Пи-система

Семейство множеств, замкнутых относительно пересечения

В математике π - система (или пи-система ) на множестве — это совокупность определенных подмножеств , таких что ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle P}$непустое .​
• Если тогда ${\displaystyle A,B\in P}$ ${\displaystyle A\cap B\in P.}$

То есть, является непустым семейством подмножеств , которое замкнуто относительно непустых конечных пересечений . ^{[nb 1]} Важность π -систем возникает из того факта, что если две вероятностные меры согласуются на π -системе, то они согласуются на 𝜎-алгебре, порожденной этой π -системой. Более того, если другие свойства, такие как равенство интегралов, справедливы для π -системы, то они справедливы и для порожденной 𝜎-алгебры. Это имеет место всякий раз, когда набор подмножеств, для которых справедливо свойство, является 𝜆 -системой . π -системы также полезны для проверки независимости случайных величин. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$

Это желательно, поскольку на практике π -системы часто проще в работе, чем 𝜎-алгебры. Например, может быть неудобно работать с 𝜎-алгебрами, порожденными бесконечным числом множеств. Поэтому вместо этого мы можем рассмотреть объединение всех 𝜎-алгебр, порожденных конечным числом множеств. Это образует π -систему, которая порождает желаемую 𝜎-алгебру. Другим примером является совокупность всех интервалов действительной прямой вместе с пустым множеством, которое является π -системой, которая порождает очень важную борелевскую 𝜎-алгебру подмножеств действительной прямой. ${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}$ ${\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n}).}$

Определения

π -система - это непустая коллекция множеств , которая замкнута относительно непустых конечных пересечений, что эквивалентно содержанию пересечения любых двух ее элементов. Если каждое множество в этой π -системе является подмножеством , то она называется π -системой на ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega .}$

Для любого непустого семейства подмножеств существует π -система, называемая π -системой, порожденной , то есть единственная наименьшая π -система из , содержащая каждый элемент из Она равна пересечению всех π -систем, содержащих и может быть явно описана как множество всех возможных непустых конечных пересечений элементов из ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ and }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}$$

Непустое семейство множеств обладает свойством конечного пересечения тогда и только тогда, когда порождаемая им π -система не содержит пустое множество в качестве элемента.

Примеры

• Для любых действительных чисел интервалы образуют π - систему, а интервалы образуют π -систему, если включить в нее также пустое множество. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ ${\displaystyle (a,b]}$
• Топология (совокупность открытых подмножеств ) любого топологического пространства представляет собой π -систему.
• Каждый фильтр является π -системой. Каждая π -система, не содержащая пустого множества, является предварительным фильтром (также известным как база фильтра).
• Для любой измеримой функции множество   определяет π- систему и называется π -системой, порожденной ( Альтернативно, определяет π -систему, порожденную ) ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle f.}$
• Если и являются π -системами для и соответственно, то является π -системой для декартова произведения ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2},}$ ${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}$
• Каждая 𝜎-алгебра является π -системой.

Связь с 𝜆-системами

𝜆 -система на — это множество подмножеств удовлетворяющих ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \Omega \in D,}$
• если тогда ${\displaystyle A\in D}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}$
• если это последовательность (попарно) непересекающихся подмножеств в то ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

Хотя верно, что любая 𝜎-алгебра удовлетворяет свойствам быть как 𝜆 -системой, так и 𝜀-системой, неверно, что любая 𝜆 -система является 𝜆-системой, и, более того, неверно, что любая 𝜎 -система является 𝜎-алгеброй. Однако полезная классификация заключается в том, что любая система множеств, которая является как 𝜆-системой, так и 𝜀 -системой, является 𝜎-алгеброй. Это используется как шаг в доказательстве теоремы о 𝜆 -𝜆.

Theπ-теорема

Пусть будет 𝜆-системой, а будет   π - системой, содержащейся в Теорема о π - 𝜆 ^[1] утверждает, что 𝜎-алгебра, порожденная , содержится в ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle D~:~}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}$

Теорема π -𝜆 может быть использована для доказательства многих элементарных результатов теории мер . Например, она используется при доказательстве утверждения о единственности теоремы Каратеодори о расширении для 𝜎-конечных мер. ^[2]

Теорема π -𝜆 тесно связана с теоремой о монотонных классах , которая обеспечивает схожую связь между монотонными классами и алгебрами и может быть использована для вывода многих из тех же результатов. Поскольку π -системы являются более простыми классами, чем алгебры, может быть проще идентифицировать множества, которые находятся в них, в то время как, с другой стороны, проверка того, определяет ли рассматриваемое свойство 𝜆 -систему, часто является относительно простой. Несмотря на разницу между двумя теоремами, теорему π -𝜆 иногда называют теоремой о монотонных классах. ^[1]

Пример

Пусть — две меры на 𝜎-алгебре и предположим, что порождается π -системой . Если ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F=\sigma (I)}$ ${\displaystyle I.}$

1. ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}$для всех и ${\displaystyle A\in I,}$
2. ${\displaystyle \mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,}$

то Это утверждение единственности теоремы Каратеодори о расширении для конечных мер. Если этот результат не кажется вам очень примечательным, учтите тот факт, что обычно очень сложно или даже невозможно полностью описать каждое множество в 𝜎-алгебре, и поэтому проблема приравнивания мер была бы совершенно безнадежной без такого инструмента. ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}.}$

Идея доказательства ^[2] Определим совокупность множеств По первому предположению и согласуем и таким образом По второму предположению и далее можно показать, что является 𝜆-системой. Из теоремы π -𝜆 следует , что и таким образом То есть меры согласуются $${\displaystyle D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.}$$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq D.}$ ${\displaystyle \Omega \in D,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}$ ${\displaystyle D=\sigma (I).}$ ${\displaystyle \sigma (I).}$

π-Системы в теории вероятностей

π -системы чаще используются в изучении теории вероятностей, чем в общей области теории меры. Это в первую очередь связано с вероятностными понятиями, такими как независимость , хотя это также может быть следствием того факта, что теорема о π -𝜆 была доказана вероятностником Евгением Дынкиным . Стандартные тексты по теории меры обычно доказывают те же результаты с помощью монотонных классов , а не π -систем.

Равенство в распределении

Теорема π -𝜆 мотивирует общее определение распределения вероятностей случайной величины в терминах ее кумулятивной функции распределения . Напомним, что кумулятивное распределение случайной величины определяется как тогда как, казалось бы, более общий закон переменной - это вероятностная мера , где - борелевская 𝜎-алгебра. Случайные величины и (на двух, возможно, различных вероятностных пространствах ) равны по распределению (или закону ), обозначаемому как , если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения; то есть, если Мотивация для определения вытекает из наблюдения, что если , то это точно означает, что и согласуются с π -системой , которая порождает и так по примеру выше: ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Аналогичный результат справедлив для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим, что и являются двумя случайными величинами, определенными на одном и том же вероятностном пространстве с соответственно сгенерированными π -системами и Совместная кумулятивная функция распределения равна ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ $${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

Однако, и поскольку это π -система, генерируемая случайной парой, теорема π -𝜆 используется для того, чтобы показать, что совместная кумулятивная функция распределения достаточна для определения совместного закона . Другими словами, и имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую совместную кумулятивную функцию распределения. ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$ ${\displaystyle (X,Y),}$ ${\displaystyle (X,Y).}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (W,Z)}$

В теории случайных процессов известно , что два процесса равны по распределению тогда и только тогда, когда они совпадают по всем конечномерным распределениям; то есть для всех ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

Доказательство этого — еще одно применение теоремы π -𝜆. ^[3]

Независимые случайные величины

Теория π -систем играет важную роль в вероятностном понятии независимости . Если и являются двумя случайными величинами, определенными на одном и том же вероятностном пространстве , то случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их π -системы удовлетворяют для всех и, что означает, что они независимы. Это фактически частный случай использования π -систем для определения распределения ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}$ $${\displaystyle \operatorname {P} [A\cap B]~=~\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B],}$$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$ ${\displaystyle (X,Y).}$

Пример

Пусть где — это iid стандартные нормальные случайные величины. Определим радиус и аргумент (arctan) переменные ${\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ $${\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}$$

Тогда и — независимые случайные величины. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Theta }$

Чтобы доказать это, достаточно показать, что π -системы независимы: то есть для всех и ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}$ ${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ $${\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ].}$$

Подтверждение того, что это так, является упражнением по изменению переменных. Зафиксируйте и тогда вероятность может быть выражена как интеграл функции плотности вероятности ${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ ${\displaystyle Z.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• δ- кольцо  – кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений
• Поле множеств  – алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Идеал (теория множеств)  – непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Независимость (теория вероятностей)  – когда возникновение одного события не влияет на вероятность другого.
• 𝜆-система (система Дынкина)  – Семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений
• Теорема о монотонном классе
• Распределение вероятностей  – математическая функция вероятности наступления определенного результата в эксперименте.
• Кольцо множеств  – Семья, замкнутая относительно союзов и относительных дополнений
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множеств
• 𝜎-идеал  – Семья замкнута относительно подмножеств и счетных объединений
• 𝜎-кольцо  – семейство множеств, замкнутых относительно счетных объединений

Примечания

1. Нулевое (0-арное) пересечение подмножеств по соглашению равно , которое не обязано быть элементом π -системы. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$

Цитаты

1. Kallenberg, Основы современной теории вероятностей, стр. 2
2. Durrett, Теория вероятностей и примеры, стр. 404
3. Калленберг, Основы современной теории вероятностей, стр. 48

Ссылки

• Гут, Аллан (2005). Вероятность: курс для выпускников . Springer Texts in Statistics. Нью-Йорк: Springer. doi :10.1007/b138932. ISBN 0-387-22833-0.
• Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с Мартингалами . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Серия Кембридж по статистической и вероятностной математике. Том 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Получено 5 ноября 2020 г. .