Подмножество

Набор, все элементы которого принадлежат другому набору

Диаграмма Эйлера, показывающая, что
A является подмножеством B (обозначается ) и, наоборот, B является надмножеством A (обозначается ). ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B\supseteq A}$

В математике множество A является подмножеством множества B , если все элементы A также являются элементами B ; B тогда является надмножеством A . Возможно, что A и B равны; если они неравны, то A является собственным подмножеством B . Отношение одного множества как подмножества другого называется включением (или иногда включением ). A представляет собой подмножество B , что также может быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B . k -подмножество — это подмножество из k элементов .

Отношение подмножества определяет частичный порядок множеств. Фактически, подмножества данного набора образуют булеву алгебру по отношению подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является булевым отношением включения .

Определение

Если A и B — множества и каждый элемент A также является элементом B , то:

• A является подмножеством B , обозначаемым или, что то же самое , ${\displaystyle A\subseteq B}$
• B является надмножеством A , обозначаемым ${\displaystyle B\supseteq A.}$

Если A является подмножеством B , но A не равно B (т.е. существует хотя бы один элемент B, который не является элементом A ), то :

• A является собственным (или строгим ) подмножеством B , обозначаемым или , что то же самое, ${\displaystyle A\subsetneq B}$
• B является собственным ( или строгим ) надмножеством A , обозначаемым . ${\displaystyle B\supsetneq A}$

Пустое множество , записанное или является подмножеством любого множества X и собственным подмножеством любого множества, кроме самого себя, отношение включения представляет собой частичный порядок на множестве ( степенное множество S — множество всех подмножеств S ^[1] ) определяется . Мы также можем частично упорядочить путем обратного включения множества, определив ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle \varnothing ,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.}$

В количественном выражении представляется как ^[2] ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\implies x\in B\right).}$

Мы можем доказать это утверждение , применив технику доказательства, известную как аргумент элемента ^[3] : ${\displaystyle A\subseteq B}$

Пусть заданы множества A и B. Чтобы доказать это ${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. предположим , что a — конкретный, но произвольно выбранный элемент из A
2. покажите , что a является элементом B .

Справедливость этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение подразумевает то, что эквивалентно сказанному выше. ${\displaystyle c\in A\implies c\in B}$ ${\displaystyle \forall x\left(x\in A\implies x\in B\right),}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$

Набор всех подмножеств называется его набором степеней и обозначается . Множество всех -подмножеств обозначается , аналогично обозначению биномиальных коэффициентов , которые подсчитывают количество -подмножеств набора -элементов. В теории множеств это обозначение также распространено, особенно когда — трансфинитное кардинальное число . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [A]^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Характеристики

• Множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда их пересечение равно A.

Формально:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.}$

• Множество A является подмножеством B тогда и только тогда , когда их объединение равно B.

Формально:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.}$

• Конечное множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда мощность их пересечения равна мощности A.

Формально:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

символы ⊂ и ⊃

Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и ^[4]. Например, для этих авторов для каждого множества A верно то ( рефлексивное отношение ). ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \supseteq .}$ ${\displaystyle A\subset A.}$

Другие авторы предпочитают использовать символы и указывать правильное (также называемое строгим) подмножество и правильное надмножество соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и ^[5] Это использование аналогично символам неравенства и Например, если тогда x может равняться или не равняться y , но если тогда x определенно не равен y , и меньше y ( иррефлексивное отношение ) . Аналогично, используя соглашение о правильном подмножестве, if then A может равняться или не равняться B , но if then A определенно не равняется B . ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \subsetneq }$ ${\displaystyle \supsetneq .}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <.}$ ${\displaystyle x\leq y,}$ ${\displaystyle x<y,}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\subset B,}$

Примеры подмножеств

Правильные многоугольники образуют подмножество многоугольников.

• Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и истинны. ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle A\subsetneq B}$
• Набор D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому является истинным и не является истинным (ложным). ${\displaystyle D\subseteq E}$ ${\displaystyle D\subsetneq E}$
• Любое множество является подмножеством самого себя, но не собственным подмножеством. ( истинно и ложно для любого множества X.) ${\displaystyle X\subseteq X}$ ${\displaystyle X\subsetneq X}$
• Набор { x : x — простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x — нечетное число больше 10}
• Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, набор точек на отрезке линии является собственным подмножеством набора точек на линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечны, а подмножество имеет ту же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть количеству элементов конечного множества), что и целое; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
• Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.

Другой пример на диаграмме Эйлера :

• 
  A является собственным подмножеством B.
• 
  C является подмножеством, но не собственным подмножеством B.

Другие свойства включения

${\displaystyle A\subseteq B}$и подразумевает ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C.}$

Включение — это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторому набору множеств , упорядоченному включением. Порядковые числа являются простым примером: если каждый порядковый номер n отождествляется с набором всех порядковых номеров, меньших или равных n , то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (X,\preceq )}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

Для степенного набора набора S частичный порядок включения — с точностью до изоморфизма порядка — декартово произведение ( мощности S ) копий частичного порядка, для которых это можно проиллюстрировать , перечислив и сопоставив с каждым подмножество (т.е. каждый элемент ) k -кортежа, из которого i -я координата равна 1 тогда и только тогда, когда является членом T . ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$ ${\displaystyle k=|S|}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 0<1.}$ ${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$ ${\displaystyle T\subseteq S}$ ${\displaystyle 2^{S}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$ ${\displaystyle s_{i}}$

Смотрите также

• Выпуклое подмножество  - в геометрии множество, пересечение которого с каждой линией представляет собой один отрезок линии.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Порядок включения  - частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
• Регион  - связанное открытое подмножество топологического пространства.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Проблема суммы подмножества  - Проблема принятия решений в информатике
• Субсумптивное сдерживание  - система элементов, подчиненных друг другу.
• Полное подмножество  - Подмножество T топологического векторного пространства X, где линейная оболочка T является плотным подмножеством X.
• Мереология  - изучение частей и целого, которое они образуют.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество». mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.
2. Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 119. ИСБН 978-0-07-338309-5.
3. Эпп, Сюзанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ИСБН 978-0-495-39132-6.
4. Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157
5. Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 7 сентября 2012 г.

Библиография

• Джех, Томас (2002). Теория множеств . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-44085-2.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с подмножествами, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество». Математический мир .