В теории множеств последовательное отношение — это однородное отношение, выражающее связь элемента последовательности со следующим элементом. Функция-последователь, использованная Пеано для определения натуральных чисел, является прототипом последовательного отношения.
Бертран Рассел использовал последовательные отношения в «Принципах математики» [1] (1903), исследуя основы теории порядка и ее приложения. Термин последовательное отношение также использовался Б. А. Бернстайном в статье, показывающей, что некоторые общие аксиомы в теории порядка почти несовместимы: связность , нерефлексивность и транзитивность . [2]
Серийное отношение R является эндореляцией на множестве U. Как утверждает Рассел, где универсальные и экзистенциальные кванторы относятся к U. На современном языке отношений это свойство определяет полное отношение . Но полное отношение может быть неоднородным. Серийные отношения представляют исторический интерес.
Для отношения R пусть { y : xRy } обозначает "последующее соседство" x . Серийное отношение может быть эквивалентно охарактеризовано как отношение, для которого каждый элемент имеет непустое последующее соседство. Аналогично, обратное серийное отношение - это отношение, в котором каждый элемент имеет непустое "предшествующее соседство". [3]
В нормальной модальной логике расширение фундаментального набора аксиом K с помощью последовательного свойства приводит к набору аксиом D. [4 ]
Отношения используются для разработки рядов в «Принципах математики» . Прототипом является функция преемника Пеано как отношение один-один на натуральных числах . Ряд Рассела может быть конечным или порождаться отношением, задающим циклический порядок . В этом случае для описания используется отношение разделения точек и пар . Чтобы определить прогрессию, он требует, чтобы порождающее отношение было связанным отношением . Затем порядковые числа выводятся из прогрессий, конечные числа являются конечными порядковыми числами. [1] : Глава 28: Прогрессии и порядковые числа Различение открытых и закрытых рядов [1] : 234 приводит к четырем общим порядкам: конечным, с одним концом, без конца и открытым, без конца и закрытым. [1] : 202
В отличие от других авторов, Рассел допускает отрицательные порядковые числа. Для мотивации рассмотрим шкалы измерения , использующие научную запись , где степень десяти представляет декаду меры. Неформально этот параметр соответствует порядкам величин, используемым для количественной оценки физических единиц. Параметр принимает как отрицательные, так и положительные значения.
Рассел заимствовал термин растяжение у Мейнонга , который внес вклад в теорию расстояния. [5] Растяжение относится к промежуточным членам между двумя точками в серии, а «количество членов измеряет расстояние и делимость целого». [1] : 181 Чтобы объяснить Мейнонга, Рассел ссылается на метрику Кэли–Клейна , которая использует координаты растяжения в ангармонических отношениях , которые определяют расстояние с помощью логарифма. [1] : 255 [6]
