства множеств

Предпорядок индуцирует свое каноническое отношение эквивалентности , где для всех эквивалентно , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ^{[8] [5]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.}$
2. Закрытия вверх равны. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$

Два замкнутых вверх (в ) подмножества эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. ^[8] Если , то обязательно и эквивалентно Каждый класс эквивалентности, отличный от , содержит уникального представителя (то есть элемент класса эквивалентности), который замкнут вверх в ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$

Сохранение собственности между эквивалентными семьями

Пусть будет произвольным и пусть будет любым семейством множеств. Если эквивалентны (что подразумевает, что ), то для каждого из перечисленных ниже утверждений/свойств либо это верно для обоих , либо это ложно для обоих : ^[32] ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

1. Не пусто
2. Правильный (то есть не является элементом) ${\displaystyle \varnothing }$
   • Более того, любые два вырожденных семейства обязательно эквивалентны.
3. Фильтр подосновы
4. Предварительный фильтр
   • В этом случае генерируется тот же фильтр (то есть их восходящие замыкания равны). ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
5. Бесплатно
6. Главный
7. Ультра
8. Равнозначен тривиальному фильтру ${\displaystyle \{X\}}$
   • На словах это означает, что единственное подмножество , эквивалентное тривиальному фильтру , — это тривиальный фильтр. В общем случае этот вывод о равенстве не распространяется на нетривиальные фильтры (исключение — когда оба семейства являются фильтрами). ${\displaystyle \wp (X)}$
9. Сетки с ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
10. Тоньше, чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
11. Грубее, чем ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
12. Эквивалентно ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

В приведенном выше списке отсутствует слово «фильтр», поскольку это свойство не сохраняется эквивалентностью. Однако, если есть фильтры, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны; эта характеристика не распространяется на предварительные фильтры. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$

Эквивалентность предварительных фильтров и подбаз фильтров

Если включен предварительный фильтр , то следующие семейства всегда эквивалентны друг другу: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$;
2. π –система , генерируемая ; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. фильтр, созданный ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

и более того, все эти три семейства генерируют один и тот же фильтр (то есть восходящие замыкания в этих семействах равны). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В частности, каждый предварительный фильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. По транзитивности два предварительных фильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр. ^{[8] [доказательство 3]} Каждый предварительный фильтр эквивалентен ровно одному фильтру, на котором находится фильтр, который он генерирует (то есть восходящее замыкание предфильтра). Говоря иначе, каждый класс эквивалентности предварительных фильтров содержит ровно одного представителя, который является фильтром. Таким образом, фильтры можно рассматривать как просто различающиеся элементы этих классов эквивалентности предварительных фильтров. ^[8] ${\displaystyle X,}$

Подбаза фильтра, которая не является также предварительным фильтром, не может быть эквивалентна предварительному фильтру (или фильтру), который она генерирует. Напротив, каждый предварительный фильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. Вот почему предварительные фильтры могут, в общем и целом, использоваться взаимозаменяемо с фильтрами, которые они генерируют, в то время как подбазы фильтра не могут. Каждый фильтр является как π -системой , так и кольцом множеств .

Примеры определения эквивалентности/неэквивалентности

Примеры: Пусть и пусть будут множеством целых чисел (или множеством ). Определим множества ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{[e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }=\{(-\infty ,e)\cup (1+e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }=\{(-\infty ,e]\cup [1+e,\infty )~:~e\in E\}.}$$

Все три набора являются подбазами фильтров, но ни один из них не является фильтром на и только является предфильтром (фактически, является даже свободным и замкнутым относительно конечных пересечений). Набор фиксирован, пока является свободным (если только ). Они удовлетворяют , но никакие два из этих семейств не эквивалентны; более того, никакие два из фильтров, сгенерированных этими тремя подбазами фильтров, не эквивалентны/равны. К этому выводу можно прийти, показав, что π -системы, которые они генерируют, не эквивалентны. В отличие от каждого набора в π- системе, сгенерированной содержит как подмножество, ^{[примечание 6]} , что препятствует тому, чтобы их сгенерированные π -системы (и, следовательно, их сгенерированные фильтры) были эквивалентны. Если бы вместо этого было , то все три семейства были бы свободны, и хотя наборы оставались бы не эквивалентными друг другу, их сгенерированные π -системы были бы эквивалентны, и, следовательно, они бы генерировали один и тот же фильтр на ; однако этот общий фильтр все равно был бы строго грубее фильтра, сгенерированного ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle E=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }\leq {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }\leq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} },}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\text{ or }}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }{\text{ and }}{\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Теоретико-множественные свойства и конструкции

Трассировка и построение сетки

Если является предварительным фильтром (соотв. фильтром) на , то след которого является семейством является предварительным фильтром (соотв. фильтром) тогда и только тогда, когда сетка (то есть ^[10] ), в этом случае след называется индуцированным . Если является ультра и если сетка , то след является ультра. Если является ультрафильтром на , то след является фильтром на , тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

Например, предположим, что фильтр на таков, что Тогда сетка и генерирует фильтр на , который строго тоньше, чем ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{S\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Когда предварительные фильтры сцепляются

При наличии непустых семейств семейство удовлетворяет и Если является собственным (соответственно предварительным фильтром, подбазой фильтра), то это также верно для обоих Для того чтобы сделать какие-либо осмысленные выводы о том, что из должно быть собственным (то есть, что является мотивацией для определения «сетки»). В этом случае является предварительным фильтром (соответственно подбазой фильтра) тогда и только тогда, когда это верно для обоих. Иными словами, если являются предварительными фильтрами, то они сцепляются тогда и только тогда, когда является предварительным фильтром. Обобщение дает хорошо известную характеристику «сетки» исключительно в терминах подчинения (то есть, ): ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

     Два предварительных фильтра (соответственно, подбазы фильтров) сцепляются тогда и только тогда, когда существует предварительный фильтр (соответственно, подбаза фильтров) такой, что и ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Если наименьшая верхняя граница двух фильтров существует, то эта наименьшая верхняя граница равна ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$

Образы и прообразы под функциями

Везде будут отображаться отображения между непустыми множествами. ${\displaystyle f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z}$

Изображения предварительных фильтров

Пусть Многие из свойств, которые могут иметься, сохраняются при отображении карт; заметными исключениями являются замкнутость вверх, замкнутость при конечных пересечениях и фильтрация, которые не обязательно сохраняются. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Явно, если одно из следующих свойств верно для , то оно обязательно будет верно и для (хотя, возможно, не для области значений, если только не является сюръективным): ^{[10] [13] [33] [34] [35] [31]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$

• Свойства фильтра: ультра, ультрафильтр, фильтр, предварительный фильтр, подоснова фильтра, двойной идеальный, закрытый вверх, правильный/невырожденный.
• Идеальные свойства: идеальный, замкнутый относительно конечных объединений, замкнутый вниз, направленный вверх.

Более того, если это предварительный фильтр, то и оба они являются ^[10] Изображение под картой ультра-набора снова является ультра, и если это ультра-предварительный фильтр, то и ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Если является фильтром, то является фильтром на диапазоне , но является фильтром на области значений, если и только если является сюръективным. ^[33] В противном случае это просто предварительный фильтр на и его замыкание вверх должно быть принято для получения фильтра. Замыкание вверх есть, где если является замкнутым вверх в (то есть фильтром), то это упрощается до: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle g(Y),}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z}$ $${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$

Если тогда взять в качестве карты включения, то будет показано, что любой предварительный фильтр (соответственно, ультрапредварительный фильтр, подбаза фильтров) на также является предварительным фильтром (соответственно, ультрапредварительный фильтр, подбаза фильтров) на ^[10] ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Прообразы предварительных фильтров

Пусть При предположении, что является сюръективным : ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является предфильтром (соответственно подбазой фильтра, π -системой, замкнутой относительно конечных объединений, собственной) тогда и только тогда, когда это верно для ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Однако если является ультрафильтром на , то даже если является сюръективным (что создало бы предварительный фильтр), тем не менее, предварительный фильтр все равно может не быть ни ультрафильтром, ни фильтром на ^[34] (см. эту сноску ^{[примечание 7]} для примера). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X}$ 

Если не сюръективно, то обозначим след через , где в этом частном случае след удовлетворяет: и, следовательно, также: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)}$$ $${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).}$$

Последнее равенство и тот факт, что след представляет собой семейство множеств над означает, что для вывода выводов о следе можно использовать вместо , а сюръекцию можно использовать вместо Например: ^{[13] [10] [35]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является предварительным фильтром (соответственно подбазой фильтра, π –системой, собственно) тогда и только тогда, когда это верно для ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.}$

Таким образом, случай, когда не является (обязательно) сюръективным, можно свести к случаю сюръективной функции (что является случаем, описанным в начале этого подраздела). ${\displaystyle f}$

Даже если является ультрафильтром на , если не является сюръективным, то тем не менее возможно, что также сделает вырожденным. Следующая характеристика показывает, что вырождение является единственным препятствием. Если является предфильтром, то следующие эквивалентны: ^{[13] [10] [35]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$является предварительным фильтром;
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$является предварительным фильтром;
3. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$;
4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$сетка с ${\displaystyle f(X)}$

и более того, если это предварительный фильтр, то это также ^{[13] [10]} ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).}$

Если и если обозначает отображение включения, то след равен ^[10] Это наблюдение позволяет применить результаты этого подраздела к исследованию следа на множестве. ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :S\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle \operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Биекции, инъекции и сюръекции

Все свойства, связанные с фильтрами, сохраняются при биекциях. Это означает, что если является биекцией, то является предфильтром (соответственно ультра, ультрапредфильтр, фильтр на ультрафильтре на подбазе фильтров, π –система, идеал на и т. д.) тогда и только тогда, когда то же самое верно для ^[34] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}g:Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}Z.}$

Отображение инъективно тогда и только тогда, когда для всех предварительных фильтров эквивалентно ^[28] Образ ультрасемейства множеств при инъекции снова является ультра. ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$

Отображение является сюръекцией тогда и только тогда, когда всякий раз, когда является предфильтром на , то то же самое верно и для (этот результат не требует леммы об ультрафильтре). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}){\text{ on }}X}$

Подчинение сохраняется посредством образов и прообразов.

Отношение сохраняется как относительно образов, так и относительно прообразов семейств множеств. ^[10] Это означает, что для любых семейств ^[35] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).}$$

Более того, для любого семейства множеств всегда выполняются следующие соотношения : ^[35] где равенство будет выполняться, если является сюръективным. ^[35] Кроме того, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).}$$

Если то ^[9] и ^[35] где равенство будет иметь место, если является инъективным. ^[35] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)}$ $${\displaystyle f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})}$$ ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$

Продукция предварительных фильтров

Предположим, что есть семейство из одного или нескольких непустых множеств, произведение которых будет обозначаться как и для каждого индекса пусть обозначает каноническую проекцию. Пусть будут непустыми семействами, также индексированными как , так что для каждого Произведение семейств ^[10] определяется идентично тому, как определяются базовые открытые подмножества топологии произведения (если бы все они были топологиями). То есть, обе нотации обозначают семейство всех цилиндрических подмножеств таких, что для всех, кроме конечного числа и где для любого из этих конечного числа исключений (то есть для любого такого, что обязательно ). Когда каждое является подбазой фильтров, то семейство является подбазой фильтров для фильтра на , сгенерированного ^[10] Если является подбазой фильтров, то фильтр на , который он генерирует, называется фильтром, сгенерированным . ^[10] Если каждый является предварительным фильтром для , то будет предварительным фильтром для и, более того, этот предварительный фильтр равен самому грубому предварительному фильтру, такому что для каждого ^[10] Однако может не быть фильтром для , даже если каждый является фильтром для ^[10] ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i},}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ $${\displaystyle \prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}\subseteq \prod _{}X_{\bullet }}$ ${\displaystyle S_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}\neq X_{i},}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }.}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}\prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Вычитание множества и несколько примеров

Установить вычитание подмножества ядра

Если является предварительным фильтром на , то является предварительным фильтром, где этот последний набор является фильтром тогда и только тогда, когда является фильтром и В частности, если является базисом окрестности в точке топологического пространства, имеющей не менее 2 точек, то является предварительным фильтром на Эта конструкция используется для определения в терминах сходимости предварительных фильтров. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,S\subseteq \ker {\mathcal {B}},{\text{ and }}S\not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{B\setminus S~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S=\varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{B\setminus \{x\}~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y}$

Использование двойственности между идеалами и двойственных идеалов

Существует двойственное отношение или , которое определяется как то, что каждое содержится в некотором Явно это означает, что для каждого существует такое , что Это отношение двойственно в том смысле, что тогда и только тогда, когда ^[5] Отношение тесно связано с нисходящим замыканием семейства способом, аналогичным тому, как оно связано с восходящим замыканием семейства. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\vartriangleright {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B\subseteq C.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (X\setminus {\mathcal {B}})\leq (X\setminus {\mathcal {C}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Для примера, который использует эту двойственность, предположим, что есть отображение и Define , которое содержит пустое множество тогда и только тогда, когда содержит. Для может быть ультрафильтром, а для может быть пустым или не замкнутым относительно конечных пересечений (см. сноску, например). ^{[примечание 8]} Хотя не очень хорошо сохраняет свойства фильтров, если замкнуто вниз (соответственно, замкнуто относительно конечных объединений, идеал), то это также будет верно для Использование двойственности между идеалами и двойственными идеалами позволяет построить следующий фильтр. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Xi \subseteq \wp (Y).}$ $${\displaystyle \Xi _{f}:=\{I\subseteq X~:~f(I)\in \Xi \}}$$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle \Xi _{f}.}$

     Предположим, что есть фильтр на , и пусть будет его двойственным фильтром на , если тогда двойственным фильтром будет фильтр. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Xi :=Y\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X\not \in \Xi _{f}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle X\setminus \Xi _{f}}$

Другие примеры

Пример: Множество всех плотных открытых подмножеств топологического пространства является собственной π -системой и предфильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств является π -системой и предфильтром, который тоньше, чем ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Пример: Семейство всех плотных открытых множеств из , имеющих конечную меру Лебега, является собственной π -системой и свободным предфильтром. Предфильтр надлежащим образом содержится в предфильтре, состоящем из всех плотных открытых подмножеств из Поскольку является пространством Бэра , каждое счетное пересечение множеств из является плотным в (а также коэгре и не тощим), поэтому множество всех счетных пересечений элементов из является предфильтром и π -системой; оно также тоньше, чем, и не эквивалентно, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }.}$

Фильтры и сетки

В этом разделе будут очень подробно описаны отношения между предварительными фильтрами и сетями, поскольку эти детали важны при применении фильтров к топологии , особенно при переходе от использования сетей к использованию фильтров и наоборот, а также для того, чтобы впоследствии было легче понять, почему подсети (с их наиболее часто используемыми определениями) обычно не эквивалентны «подпредварительным фильтрам».

Сетки для предварительных фильтров

Сеть канонически связана со своим предварительным фильтром хвостов, если это отображение и является сетью , то ^[36] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).}$

Предварительные фильтры для сетей

Пунктирное множество – это пара, состоящая из непустого множества и элемента. Для любого семейства пусть ${\displaystyle (S,s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ $${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\left\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\right\}.}$$

Определите канонический предварительный порядок на указанных множествах, объявив ${\displaystyle \,\leq \,}$ $${\displaystyle (R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.}$$

Если даже если так, то этот предварительный порядок не является антисимметричным и заданное семейство множеств частично упорядочено тогда и только тогда, когда состоит полностью из одноэлементных множеств. Если является максимальным элементом ; более того, все максимальные элементы имеют эту форму. Если является наибольшим элементом тогда и только тогда, когда в этом случае является множеством всех наибольших элементов. Однако наибольший элемент является максимальным элементом тогда и только тогда, когда существует не более одного элемента, который является как максимальным, так и наибольшим. Существует каноническое отображение, определяемое формулой ${\displaystyle s_{0},s_{1}\in S{\text{ then }}\left(S,s_{0}\right)\leq \left(S,s_{1}\right){\text{ and }}\left(S,s_{1}\right)\leq \left(S,s_{0}\right)}$ ${\displaystyle s_{0}\neq s_{1},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}(\{x\},x)}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \left(B,b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ then }}\left(B,b_{0}\right)}$ ${\displaystyle B=\ker {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \{(B,b)~:~b\in B\}}$ ${\displaystyle (B,b)}$ ${\displaystyle B=\{b\}=\ker {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b.}$

Если тогда хвост присваивания, начинающийся с, равен ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.}$

Хотя в общем случае это не частично упорядоченный набор, это направленный набор, если (и только если) является предфильтром. Поэтому наиболее непосредственным выбором для определения "сети, индуцированной предфильтром ", является назначение из в ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$

Если включен предварительный фильтр , то сеть, связанная с ним, является картой ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}}$$

то есть, ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.}$

Если это предварительный фильтр на, это сеть на , а предварительный фильтр, связанный с, это ; то есть: ^{[примечание 9]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$$

Это не обязательно было бы верно, если бы было определено на надлежащем подмножестве Например, предположим, что имеет по крайней мере два различных элемента, является недискретным фильтром и является произвольным. Вместо этого было бы определено на одноэлементном наборе , где ограничение на будет временно обозначать тогда предварительный фильтр хвостов, связанный с, будет основным предварительным фильтром , а не исходным фильтром ; это означает , что равенство ложно , поэтому в отличие от предварительного фильтра не может быть восстановлено из Еще хуже, в то время как является уникальным минимальным фильтром на предварительном фильтре вместо этого генерирует максимальный фильтр (то есть ультрафильтр) на ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{X\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D:=\{(X,x)\},}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}:D\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}:D\to X}$ ${\displaystyle \{\,\{x\}\,\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)=\{\{x\}\}}$ ${\displaystyle X.}$

Однако если — сеть в , то в общем случае неверно, что равно , поскольку, например, область определения может иметь совершенно иную мощность, чем область определения (поскольку в отличие от области определения область определения произвольной сети в может иметь любую мощность). ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},}$ ${\displaystyle X}$

Ультрасети и ультрапредфильтры

Сеть называется ультрасетью или универсальной сетью в , если для каждого подмножества в конечном итоге в или оно в конечном итоге в ; это происходит тогда и только тогда, когда является ультрапредфильтром. Предфильтр является ультрапредфильтром тогда и только тогда, когда является ультрасетью в ${\displaystyle x_{\bullet }{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Частично упорядоченная сеть

Область канонической сети в общем случае не является частично упорядоченной. Однако в 1955 году Брунс и Шмидт открыли ^[37] конструкцию, которая позволяет канонической сети иметь область, которая является как частично упорядоченной, так и направленной; это было независимо переоткрыто Альбертом Вилански в 1970 году. ^[36] Она начинается с построения строгого частичного порядка (имея в виду транзитивное и иррефлексивное отношение ) на подмножестве , которое похоже на лексикографический порядок на строгих частичных порядков Для любого в объявляют, что тогда и только тогда, когда или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}},\supsetneq ){\text{ and }}(\mathbb {N} ,<).}$ ${\displaystyle i=(B,m,b){\text{ and }}j=(C,n,c)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X,}$ ${\displaystyle i<j}$ $${\displaystyle B\supseteq C{\text{ and either: }}{\text{(1) }}B\neq C{\text{ or else (2) }}B=C{\text{ and }}m<n,}$$ ${\displaystyle {\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m<n.}$

Нестрогий частичный порядок, связанный с обозначенным, определяется объявлением, что Разворачивание этих определений дает следующую характеристику: ${\displaystyle \,<,}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$ ${\displaystyle i\leq j\,{\text{ if and only if }}i<j{\text{ or }}i=j.}$

${\displaystyle i\leq j}$если и только если и также ${\displaystyle {\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m\leq n,}$ ${\displaystyle {\text{(3) if }}B=C{\text{ and }}m=n{\text{ then }}b=c,}$

что показывает, что является просто лексикографическим порядком на , индуцированным где частично упорядочен равенством ^{[примечание 10]} Оба являются последовательными и ни один из них не обладает наибольшим элементом или максимальным элементом ; это остается верным, если каждый из них ограничен подмножеством , определяемым где в дальнейшем будет предполагаться, что они являются таковыми. Обозначим назначение из этого подмножества как: Если то, как и прежде, хвост начального в равен Если является предварительным фильтром на то является сетью, в области определения которой является частично упорядоченным множеством и, более того, ^[36] Поскольку хвосты идентичны (поскольку оба равны предварительному фильтру ), обычно ничего не теряется, если предположить, что область определения сети, связанной с предварительным фильтром, является как направленной , так и частично упорядоченной. ^[36] Если множество заменить положительными рациональными числами, то строгий частичный порядок также будет плотным порядком . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {B}},\supseteq ),\,(\mathbb {N} ,\leq ),{\text{ and }}(X,=),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,=.\,}$ ${\displaystyle \,<{\text{ and }}\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\;&:=\;\{\,(B,m,b)\;\in \;{\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X~:~b\in B\,\},\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle i=(B,m,b)\mapsto b}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\ :\ &&\ \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\ &&\,\to \;&X\\[0.5ex]&&\ (B,m,b)\ &&\,\mapsto \;&b\\[0.5ex]\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},m_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle <}$

Подчиненные фильтры и подсети

Понятие « подчинен » (пишется ) для фильтров и предварительных фильтров то же самое, что « является подпоследовательностью » для последовательностей. ^[24] Например, если обозначает множество хвостов , а если обозначает множество хвостов подпоследовательности ( где ), то (то есть ) является истинным, но в общем случае ложным. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{i}}~:~i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$

Неэквивалентность подсетей и подчиненных фильтров

Подмножество предупорядоченного пространства — это ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$частый или конфинальный весли для каждогосуществует некоторыйЕслисодержит хвосттоговорят, что ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle r\in R{\text{ such that }}i\leq r.}$ ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$в конечном итоге илив конечном итоге в ${\displaystyle I}$; явно, это означает, что существует некоторый(то есть,). Окончательный набор обязательно не пуст. Подмножество является оконечным тогда и только тогда, когда его дополнение не является частым (что называется ${\displaystyle i\in I{\text{ such that }}I_{\geq i}\subseteq R}$ ${\displaystyle j\in R{\text{ for all }}j\in I{\text{ satisfying }}i\leq j}$нечасто ).^[38] Картамежду двумя предупорядоченными наборами — это ${\displaystyle h:A\to I}$порядок сохранения если когда-либо ${\displaystyle a,b\in A{\text{ satisfy }}a\leq b,{\text{ then }}h(a)\leq h(b).}$

Подсети в смысле Уилларда и подсети в смысле Келли являются наиболее часто используемыми определениями « подсети ». ^[38] Первое определение подсети было введено Джоном Л. Келли в 1955 году. ^[38] Стивен Уиллард представил свой собственный вариант определения подсети Келли в 1970 году. ^[38] AA-подсети были введены независимо Смайли (1957), Аарнесом и Анденаесом (1972) и Мурдешваром (1983); AA-подсети были подробно изучены Аарнесом и Анденаесом, но они нечасто используются. ^[38]

Пусть будут сети. Тогда ^[38] ${\displaystyle S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X}$

1. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоПодсеть Уилларда илиподсеть в смысле Уилларда,если существует сохраняющее порядок отображение,такое чтоявляется конфинальным в ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h{\text{ and }}h(A)}$ ${\displaystyle I.}$
2. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоКелли–подсеть илиподсетьв смысле Келли,если существует картаи всякий раз, когдав конечном итоге находится в, тов конечном итоге находится в ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h~:~A\to I{\text{ such that }}S=N\circ h}$ ${\displaystyle E\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h^{-1}(E)}$ ${\displaystyle A.}$
3. ${\displaystyle S_{\bullet }}$этоAA–подсеть илиподсетьв смысле Аарнеса и Анденаеса,если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle N_{\bullet }}$
   1. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).}$
   3. Если в конечном итоге в, в конечном итоге в ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))}$ ${\displaystyle A.}$
   4. Для любой сетки подмножества, то же самое сделайте ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.}$
   5. Для любого подмножества ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.}$

Келли не требовал, чтобы отображение сохраняло порядок, в то время как определение AA–подсети полностью устраняет любое отображение между доменами двух сетей и вместо этого фокусируется исключительно на − общем кодомене сетей. Каждая Willard–подсеть является Kelley–подсетью, и обе являются AA–подсетями. ^[38] В частности, если является Willard–подсетью или Kelley–подсетью, то ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).}$

• Пример: Пусть и пусть будут постоянной последовательностью, скажем, Пусть и так, что является сетью на Тогда является AA-подсетью, потому что Но не является подсетью Вилларда, потому что не существует ни одной карты, изображение которой является конфинальным подмножеством Также не является подсетью Келли, потому что если является любой картой, то является конфинальным подмножеством, но в конечном итоге не является ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(0\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle s_{1}=0}$ ${\displaystyle A=\{1\}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}=\left(s_{1}\right)}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\{\{0\}\}=\operatorname {Tails} \left(s_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle E:=I\setminus \{h(1)\}}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle h^{-1}(E)=\varnothing }$ ${\displaystyle A.}$

Подсети AA имеют определяющую характеристику, которая сразу показывает, что они полностью взаимозаменяемы с под(ординатными)фильтрами. ^{[38] [39]} Явно подразумевается, что следующее утверждение верно для подсетей AA:

     Если есть предварительные фильтры, то есть подсеть АА ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Если "AA–subnet" заменить на "Willard–subnet" или "Kelley–subnet", то приведенное выше утверждение становится ложным . В частности, проблема в том, что следующее утверждение в общем случае ложно:

     Ложное утверждение: Еслиесть предварительные фильтры, такие, чтоесть подсеть Келли ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Поскольку каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, это утверждение остается ложным, если слово «подсеть Келли» заменить на «подсеть Уилларда».

• Контрпример : Для всехпустьПусть, который является собственной π -системой, и пустьгде оба семейства являются предварительными фильтрами на натуральных числах Посколькуявляетсякак подпоследовательность является последовательность. Так что в идеаледолжно быть подсетью Пустьбудет областью определенияпоэтомусодержит конфинальное подмножество, которое порядково изоморфнои, следовательно, не содержит ни максимального, ни наибольшего элемента. Пустьявляется как максимальным, так и наибольшим элементом Направленное множествотакже содержит подмножество, которое порядково изоморфно(потому что оно содержит, которое содержит такое подмножество), но ни одно такое подмножество не может быть конфинальным виз-за максимального элемента Следовательно, любое сохраняющее порядок отображениедолжно быть в конечном счете постоянным (со значением), гдетогда является наибольшим элементом диапазона Из-за этого не может быть сохраняющего порядок отображения, которое удовлетворяет условиям, требуемым для того,чтобы быть подсетью Вилларда для(потому что диапазон такого отображенияне может быть конфинальным в). Предположим ради противоречия, что существует отображениетакое, чтов конечном итоге находится вдля всех Посколькусуществуюттакие, что Для каждого, посколькув конечном итогенаходится в необходимо, чтобы В частности, еслито,что по определению эквивалентно,что ложно. Следовательно,не является подсетью Келли ^[39] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle B_{n}=\{1\}\cup \mathbb {N} _{\geq n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{n}~:~n\in \mathbb {N} \},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\}\}\cup {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S=\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle I:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {F}})=\{M\}\cup I,{\text{ where }}M:=(1,\{1\})}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h(M)}$ ${\displaystyle h(M)}$ ${\displaystyle h(A).}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle h(M)\in I,}$ ${\displaystyle n,n_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(M)=\left(n_{0},B_{n}\right){\text{ with }}n_{0}\in B_{n}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle h(M)\in I_{\geq i}.}$ ${\displaystyle i:=\left(n+2,B_{n+2}\right)}$ ${\displaystyle h(M)\geq i=\left(n+2,B_{n+2}\right),}$ ${\displaystyle B_{n}\subseteq B_{n+2},}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Если «подсеть» определяется как Willard–subnet или Kelley–subnet, то сети и фильтры не являются полностью взаимозаменяемыми, поскольку существуют отношения фильтр–под(ординатный)фильтр, которые не могут быть выражены в терминах отношения сеть–подсеть между двумя индуцированными сетями. В частности, проблема заключается в том, что Kelley–subnets и Willard–subnets не являются полностью взаимозаменяемыми с подчиненными фильтрами. Если понятие «подсеть» не используется или если «подсеть» определяется как AA–subnet, то это перестает быть проблемой, и поэтому становится правильным сказать, что сети и фильтры являются взаимозаменяемыми. Несмотря на то, что AA–subnets не имеют проблемы, которая есть у Willard и Kelley подсетей, они не используются широко и о них не знают. ^{[38] [39]}

Смотрите также

• Характеристика категории топологических пространств
• Пространство сходимости  – обобщение понятия сходимости, встречающегося в общей топологии.
• Фильтр (математика)  — в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Квантификатор фильтра
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Фильтрация (математика)  – Индексированное множество в математике
• Фильтрация (теория вероятностей)  – модель информации, доступной в заданной точке случайного процесса.
• Фильтрация (абстрактная алгебра)
• Фильтр Фреше  - фильтр ФрешеPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Универсальный фильтр  — в теории множеств, если задана совокупность плотных открытых подмножеств частично упорядоченного множества, фильтр, который соответствует всем множествам в этой совокупности.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Идеал (теория множеств)  – непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Компактификация Стоуна–Чеха#Строительство с использованием ультрафильтров  – Концепция в топологии
• Основная теорема ультрапроизведений  – Математическое построениеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ультрафильтр  – максимально правильный фильтр
• Ультрафильтр (теория множеств)  – Максимальный собственный фильтрPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Действительно, в обоих случаях появление справа – это именно то, что делает «больше», поскольку если они связаны некоторым бинарным отношением (имея в виду, что ), то любой из них, появляющийся справа, считается большим или равным тому, который появляется слева, по отношению к (или менее многословно, « –больше или равно»). ${\displaystyle \,\supseteq {\text{ and }}\subseteq ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle A\preceq B{\text{ or }}B\preceq A}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq }$
2. В более общем смысле, для любых действительных чисел, удовлетворяющих условию , где ${\displaystyle r\leq s{\text{ and }}u\leq v,B_{r,s}\cap B_{u,v}=B_{m,\max(s,v)}}$ ${\displaystyle m:=\min(s,v,\max(r,u)).}$
3. Если это свойство и тот факт, что является непустым и правильным тогда и только тогда, когда фактически позволяет построить еще больше примеров предварительных фильтров, поскольку если является любым предварительным фильтром (соответственно, подбазой фильтров, π –системой), то и ${\displaystyle R,S\subseteq \mathbb {R} {\text{ then }}{\mathcal {B}}_{R}\cap {\mathcal {B}}_{S}={\mathcal {B}}_{R\cap S}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}}$ ${\displaystyle R\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \wp (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}_{S}:S\in {\mathcal {S}}\right\}.}$
4. Можно показать, что если есть какое-либо семейство, такое что то является предфильтром тогда и только тогда, когда для всех действительных чисел существуют действительные числа, такие что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 0<r\leq s}$ ${\displaystyle 0<u\leq v}$ ${\displaystyle u\leq r\leq s\leq v{\text{ and }}B_{-u,v}\in {\mathcal {C}}.}$
5. Например, один из смыслов, в котором сеть может быть интерпретирована как «максимально глубокая», заключается в том, что все важные свойства, связанные с (например, сходимость) любой подсети, полностью определяются во всех топологиях на В этом случае и ее подсеть становятся фактически неразличимыми (по крайней мере топологически), если информация о них ограничивается только тем, что может быть описано исключительно в терминах и непосредственно связанных множеств (например, ее подмножеств). ${\displaystyle u_{\bullet }{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$
6. π - система , сгенерированная (соответственно ), является предварительным фильтром, элементы которого являются конечными объединениями открытых (соответственно замкнутых) интервалов, имеющих конечные точки в , причем два из этих интервалов имеют вид (соответственно ), где ; в случае возможно, что один или несколько из этих замкнутых интервалов будут одноэлементными множествами (то есть вырожденными замкнутыми интервалами). ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$ ${\displaystyle E\cup \{-\infty ,\infty \}}$ ${\displaystyle (-\infty ,e_{1}){\text{ and }}(e_{2},\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,e_{1}]{\text{ and }}[e_{2},\infty )}$ ${\displaystyle e_{1}\leq 1+e_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} },}$
7. В качестве примера того, как может произойти этот сбой, рассмотрим случай, когда существует такое , что и его дополнение содержит по крайней мере две различные точки. ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}y\in Y\setminus B}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$
8. Предположим, что имеет более одной точки, является постоянным отображением, и тогда будет состоять из всех непустых подмножеств ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Xi =\{f(X)\}}$ ${\displaystyle \Xi _{f}}$ ${\displaystyle Y.}$
9. Равенство множеств имеет место в более общем случае: если семейство множеств , то семейство хвостов отображения (определяемое как ) равно ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
10. Явно, частичный порядок на , индуцированный равенством, относится к диагонали , которая является однородным отношением на , которое превращает в частично упорядоченное множество . Если этот частичный порядок обозначается более привычным символом (то есть, определить ), то для любого , который показывает, что (и, следовательно, также ) является не более чем новым символом для равенства на , то есть, Обозначение используется, поскольку оно позволяет избежать ненужного введения нового символа для диагонали. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \Delta :=\{(x,x):x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta }$ ${\displaystyle b,c\in X,}$ ${\displaystyle \;b\leq c\,{\text{ if and only if }}\,b=c,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle (X,\Delta )\ =\ (X,=).}$ ${\displaystyle (X,=)}$

Доказательства

1. Пусть будет фильтром на , который не является ультрафильтром. Если таковой имеет свойство конечного пересечения (потому что если ), то по лемме об ультрафильтре существует некоторый ультрафильтр такой, что (в частности, ). Пересечение всех таких доказывает, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {F}}{\text{ then }}\{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ then }}F\cap (X\setminus S)=\varnothing {\text{ if and only if }}F\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle \{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcap _{S\subseteq X,S\not \in {\mathcal {F}}}{\mathcal {U}}_{S}.\blacksquare }$
2. Чтобы доказать, что сетка, пусть Поскольку (соотв., поскольку ), существует некоторое место, где по предположению так что Если является подбазой фильтров и если то взятие подразумевает, что Если то существуют такие, что и теперь Это показывает, что является подбазой фильтров. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq B{\text{ and }}G\subseteq C}$ ${\displaystyle F\cap G\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \neq G\cap F\subseteq B\cap C.\blacksquare }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}{\text{ mesh. }}\blacksquare }$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq C_{i}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq F_{1}\cap \cdots F_{n}\subseteq C_{1}\cap \cdots C_{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Это потому, что если включены предварительные фильтры , то ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.}$

Цитаты

1. Иех 2006, стр. 73.
2. Коутрас и др. 2021.
3. Картан 1937a.
4. Картан 1937б.
5. Долецки и Майнард 2016, стр. 27–29.
6. Долецки и Майнард 2016, стр. 33–35.
7. Narici & Beckenstein 2011, стр. 2–7.
8. Часар 1978, стр. 53–65.
9. Долецки и Майнард 2016, стр. 27–54.
10. Бурбаки 1987, стр. 57–68.
11. Шуберт 1968, стр. 48–71.
12. Narici & Beckenstein 2011, стр. 3–4.
13. Дугунджи 1966, стр. 215–221.
14. Дугунджи 1966, стр. 215.
15. Wilansky 2013, стр. 5.
16. Dolecki & Mynard 2016, стр. 10.
17. Шехтер 1996, стр. 100–130.
18. Часар 1978, стр. 82–91.
19. Дугунджи 1966, стр. 211–213.
20. Шехтер 1996, стр. 100.
21. Часар 1978, стр. 53–65, 82–91.
22. Архангельский и Пономарев 1984, стр. 7–8.
23. Джоши 1983, стр. 244.
24. Дугунджи 1966, стр. 212.
25. Wilansky 2013, стр. 44–46.
26. Кастильо, Хесус М.Ф.; Монтальво, Франциско (январь 1990 г.), «Контрпример в полуметрических пространствах» (PDF) , Extracta Mathematicae , 5 (1): 38–40
27. Шефер и Вольф 1999, стр. 1–11.
28. Бурбаки 1987, стр. 129–133.
29. Вилански 2008, стр. 32–35.
30. Дугунджи 1966, стр. 219–221.
31. Jech 2006, стр. 73–89.
32. Часар 1978, стр. 53–65, 82–91, 102–120.
33. Dolecki & Mynard 2016, стр. 37–39.
34. Архангельский и Пономарев 1984, стр. 20–22.
35. Часар 1978, стр. 102–120.
36. Шехтер 1996, стр. 155–171.
37. Брунс Г., Шмидт Дж., Zur Aquivalenz von Moore-Smith-Folgen und Filtern, Math. Нахр. 13 (1955), 169–186.
38. Schechter 1996, стр. 157–168.
39. Clark, Pete L. (18 октября 2016 г.). "Convergence" (PDF) . math.uga.edu/ . Получено 18 августа 2020 г. .

Ссылки

• Адамс, Колин ; Францоса, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC  789880519.
• Архангельский, Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Т. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, Ханамантагуда П. (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . Springer-Verlag. ISBN 978-0-9880552-0-9. Архивировано из оригинала 1 апреля 2022 года.
• Картан, Анри (1937a). «Теория фильтров». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 205 : 595–598.
• Картан, Анри (1937b). «Фильтры и ультрафильтры». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 205 : 777–779.
• Comfort, William Wistar; Negrepontis, Stylianos (1974). Теория ультрафильтров . Том 211. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-06604-2. OCLC  1205452.
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для студентов по математике. Перевод Бербериана, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Howes, Norman R. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970. OL  1272666M.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Jech, Thomas (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Берлин Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939.
• Джоши, К. Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кутрас, Костас Д.; Мойзес, Христос; Номикос, Христос; Цапроунис, Константинос; Зикос, Йоргос (20 октября 2021 г.). «О слабых фильтрах и ультрафильтрах: теория множеств из (и для) представления знаний». Logic Journal of the IGPL . 31 : 68–95. doi :10.1093/jigpal/jzab030.
• MacIver R., David (1 июля 2004 г.). "Фильтры в анализе и топологии" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2007-10-09.(Содержит вводный обзор фильтров в топологии и метрических пространствах.)
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.