Случайный процесс

Коллекция случайных величин

Компьютерная симуляция процесса винеровского или броуновского движения на поверхности сферы. Винеровский процесс широко считается наиболее изученным и центральным случайным процессом в теории вероятностей. ^{[1] [2] [3]}

В теории вероятностей и смежных областях стохастический ( / s t ə ˈ k æ s t ɪ k / ) или случайный процесс — это математический объект, обычно определяемый как последовательность случайных величин в вероятностном пространстве , где индекс последовательности часто имеет интерпретацию времени . Стохастические процессы широко используются в качестве математических моделей систем и явлений, которые изменяются случайным образом. Примеры включают рост бактериальной популяции , колебания электрического тока из-за теплового шума или движение молекулы газа . ^{[1] [4] [5]} Стохастические процессы применяются во многих дисциплинах, таких как биология , ^[6] химия , ^[7] экология , ^[8] нейробиология , ^[9] физика , ^[10] обработка изображений , обработка сигналов , ^{[ 11]} теория управления , ^[12] теория информации , ^[13] информатика , ^[14] и телекоммуникации . ^[15] Более того, кажущиеся случайными изменения на финансовых рынках мотивировали широкое использование случайных процессов в финансах . ^{[16] [17] [18]}

Применение и изучение явлений, в свою очередь, вдохновили на предложение новых случайных процессов. Примеры таких стохастических процессов включают процесс Винера или процесс броуновского движения, ^[a] использованный Луи Башелье для изучения изменений цен на Парижской бирже , ^[21] и процесс Пуассона , используемый А.К. Эрлангом для изучения количества происходящих телефонных звонков. в определенный период времени. ^[22] Эти два случайных процесса считаются наиболее важными и центральными в теории случайных процессов, ^{[1] [4] [23]} и были открыты неоднократно и независимо, как до, так и после Башелье и Эрланга, в разных условиях и странах. . ^{[21] [24]}

Термин случайная функция также используется для обозначения стохастического или случайного процесса, ^{[25] [26],} поскольку случайный процесс также можно интерпретировать как случайный элемент в функциональном пространстве . ^{[27] [28]} Термины «случайный процесс» и «случайный процесс» используются как взаимозаменяемые, часто без специального математического пространства для набора, который индексирует случайные величины. ^{[27] [29]} Но часто эти два термина используются, когда случайные величины индексируются целыми числами или интервалом реальной строки . ^{[5] [29]} Если случайные величины индексируются декартовой плоскостью или некоторым евклидовым пространством более высокой размерности , то совокупность случайных величин обычно вместо этого называется случайным полем . ^{[5] [30]} Значения случайного процесса не всегда являются числами и могут быть векторами или другими математическими объектами. ^{[5] [28]}

На основании своих математических свойств случайные процессы можно сгруппировать в различные категории, к которым относятся случайные блуждания , ^[31] мартингалы , ^[32] марковские процессы , ^[33] процессы Леви , ^[34] гауссовские процессы , ^[35] случайные поля, ^{[ 36]} процессы обновления и ветвящиеся процессы . ^[37] При изучении случайных процессов используются математические знания и методы из области вероятностей , исчисления , линейной алгебры , теории множеств и топологии ^{[38] [39] [40],} а также разделы математического анализа , такие как реальный анализ , теория меры , Анализ Фурье и функциональный анализ . ^{[41] [42] [43]} Теория случайных процессов считается важным вкладом в математику ^[44] и продолжает оставаться активной темой исследований как по теоретическим причинам, так и по приложениям. ^{[45] [46] [47]}

Введение

Стохастический или случайный процесс можно определить как набор случайных величин, индексированных некоторым математическим набором, что означает, что каждая случайная величина случайного процесса однозначно связана с элементом в наборе. ^{[4] [5]} Набор, используемый для индексации случайных величин, называется набором индексов . Исторически набор индексов представлял собой некоторое подмножество реальной линии , например натуральные числа , что давало набору индексов интерпретацию времени. ^[1] Каждая случайная переменная в коллекции принимает значения из одного и того же математического пространства , известного как пространство состояний . Этим пространством состояний могут быть, например, целые числа, действительная линия или трехмерное евклидово пространство. ^{[1] [5]} Приращение — это величина, на которую случайный процесс изменяется между двумя значениями индекса, часто интерпретируемыми как два момента во времени . ^{[48] ​​[49]} Случайный процесс может иметь множество исходов из-за своей случайности, а один результат случайного процесса называется, среди прочего, выборочной функцией или реализацией . ^{[28] [50]} ${\displaystyle n}$

Одна смоделированная на компьютере выборочная функция или реализация , среди прочего, трехмерного процесса винеровского или броуновского движения для времени 0 ≤ t ≤ 2. Набор индексов этого стохастического процесса представляет собой неотрицательные числа, а его пространство состояний представляет собой трехмерное евклидово пространство.

Классификации

Случайный процесс можно классифицировать по-разному, например, по пространству состояний, набору индексов или зависимости между случайными величинами. Один из распространенных способов классификации — по мощности набора индексов и пространству состояний. ^{[51] [52] [53]}

При интерпретации как времени, если набор индексов случайного процесса имеет конечное или счетное число элементов, таких как конечный набор чисел, набор целых чисел или натуральных чисел, то случайный процесс называется дискретным . время . ^{[54] [55]} Если набор индексов представляет собой некоторый интервал реальной прямой, то время называется непрерывным . Два типа случайных процессов называются соответственно случайными процессами с дискретным и непрерывным временем . ^{[48] ​​[56] [57]} Стохастические процессы с дискретным временем считаются более легкими для изучения, поскольку процессы с непрерывным временем требуют более продвинутых математических методов и знаний, особенно из-за несчетности набора индексов. ^{[58] [59]} Если набор индексов представляет собой целые числа или некоторое их подмножество, то случайный процесс также можно назвать случайной последовательностью . ^[55]

Если пространство состояний представляет собой целые или натуральные числа, то случайный процесс называется дискретным или целочисленным случайным процессом . Если пространство состояний представляет собой действительную линию, то случайный процесс называется случайным процессом с действительным знаком или процессом с непрерывным пространством состояний . Если пространство состояний является -мерным евклидовым пространством, то случайный процесс называется -мерным векторным процессом или -векторным процессом . ^{[51] [52]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Этимология

Слово «стохастический» в английском языке первоначально использовалось как прилагательное с определением «относящийся к предположению» и произошло от греческого слова, означающего «нацеливаться на отметку, угадывать», а Оксфордский словарь английского языка называет 1662 год как самое раннее появление. . ^[60] В своей работе о вероятности Ars Conjectandi , первоначально опубликованной на латыни в 1713 году, Якоб Бернулли использовал фразу «Ars Conjectandi sive Stochastice», которая переводится как «искусство предположения или стохастика». ^[61] Эту фразу по отношению к Бернулли использовал Ладислав Борткевич ^[62] , который в 1917 году написал на немецком языке слово сточастик , имеющее смысл, означающий случайный. Термин «стохастический процесс» впервые появился на английском языке в статье Джозефа Дуба в 1934 году . ^[60] В качестве термина и конкретного математического определения Дуб процитировал другую статью 1934 года, где термин стохастишер процесс использовался на немецком языке Александром Хинчиным , ^{[63] [64]} , хотя немецкий термин использовался и раньше, например, Андрей Колмогоров в 1931 году. ^[65]

Согласно Оксфордскому словарю английского языка, раннее появление слова « случайный» в английском языке в его нынешнем значении, которое относится к случайности или удаче, относится к 16 веку, в то время как более ранние зарегистрированные случаи использования начались в 14 веке как существительное, означающее «стремительность». большая скорость, сила или насилие (при езде, беге, ударах и т. д.)». Само слово происходит от среднефранцузского слова, означающего «скорость, поспешность», и, вероятно, происходит от французского глагола, означающего «бежать» или «скакать». Первое письменное появление термина « случайный процесс» предшествует стохастическому процессу , который Оксфордский словарь английского языка также дает в качестве синонима, и был использован в статье Фрэнсиса Эджворта , опубликованной в 1888 году. ^[66]

Терминология

Определение случайного процесса варьируется ^[67] , но стохастический процесс традиционно определяется как набор случайных величин, индексированных некоторым набором. ^{[68] [69]} Термины «случайный процесс» и «случайный процесс» считаются синонимами и используются взаимозаменяемо, без точного указания набора индексов. ^{[27] [29] [30] [70] [71] [72]} Используются как «коллекция», ^{[28] [70], так и «семейство» [4] [73]} , а вместо «индексный набор» иногда используются термины «набор параметров» ^[28] или «пространство параметров» ^{[30] .}

Термин случайная функция также используется для обозначения стохастического или случайного процесса, ^{[5] [74] [75]} , хотя иногда он используется только тогда, когда случайный процесс принимает реальные значения. ^{[28] [73]} Этот термин также используется, когда наборы индексов представляют собой математические пространства, отличные от действительной линии, ^{[5] [76]} в то время как термины случайный процесс и случайный процесс обычно используются, когда набор индексов интерпретируется как время, ^{[5] [76] [77]} и другие термины используются, такие как случайное поле , когда набор индексов представляет собой -мерное евклидово пространство или многообразие . ^{[5] [28] [30]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Обозначения

Случайный процесс может быть обозначен, среди прочего, как , ^[56] , ^{[69] [78]} или просто как . Некоторые авторы ошибочно пишут, хотя это и является злоупотреблением обозначениями функций . ^[79] Например, или используются для обозначения случайной величины с индексом , а не всего стохастического процесса. ^[78] Если набор индексов равен , то можно написать, например, для обозначения случайного процесса. ^[29] ${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ ${\displaystyle \{X(t)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

Примеры

Процесс Бернулли

Одним из простейших случайных процессов является процесс Бернулли , ^[80] который представляет собой последовательность независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин, где каждая случайная величина принимает либо значение единицы, либо ноль, скажем, единицу с вероятностью и ноль с вероятностью . Этот процесс можно связать с идеализацией многократного подбрасывания монеты, где вероятность выпадения орла принимается равной и ее значение равно единице, а значение решки равно нулю. ^[81] Другими словами, процесс Бернулли представляет собой последовательность iid случайных величин Бернулли, ^[82] где каждый идеализированный подбрасывание монеты является примером испытания Бернулли . ^[83] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p}$

Случайная прогулка

Случайные блуждания — это случайные процессы, которые обычно определяются как суммы случайных величин или случайных векторов в евклидовом пространстве, поэтому это процессы, которые изменяются в дискретном времени. ^{[84] [85] [86] [87] [88]} Но некоторые также используют этот термин для обозначения процессов, которые изменяются в непрерывном времени, ^[89] в частности, процесса Винера, используемого в финансовых моделях, что привело к некоторой путанице, что привело к его критике. ^[90] Существуют и другие типы случайных блужданий, определенные таким образом, что их пространства состояний могут быть другими математическими объектами, такими как решетки и группы, и в целом они хорошо изучены и имеют множество приложений в различных дисциплинах. ^{[89] [91]}

Классический пример случайного блуждания известен как простое случайное блуждание , которое представляет собой стохастический процесс в дискретном времени с целыми числами в качестве пространства состояний и основан на процессе Бернулли, где каждая переменная Бернулли принимает либо положительное значение, либо значение. отрицательный. Другими словами, простое случайное блуждание происходит с целыми числами, и его значение увеличивается на единицу с вероятностью, скажем, или уменьшается на единицу с вероятностью , поэтому набор индексов этого случайного блуждания представляет собой натуральные числа, а его пространство состояний это целые числа. Если , то это случайное блуждание называется симметричным случайным блужданием. ^{[92] [93]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p=0.5}$

Винеровский процесс

Винеровский процесс — это стохастический процесс со стационарными и независимыми приращениями , которые обычно распределяются в зависимости от размера приращений. ^{[2] [94]} Винеровский процесс назван в честь Норберта Винера , который доказал его математическое существование, но этот процесс также называют процессом броуновского движения или просто броуновским движением из-за его исторической связи в качестве модели броуновского движения в жидкостях. ^{[95] [96] [97]}

Реализации винеровских процессов (или процессов броуновского движения) со сносом ( синий ) и без сноса ( красный ).

Винеровский процесс, играющий центральную роль в теории вероятностей, часто считается наиболее важным и изученным случайным процессом, связанным с другими случайными процессами. ^{[1] [2] [3] [98] [99] [100] [101]} Его набор индексов и пространство состояний представляют собой неотрицательные и действительные числа соответственно, поэтому он имеет как непрерывный набор индексов, так и пространство состояний. ^[102] Но процесс можно определить более широко, так что его пространство состояний может быть -мерным евклидовым пространством. ^{[91] [99] [103]} Если среднее значение любого приращения равно нулю, то говорят, что результирующий процесс винеровского или броуновского движения имеет нулевой дрейф. Если среднее значение приращения для любых двух моментов времени равно разнице во времени, умноженной на некоторую константу , которая является действительным числом, то результирующий случайный процесс называется дрейфом . ^{[104] [105] [106]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Почти наверняка образец пути винеровского процесса непрерывен всюду, но нигде не дифференцируем . Его можно рассматривать как непрерывную версию простого случайного блуждания. ^{[49] [105]} Этот процесс возникает как математический предел других случайных процессов, таких как определенные случайные блуждания в масштабе, ^{[107] [108]} который является предметом теоремы Донскера или принципа инвариантности, также известного как функциональная центральная предельная теорема. ^{[109] [110] [111]}

Процесс Винера является членом некоторых важных семейств случайных процессов, включая процессы Маркова, процессы Леви и процессы Гаусса. ^{[2] [49]} Этот процесс также имеет множество применений и является основным стохастическим процессом, используемым в стохастическом исчислении. ^{[112] [113]} Он играет центральную роль в количественных финансах, ^{[114] [115]} где он используется, например, в модели Блэка-Шоулза-Мертона. ^[116] Этот процесс также используется в различных областях, включая большинство естественных наук, а также некоторые отрасли социальных наук, в качестве математической модели для различных случайных явлений. ^{[3] [117] [118]}

Пуассоновский процесс

Процесс Пуассона — это случайный процесс, имеющий разные формы и определения. ^{[119] [120]} Его можно определить как процесс подсчета, который представляет собой стохастический процесс, который представляет случайное количество точек или событий с точностью до некоторого времени. Число точек процесса, находящихся в интервале от нуля до некоторого заданного момента времени, является пуассоновской случайной величиной, зависящей от этого времени и некоторого параметра. Этот процесс имеет натуральные числа в качестве пространства состояний и неотрицательные числа в качестве набора индексов. Этот процесс также называют процессом счета Пуассона, поскольку его можно интерпретировать как пример процесса счета. ^[119]

Если процесс Пуассона определен с единственной положительной константой, то этот процесс называется однородным процессом Пуассона. ^{[119] [121]} Однородный процесс Пуассона является членом важных классов случайных процессов, таких как процессы Маркова и процессы Леви. ^[49]

Однородный процесс Пуассона можно определить и обобщить по-разному. Его можно определить так, чтобы его набор индексов представлял собой действительную линию, и этот случайный процесс также называется стационарным процессом Пуассона. ^{[122] [123]} Если константу параметра процесса Пуассона заменить некоторой неотрицательной интегрируемой функцией от , полученный процесс называется неоднородным или неоднородным процессом Пуассона, где средняя плотность точек процесса больше не является постоянной. . ^[124] Являясь фундаментальным процессом в теории массового обслуживания, процесс Пуассона является важным процессом для математических моделей, где он находит применение для моделей событий, случайно происходящих в определенных временных окнах. ^{[125] [126]} ${\displaystyle t}$

Определенный на действительной линии, процесс Пуассона можно интерпретировать как случайный процесс, ^{[49] [127]} среди других случайных объектов. ^{[128] [129]} Но тогда его можно определить в -мерном евклидовом пространстве или других математических пространствах, ^[130] где его часто интерпретируют как случайное множество или случайную счетную меру, а не как случайный процесс. ^{[128] [129]} В этом контексте процесс Пуассона, также называемый точечным процессом Пуассона, является одним из наиболее важных объектов теории вероятностей, как по прикладным, так и по теоретическим причинам. ^{[22] [131]} Но было замечено, что процессу Пуассона не уделяется столько внимания, сколько следовало бы, отчасти из-за того, что его часто рассматривают только на действительной линии, а не на других математических пространствах. ^{[131] [132]} ${\displaystyle n}$

Определения

Случайный процесс

Случайный процесс определяется как совокупность случайных величин, определенных в общем вероятностном пространстве , где - выборочное пространство , - -алгебра и - вероятностная мера ; и все случайные величины, индексированные некоторым набором , принимают значения в одном и том же математическом пространстве , которое должно быть измеримо относительно некоторой -алгебры . ^[28] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Другими словами, для данного вероятностного пространства и измеримого пространства случайный процесс представляет собой набор -значных случайных величин, которые можно записать как: ^[80] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}$

Исторически сложилось так, что во многих задачах естественных наук точка имела значение времени, так же как и случайная величина, представляющая величину, наблюдаемую в данный момент времени . ^[133] Случайный процесс также можно записать так, чтобы отразить, что на самом деле он является функцией двух переменных, и . ^{[28] [134]} ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Существуют и другие способы рассмотрения случайного процесса, при этом приведенное выше определение считается традиционным. ^{[68] [69]} Например, случайный процесс можно интерпретировать или определить как -значную случайную величину, где - пространство всех возможных функций из множества в пространство . ^{[27] [68]} Однако это альтернативное определение как «случайной величины с функциональным значением» в целом требует четкого определения дополнительных предположений о регулярности. ^[135] ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

Набор индексов

Этот набор называется набором индексов ^{[4] [51]} или набором параметров ^{[28] [136]} случайного процесса. Часто этот набор представляет собой некоторое подмножество реальной линии , например натуральные числа или интервал, что дает набору интерпретацию времени. ^[1] В дополнение к этим наборам индексный набор может быть другим набором с полным порядком или более общим набором, ^{[1] [54]} таким как декартова плоскость или -мерное евклидово пространство, где элемент может представлять точку в космосе. ^{[48] ​​[137]} Тем не менее, многие результаты и теоремы возможны только для случайных процессов с полностью упорядоченным набором индексов. ^[138] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t\in T}$

Государственное пространство

Математическое пространство случайного процесса называется пространством его состояний . Это математическое пространство может быть определено с использованием целых чисел , действительных линий , трехмерных евклидовых пространств , комплексных плоскостей или более абстрактных математических пространств. Пространство состояний определяется с использованием элементов, отражающих различные значения, которые может принимать случайный процесс. ^{[1] [5] [28] [51] [56]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

Пример функции

Выборочная функция — это единственный результат случайного процесса, поэтому она формируется путем принятия единственного возможного значения каждой случайной величины случайного процесса. ^[28] [ ^139] Точнее, если — случайный процесс, то для любой точки отображение ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}$

называется выборочной функцией, реализацией или, особенно когда интерпретируется как время, выборочным путем случайного процесса . ^[50] Это означает, что для фиксированного существует выборочная функция, которая отображает набор индексов в пространство состояний . ^[28] Другие названия выборочной функции случайного процесса включают траекторию , функцию пути ^[140] или путь . ^[141] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

Приращение

Приращение случайного процесса — это разница между двумя случайными величинами одного и того же случайного процесса . Для случайного процесса с набором индексов, который можно интерпретировать как время, приращение — это то, насколько сильно изменяется случайный процесс за определенный период времени. Например, если это случайный процесс с пространством состояний и набором индексов , то для любых двух неотрицательных чисел и таких , что разница представляет собой случайную величину со значением, известную как приращение. ^{[48] ​​[49]} Когда интересуют приращения, часто пространство состояний представляет собой действительную линию или натуральные числа, но это может быть трехмерное евклидово пространство или более абстрактные пространства, такие как банаховы пространства . ^[49] ${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$ ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

Дальнейшие определения

Закон

Для случайного процесса , определенного в вероятностном пространстве , закон случайного процесса определяется как мера изображения : ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu =P\circ X^{-1},}$

где – вероятностная мера, символ обозначает состав функции и является прообразом измеримой функции или, что то же самое, -значной случайной величиной , где – пространство всех возможных -значных функций , поэтому закон стохастической процесс является вероятностной мерой. ^{[27] [68] [142] [143]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle X^{-1}}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t\in T}$

Для измеримого подмножества прообраз дает ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},}$

поэтому закон a можно записать как: ^[28] ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (B)=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}).}$

Закон случайного процесса или случайной величины также называют законом вероятности , распределением вероятностей или распределением . ^{[133] [142] [144] [145] [146]}

Конечномерные распределения вероятностей

Для случайного процесса с законом его конечномерное распределение определяется как: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}=P\circ (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))^{-1},}$

Эта мера представляет собой совместное распределение случайного вектора ; его можно рассматривать как «проекцию» закона на конечное подмножество . ^{[27] [147]} ${\displaystyle \mu _{t_{1},..,t_{n}}}$ ${\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

Для любого измеримого подмножества -кратной декартовой степени конечномерные распределения случайного процесса можно записать как: ^[28] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}(C)=P{\Big (}{\big \{}\omega \in \Omega :{\big (}X_{t_{1}}(\omega ),\dots ,X_{t_{n}}(\omega ){\big )}\in C{\big \}}{\Big )}.}$

Конечномерные распределения случайного процесса удовлетворяют двум математическим условиям, известным как условия согласованности. ^[57]

Стационарность

Стационарность — это математическое свойство, которым обладает случайный процесс, когда все случайные величины этого случайного процесса одинаково распределены. Другими словами, если это стационарный случайный процесс, то для любой случайной величины имеет одинаковое распределение, а это означает, что для любого набора значений индекса соответствующие случайные величины ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{t_{1}},\dots X_{t_{n}},}$

все имеют одинаковое распределение вероятностей . Набор индексов стационарного случайного процесса обычно интерпретируется как время, поэтому это могут быть целые числа или действительная линия. ^{[148] [149]} Но концепция стационарности существует также для точечных процессов и случайных полей, где набор индексов не интерпретируется как время. ^{[148] [150] [151]}

Когда набор индексов можно интерпретировать как время, случайный процесс называется стационарным, если его конечномерные распределения инвариантны относительно сдвигов времени. Этот тип случайного процесса можно использовать для описания физической системы, которая находится в устойчивом состоянии, но все еще испытывает случайные колебания. ^[148] Интуиция стационарности заключается в том, что с течением времени распределение стационарного случайного процесса остается прежним. ^[152] Последовательность случайных величин образует стационарный случайный процесс только в том случае, если случайные величины распределены одинаково. ^[148] ${\displaystyle T}$

Случайный процесс с приведенным выше определением стационарности иногда называют строго стационарным, но существуют и другие формы стационарности. Одним из примеров является то, что случайный процесс с дискретным или непрерывным временем называется стационарным в широком смысле, тогда процесс имеет конечный второй момент для всех и ковариацию двух случайных величин и зависит только от числа для всех. . ^{[152] [153]} Хинчин ввел родственное понятие стационарности в широком смысле , которое имеет и другие названия, включая ковариационную стационарность или стационарность в широком смысле . ^{[153] [154]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t+h}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t\in T}$

Фильтрация

Фильтрация — это возрастающая последовательность сигма-алгебр, определенная относительно некоторого вероятностного пространства и набора индексов, который имеет некоторое отношение общего порядка , например, в случае, когда набор индексов представляет собой некоторое подмножество действительных чисел. Более формально, если случайный процесс имеет набор индексов с полным порядком, то фильтрация в вероятностном пространстве представляет собой семейство сигма-алгебр таких, что для всех , где и обозначает полный порядок набора индексов . ^[51] С помощью концепции фильтрации можно изучить количество информации, содержащейся в стохастическом процессе при , которое можно интерпретировать как время . ^{[51] [155]} Интуиция, лежащая в основе фильтрации, заключается в том, что с течением времени становится известно или доступно все больше и больше информации о , которая фиксируется в , что приводит к все более тонким разделам . ^{[156] [157]} ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle t,s\in T}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \Omega }$

Модификация

Модификация случайного процесса — это еще один случайный процесс, тесно связанный с исходным случайным процессом . Точнее, случайный процесс , который имеет тот же набор индексов , пространство состояний и вероятностное пространство, что и другой случайный процесс, называется модификацией if для всех следующих ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t\in T}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t})=1,}$

держит. Два случайных процесса, которые являются модификациями друг друга, имеют один и тот же конечномерный закон ^[158] и их называют стохастически эквивалентными или эквивалентными . ^[159]

Вместо модификации также используется термин версия , ^{[150] [160] [161] [162]} однако некоторые авторы используют термин версия, когда два случайных процесса имеют одинаковые конечномерные распределения, но они могут быть определены с разной вероятностью. пространства, поэтому два процесса, являющиеся модификациями друг друга, также являются версиями друг друга в последнем смысле, но не наоборот. ^{[163] [142]}

Если вещественный стохастический процесс с непрерывным временем удовлетворяет определенным моментным условиям на своих приращениях, то теорема о непрерывности Колмогорова говорит, что существует модификация этого процесса, которая имеет непрерывные пути выборки с вероятностью единица, поэтому случайный процесс имеет непрерывную модификацию или версия. ^{[161] [162] [164]} Теорему также можно обобщить на случайные поля, так что набор индексов представляет собой -мерное евклидово пространство ^[165] , а также на случайные процессы с метрическими пространствами в качестве пространств состояний. ^[166] ${\displaystyle n}$

Неотличимый

Два случайных процесса , определенные в одном и том же вероятностном пространстве с одним и тем же набором индексов и пространством множеств, называются неотличимыми, если выполняются следующие условия: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t}{\text{ for all }}t\in T)=1,}$

держит. ^{[142] [158]} Если два и являются модификациями друг друга и почти наверняка непрерывны , то и неразличимы. ^[167] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Разделимость

Сепарабельность — это свойство случайного процесса, основанное на наборе его индексов по отношению к вероятностной мере. Предполагается, что функционалы от случайных процессов или случайных полей с несчетными наборами индексов могут образовывать случайные величины. Чтобы случайный процесс был отделимым, помимо других условий, его набор индексов должен быть сепарабельным пространством , ^[b] что означает, что набор индексов имеет плотное счетное подмножество. ^{[150] [168]}

Точнее, действительный стохастический процесс с непрерывным временем и вероятностным пространством является сепарабельным, если его набор индексов имеет плотное счетное подмножество и существует набор с нулевой вероятностью, так что такой, что для каждого открытого набора и каждого закрытого набора два события и отличаются друг от друга не более чем на подмножестве . ^{[169] [170] [171]} Определение разделимости ^[c] можно также сформулировать для других наборов индексов и пространств состояний, ^[174] например, в случае случайных полей, где набор индексов, а также пространство состояний может быть -мерным евклидовым пространством. ^{[30] [150]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U\subset T}$ ${\displaystyle \Omega _{0}\subset \Omega }$ ${\displaystyle P(\Omega _{0})=0}$ ${\displaystyle G\subset T}$ ${\displaystyle F\subset \textstyle R=(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\cap U\}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle n}$

Понятие сепарабельности случайного процесса было введено Джозефом Дубом . ^[168] Основная идея разделимости состоит в том, чтобы счетный набор точек набора индексов определял свойства случайного процесса. ^[172] Любой случайный процесс со счетным набором индексов уже удовлетворяет условиям разделимости, поэтому случайные процессы с дискретным временем всегда отделимы. ^[175] Теорема Дуба, иногда известная как теорема Дуба об отделимости, гласит, что любой стохастический процесс с непрерывным временем и действительным знаком имеет отделимую модификацию. ^{[168] [170] [176]} Версии этой теоремы также существуют для более общих случайных процессов с наборами индексов и пространствами состояний, отличными от действительной линии. ^[136]

Независимость

Два случайных процесса , определенные в одном и том же вероятностном пространстве с одним и тем же набором индексов, называются независимыми, если для всех и для каждого выбора эпох случайные векторы и независимы. ^{[177] : с. 515} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$ ${\displaystyle \left(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})\right)}$ ${\displaystyle \left(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n})\right)}$

Некоррелированность

Два случайных процесса называются некоррелированными, если их перекрестная ковариация всегда равна нулю. ^{[178] : с. 142} Формально: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Независимость подразумевает некоррелированность

Если два случайных процесса и независимы, то они также некоррелированы. ^{[178] : с. 151} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ортогональность

Два случайных процесса называются ортогональными , если их взаимная корреляция всегда равна нулю. ^{[178] : с. 142} Формально: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [X(t_{1}){\overline {Y(t_{2})}}]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ orthogonal}}\quad \iff \quad \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Скороход пространство

Пространство Скорохода , также называемое пространством Скорохода , представляет собой математическое пространство всех функций, которые непрерывны справа с левыми пределами, определены на некотором интервале реальной линии, например или , и принимают значения на действительной линии или на некоторой метрике космос. ^{[179] [180] [181]} Такие функции известны как функции càdlàg или cadlag, что происходит от аббревиатуры французской фразы continue à droite, limite à gauche . ^{[179] [182]} Функциональное пространство Скорохода, введенное Анатолием Скороходом , ^[181] часто обозначается буквой , ^{[179] [180] [181] [182]} поэтому функциональное пространство также называют пространством . ^{[179] [183] ​​[184]} Обозначение этого функционального пространства может также включать интервал, на котором определены все функции càdlàg, так, например, обозначается пространство функций càdlàg, определенных на единичном интервале . ^{[182] [184] [185]} ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Функциональные пространства Скорохода часто используются в теории случайных процессов, поскольку часто предполагается, что выборочные функции случайных процессов с непрерывным временем принадлежат пространству Скорохода. ^{[181] [183]} ​​Такие пространства содержат непрерывные функции, которые соответствуют выборочным функциям винеровского процесса. Но в пространстве есть и функции с разрывами, а это значит, что выборочные функции случайных процессов со скачками, таких как процесс Пуассона (на вещественной прямой), также являются членами этого пространства. ^{[184] [186]}

Регулярность

В контексте математического построения случайных процессов термин регулярность используется при обсуждении и предположении определенных условий случайного процесса для решения возможных проблем построения. ^{[187] [188]} Например, для изучения случайных процессов с несчетными наборами индексов предполагается, что случайный процесс соответствует некоторому типу условия регулярности, например, непрерывности выборочных функций. ^{[189] [190]}

Дальнейшие примеры

Марковские процессы и цепи

Марковские процессы — это случайные процессы, традиционно происходящие в дискретном или непрерывном времени , обладающие марковским свойством, означающим, что следующее значение марковского процесса зависит от текущего значения, но оно условно независимо от предыдущих значений случайного процесса. Другими словами, поведение процесса в будущем стохастически независимо от его поведения в прошлом при текущем состоянии процесса. ^{[191] [192]}

Процесс броуновского движения и процесс Пуассона (в одном измерении) являются примерами марковских процессов ^[193] в непрерывном времени, тогда как случайные блуждания целых чисел и проблема разорения игрока являются примерами марковских процессов в дискретном времени. ^{[194] [195]}

Цепь Маркова — это тип марковского процесса, который имеет либо дискретное пространство состояний , либо дискретный набор индексов (часто представляющий время), но точное определение цепи Маркова варьируется. ^[196] Например, принято определять цепь Маркова как марковский процесс либо в дискретном, либо в непрерывном времени со счетным пространством состояний (таким образом, независимо от природы времени), ^{[197] [198] [199] [200] ]} , но также было принято определять цепь Маркова как имеющую дискретное время либо в счетном, либо в непрерывном пространстве состояний (таким образом, независимо от пространства состояний). ^[196] Утверждалось, что сейчас имеет тенденцию использоваться первое определение цепи Маркова, где она имеет дискретное время, несмотря на то, что второе определение использовалось такими исследователями, как Джозеф Дуб и Кай Лай Чунг . ^[201]

Марковские процессы составляют важный класс случайных процессов и имеют приложения во многих областях. ^{[39] [202]} Например, они являются основой для общего метода стохастического моделирования, известного как цепь Маркова Монте-Карло , который используется для моделирования случайных объектов с определенными распределениями вероятностей и нашел применение в байесовской статистике . ^{[203] [204]}

Концепция марковского свойства изначально предназначалась для случайных процессов в непрерывном и дискретном времени, но это свойство было адаптировано для других наборов индексов, таких как -мерное евклидово пространство, в результате чего образуются наборы случайных величин, известные как марковские случайные поля. ^{[205] [206] [207]} ${\displaystyle n}$

Мартингейл

Мартингейл — это случайный процесс с дискретным или непрерывным временем, обладающий свойством, что в каждый момент времени, учитывая текущее значение и все прошлые значения процесса, условное ожидание каждого будущего значения равно текущему значению. Если в дискретное время это свойство сохраняется для следующего значения, то оно сохраняется и для всех будущих значений. Точное математическое определение мартингала требует двух других условий в сочетании с математической концепцией фильтрации, которая связана с интуицией увеличения доступной информации с течением времени. Мартингалы обычно определяются как вещественные, ^{[208] [209] [155]} , но они также могут быть комплексными ^[210] или даже в более общем смысле. ^[211]

Симметричное случайное блуждание и винеровский процесс (с нулевым дрейфом) являются примерами мартингалов соответственно в дискретном и непрерывном времени. ^{[208] [209]} Для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним значением стохастический процесс, формируемый из последовательных частичных сумм, представляет собой мартингал с дискретным временем. ^[212] В этом аспекте мартингалы с дискретным временем обобщают идею частичных сумм независимых случайных величин. ^[213] ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ ${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$

Мартингалы также можно создать из случайных процессов, применив некоторые подходящие преобразования, как это имеет место в случае однородного процесса Пуассона (на реальной линии), в результате чего получается мартингал, называемый компенсированным процессом Пуассона . ^[209] Мартингалы также могут быть построены из других мартингалов. ^[212] Например, существуют мартингалы, основанные на мартингальном процессе Винера, образующие мартингалы с непрерывным временем. ^{[208] [214]}

Мартингалы математически формализуют идею «честной игры», в которой можно сформировать разумные ожидания выигрышей, ^[215] и первоначально они были разработаны, чтобы показать, что в такой игре невозможно получить «несправедливое» преимущество. ^[216] Но сейчас они используются во многих областях теории вероятностей, что является одной из основных причин их изучения. ^{[155] [216] [217]} Многие задачи теории вероятностей были решены путем нахождения мартингала в задаче и его изучения. ^[218] Мартингалы сходятся при соблюдении некоторых условий на их моменты, поэтому их часто используют для получения результатов сходимости, во многом благодаря теоремам сходимости мартингалов . ^{[213] [219] [220]}

Мартингалы имеют множество применений в статистике, но было отмечено, что их использование и применение не так широко распространены, как могли бы быть в области статистики, особенно в области статистических выводов. ^[221] Они нашли применение в таких областях теории вероятностей, как теория массового обслуживания и исчисление Палма ^[222], а также в других областях, таких как экономика ^[223] и финансы. ^[17]

Процесс Леви

Процессы Леви — это типы случайных процессов, которые можно рассматривать как обобщение случайных блужданий в непрерывном времени. ^{[49] [224]} Эти процессы имеют множество применений в таких областях, как финансы, механика жидкости, физика и биология. ^{[225] [226]} Основными определяющими характеристиками этих процессов являются их свойства стационарности и независимости, поэтому они были известны как процессы со стационарными и независимыми приращениями . Другими словами, случайный процесс является процессом Леви, если для неотрицательных чисел соответствующие приращения ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}},}$

все они независимы друг от друга, и распределение каждого приращения зависит только от разницы во времени. ^[49]

Процесс Леви можно определить так, что его пространство состояний представляет собой некоторое абстрактное математическое пространство, такое как банахово пространство , но процессы часто определяются так, что они принимают значения в евклидовом пространстве. Набор индексов представляет собой неотрицательные числа, поэтому , что дает интерпретацию времени. Важные стохастические процессы, такие как процесс Винера, однородный процесс Пуассона (в одном измерении) и подчиненные процессы , являются процессами Леви. ^{[49] [224]} ${\displaystyle I=[0,\infty )}$

Случайное поле

Случайное поле — это набор случайных величин, индексированных -мерным евклидовым пространством или некоторым многообразием. В общем, случайное поле можно рассматривать как пример стохастического или случайного процесса, где набор индексов не обязательно является подмножеством реальной линии. ^[30] Но существует соглашение, согласно которому индексированный набор случайных величин называется случайным полем, если индекс имеет два или более измерения. ^{[5] [28] [227]} Если конкретное определение случайного процесса требует, чтобы набор индексов был подмножеством реальной линии, то случайное поле можно рассматривать как обобщение случайного процесса. ^[228] ${\displaystyle n}$

Точечный процесс

Точечный процесс — это набор точек, случайно расположенных в некотором математическом пространстве, таком как реальная линия, трехмерное евклидово пространство или более абстрактные пространства. Иногда термин « точечный процесс» не является предпочтительным, поскольку исторически слово « процесс» обозначало эволюцию некоторой системы во времени, поэтому точечный процесс также называют случайным точечным полем . ^[229] Существуют разные интерпретации точечного процесса, такого как случайная мера подсчета или случайный набор. ^{[230] [231]} Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и случайный процесс как два разных объекта, так что точечный процесс — это случайный объект, который возникает из случайного процесса или связан с ним, ^{[232] [233]} хотя было отмечено что разница между точечными процессами и случайными процессами не ясна. ^[233] ${\displaystyle n}$

Другие авторы рассматривают точечный процесс как стохастический процесс, где процесс индексируется множествами основного пространства ^[d] , в котором он определен, например вещественного линейного или -мерного евклидова пространства. ^{[236] [237]} Другие случайные процессы, такие как процессы восстановления и счета, изучаются в теории точечных процессов. ^{[238] [233]} ${\displaystyle n}$

История

Ранняя теория вероятностей

Теория вероятностей берет свое начало в азартных играх, которые имеют долгую историю, причем в некоторые игры играли тысячи лет назад, ^{[239] [240]} , но их анализ с точки зрения вероятности проводился очень мало. ^{[239] [241]} Год 1654 часто считается рождением теории вероятностей, когда французские математики Пьер Ферма и Блез Паскаль имели письменную переписку о вероятности, мотивированную проблемой азартных игр . ^{[239] [242] [243]} Но ранее была проведена математическая работа по изучению вероятности азартных игр, такая как Liber de Ludo Aleae Джероламо Кардано , написанная в 16 веке, но посмертно опубликованная позже, в 1663 году. ^{[239] [244]}

После Кардано Якоб Бернулли ^[e] написал Ars Conjectandi , который считается значительным событием в истории теории вероятностей. ^[239] Книга Бернулли была опубликована, также посмертно, в 1713 году и вдохновила многих математиков на изучение вероятности. ^{[239] [246] [247]} Но несмотря на то, что некоторые известные математики внесли свой вклад в теорию вероятностей, такие как Пьер-Симон Лаплас , Авраам де Муавр , Карл Гаусс , Симеон Пуассон и Пафнутий Чебышев , ^{[248] [249]} большая часть математического сообщества ^[f] не считал теорию вероятностей частью математики до 20 века. ^{[248] [250] [251] [252]}

Статистическая механика

В физических науках ученые разработали в 19 веке дисциплину статистической механики , где физические системы, такие как контейнеры, наполненные газами, рассматриваются или рассматриваются математически как совокупность множества движущихся частиц. Хотя некоторые ученые, такие как Рудольф Клаузиус , предпринимали попытки включить случайность в статистическую физику , в большинстве работ случайность была незначительной или вообще отсутствовала. ^{[253] [254]} Ситуация изменилась в 1859 году, когда Джеймс Клерк Максвелл внес значительный вклад в эту область, а точнее, в кинетическую теорию газов, представив работу, в которой он моделировал частицы газа, движущиеся в случайных направлениях со случайными скоростями. ^{[255] [256]} Кинетическая теория газов и статистическая физика продолжали развиваться во второй половине XIX века, причем работы выполнялись главным образом Клаузиусом, Людвигом Больцманом и Джозайей Гиббсом , которые позже окажут влияние на Альберта Эйнштейна . Математическая модель броуновского движения . ^[257]

Теория меры и теория вероятностей

На Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году Давид Гильберт представил список математических проблем , где его шестая проблема требовала математической обработки физики и вероятности с использованием аксиом . ^[249] Примерно в начале 20-го века математики разработали теорию меры, раздел математики для изучения интегралов математических функций, где двумя основателями были французские математики Анри Лебег и Эмиль Борель . В 1925 году другой французский математик Поль Леви опубликовал первую книгу о вероятностях, в которой использовались идеи теории меры. ^[249]

В 1920-е годы фундаментальный вклад в теорию вероятностей внесли в Советском Союзе такие математики, как Сергей Бернштейн , Александр Хинчин , ^[г] и Андрей Колмогоров . ^[252] Колмогоров опубликовал в 1929 году свою первую попытку представить математическое обоснование теории вероятностей, основанное на теории меры. ^[258] В начале 1930-х годов Хинчин и Колмогоров организовали семинары по теории вероятности, на которых присутствовали такие исследователи, как Евгений Слуцкий и Николай Смирнов , ^[259] и Хинчин дал первое математическое определение случайного процесса как набора случайных величин, индексированных по реальной линии. ^{[63] [260] [ч]}

Рождение современной теории вероятностей

В 1933 году Андрей Колмогоров опубликовал на немецком языке свою книгу об основах теории вероятностей под названием Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , ^[i] в ​​которой Колмогоров использовал теорию меры для разработки аксиоматической основы теории вероятностей. Публикация этой книги сейчас широко считается рождением современной теории вероятностей, когда теории вероятностей и случайных процессов стали частью математики. ^{[249] [252]}

После публикации книги Колмогорова дальнейшая фундаментальная работа по теории вероятностей и случайным процессам была проделана Хинчиным и Колмогоровым, а также другими математиками, такими как Джозеф Дуб , Уильям Феллер , Морис Фреше , Поль Леви , Вольфганг Деблин и Харальд Крамер . ^{[249] [252]} Десятилетия спустя Крамер назвал 1930-е годы «героическим периодом математической теории вероятностей». ^[252] Вторая мировая война сильно прервала развитие теории вероятностей, вызвав, например, миграцию Феллера из Швеции в Соединенные Штаты Америки ^[252] и смерть Деблина, считающегося теперь пионером в области случайных процессов. ^[262]

Математик Джозеф Дуб первым работал над теорией случайных процессов, внося фундаментальный вклад, особенно в теорию мартингалов. ^{[263] [261]} Его книга «Стохастические процессы» считается очень влиятельной в области теории вероятностей. ^[264]

Стохастические процессы после Второй мировой войны

После Второй мировой войны изучение теории вероятностей и случайных процессов привлекло больше внимания математиков, при этом значительный вклад был внесен во многие области теории вероятностей и математики, а также в создание новых областей. ^{[252] [265]} Начиная с 1940-х годов, Кийоси Ито публиковал статьи, развивающие область стохастического исчисления , которое включает в себя стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения, основанные на винеровском или броуновском процессе движения. ^[266]

Также, начиная с 1940-х годов, были установлены связи между случайными процессами, особенно мартингалами, и математической областью теории потенциала , с ранними идеями Шизуо Какутани , а затем с более поздними работами Джозефа Дуба. ^[265] Дальнейшая работа, считающаяся новаторской, была проведена Гилбертом Хантом в 1950-х годах, соединив марковские процессы и теорию потенциала, что оказало значительное влияние на теорию процессов Леви и привело к большему интересу к изучению марковских процессов с помощью методов, разработанных Ито. . ^{[21] [267] [268]}

В 1953 году Дуб опубликовал свою книгу «Стохастические процессы» , которая оказала сильное влияние на теорию случайных процессов и подчеркнула важность теории меры в теории вероятностей. ^{[265] [264]} Дуб также в основном разработал теорию мартингалов, с более поздним существенным вкладом Пола-Андре Мейера . Ранее работа была проведена Сергеем Бернштейном , Полем Леви и Жаном Вилем , причем последний принял термин мартингал для обозначения стохастического процесса. ^{[269] [270]} Методы теории мартингалов стали популярными для решения различных вероятностных задач. Методы и теория были разработаны для изучения марковских процессов, а затем применены к мартингалам. И наоборот, методы теории мартингалов были созданы для лечения марковских процессов. ^[265]

Другие области вероятностей были разработаны и использованы для изучения случайных процессов, причем одним из основных подходов была теория больших отклонений. ^[265] Теория имеет множество применений в статистической физике, среди других областей, и ее основные идеи восходят, по крайней мере, к 1930-м годам. Позже, в 1960-х и 1970-х годах, фундаментальная работа была проделана Александром Вентцелем в Советском Союзе и Монро Д. Донскером и Шринивасой Варадханом в Соединенных Штатах Америки, ^[271] что позже привело к тому, что Варадхан получил премию Абеля в 2007 году. ^[272] В 1990-х и 2000-х годах теории эволюции Шрамма-Лёвнера ^[273] и грубых путей ^[142] были введены и развиты для изучения случайных процессов и других математических объектов теории вероятностей, что, соответственно, привело к присуждению Венделину Филдсовской медали . Вернеру ^[274] в 2008 году и Мартину Хайреру в 2014 году. ^[275]

Теория случайных процессов по-прежнему остается в центре внимания исследований: на эту тему ежегодно проводятся международные конференции. ^{[45] [225]}

Открытия конкретных случайных процессов

Хотя Хинчин дал математические определения случайным процессам в 1930-х годах, ^{[63] [260]} конкретные случайные процессы уже были обнаружены в различных условиях, таких как процесс броуновского движения и процесс Пуассона. ^{[21] [24]} Некоторые семейства случайных процессов, такие как точечные процессы или процессы обновления, имеют долгую и сложную историю, насчитывающую столетия. ^[276]

Процесс Бернулли

Процесс Бернулли, который может служить математической моделью подбрасывания смещенной монеты, возможно, является первым стохастическим процессом, который был изучен. ^[81] Этот процесс представляет собой последовательность независимых испытаний Бернулли, ^[82] названных в честь Джекоба Бернулли , который использовал их для изучения азартных игр, включая вероятностные проблемы, предложенные и изученные ранее Христианом Гюйгенсом. ^[277] Работы Бернулли, включая процесс Бернулли, были опубликованы в его книге Ars Conjectandi в 1713 году ^{. [278]}

Случайные прогулки

В 1905 году Карл Пирсон ввёл термин « случайное блуждание» , поставив задачу, описывающую случайное блуждание на плоскости, что было мотивировано применением в биологии, но такие проблемы, связанные со случайными блужданиями, уже изучались в других областях. Некоторые проблемы азартных игр, которые изучались столетиями ранее, можно рассматривать как проблемы, связанные со случайными блужданиями. ^{[89] [278]} Например, проблема, известная как разорение игрока , основана на простом случайном блуждании, ^{[195] [279]} и является примером случайного блуждания с поглощающими барьерами. ^{[242] [280]} Паскаль, Ферма и Гюенс дали численные решения этой проблемы без подробного описания своих методов, ^[281] а затем более подробные решения были представлены Якобом Бернулли и Абрахамом де Муавром . ^[282]

Что касается случайных блужданий в -мерных целочисленных решетках , Джордж Полиа опубликовал в 1919 и 1921 годах работы, в которых изучал вероятность возвращения симметричного случайного блуждания в предыдущее положение в решетке. Полиа показал, что симметричное случайное блуждание, имеющее равную вероятность продвижения в любом направлении в решетке, будет возвращаться в предыдущее положение в решетке бесконечное число раз с вероятностью один в одном и двух измерениях, но с вероятностью ноль в три и более измерений. ^{[283] [284]} ${\displaystyle n}$

Винеровский процесс

Винеровский процесс или процесс броуновского движения берет свое начало в различных областях, включая статистику, финансы и физику. ^[21] В 1880 году датский астроном Торвальд Тиле написал статью о методе наименьших квадратов, в которой он использовал этот процесс для изучения ошибок модели при анализе временных рядов. ^{[285] [286] [287]} Эта работа сейчас считается ранним открытием статистического метода, известного как фильтрация Калмана , но эта работа в значительной степени упускалась из виду. Считается, что идеи статьи Тиле были слишком продвинутыми, чтобы их могло понять более широкое математическое и статистическое сообщество того времени. ^[287]

Норберт Винер дал первое математическое доказательство существования винеровского процесса. Этот математический объект ранее появлялся в работах Торвальда Тиле , Луи Башелье и Альберта Эйнштейна . ^[21]

Французский математик Луи Башелье использовал процесс Винера в своей диссертации 1900 года ^{[288] [289]} для моделирования изменений цен на Парижской фондовой бирже [ 290 ^] , не зная работы Тиле. ^[21] Было высказано предположение, что Башелье черпал идеи из модели случайного блуждания Жюля Реньо , но Башелье не цитировал его, ^[291] и диссертация Башелье теперь считается новаторской в ​​области финансовой математики. ^{[290] [291]}

Принято считать, что работа Башелье не привлекла особого внимания и была забыта на десятилетия, пока в 1950-х годах не была вновь открыта Леонардом Сэвиджем , а затем стала более популярной после того, как диссертация Башелье была переведена на английский язык в 1964 году. Но эта работа никогда не была забыта в математического сообщества, поскольку в 1912 году Башелье опубликовал книгу, в которой подробно изложил свои идеи ^[291] , на которую цитировали математики, в том числе Дуб, Феллер ^[291] и Колмогоров. ^[21] Книгу продолжали цитировать, но затем, начиная с 1960-х годов, оригинальная диссертация Башелье стала цитироваться чаще, чем его книга, когда экономисты начали цитировать работы Башелье. ^[291]

В 1905 году Альберт Эйнштейн опубликовал статью, в которой он изучал физическое наблюдение броуновского движения или движения, чтобы объяснить, казалось бы, случайные движения частиц в жидкостях, используя идеи кинетической теории газов . Эйнштейн вывел дифференциальное уравнение , известное как уравнение диффузии , для описания вероятности обнаружения частицы в определенной области пространства. Вскоре после первой статьи Эйнштейна о броуновском движении Мариан Смолуховский опубликовал работу, в которой цитировал Эйнштейна, но написал, что независимо получил эквивалентные результаты, используя другой метод. ^[292]

Работа Эйнштейна, а также экспериментальные результаты, полученные Жаном Перреном , позже вдохновили Норберта Винера в 1920-х годах ^[293] использовать тип теории меры, разработанный Перси Дэниелом , и анализ Фурье, чтобы доказать существование винеровского процесса как математического метода. объект. ^[21]

Пуассоновский процесс

Процесс Пуассона назван в честь Симеона Пуассона из-за его определения, включающего распределение Пуассона , но Пуассон никогда не изучал этот процесс. ^{[22] [294]} Есть ряд заявлений о раннем использовании или открытии процесса Пуассона. ^{[22] [24]} В начале 20-го века процесс Пуассона возникал независимо в разных ситуациях. ^{[22] [24]} В Швеции в 1903 году Филип Лундберг опубликовал диссертацию , содержащую работу, которая сейчас считается фундаментальной и новаторской, в которой он предложил моделировать страховые выплаты с помощью однородного процесса Пуассона. ^{[295] [296]}

Еще одно открытие произошло в Дании в 1909 году, когда А. К. Эрланг вывел распределение Пуассона при разработке математической модели количества входящих телефонных звонков за конечный интервал времени. Эрланг в то время не знал о более ранних работах Пуассона и предполагал, что количество телефонных звонков, поступающих в каждый интервал времени, не зависит друг от друга. Затем он нашел предельный случай, который фактически превращает распределение Пуассона в предел биномиального распределения. ^[22]

В 1910 году Эрнест Резерфорд и Ганс Гейгер опубликовали экспериментальные результаты по подсчету альфа-частиц. Вдохновленный своей работой, Гарри Бейтман изучил проблему подсчета и вывел вероятности Пуассона как решение семейства дифференциальных уравнений, что привело к независимому открытию процесса Пуассона. ^[22] После этого было много исследований и применений процесса Пуассона, но его ранняя история сложна, что объясняется различными применениями этого процесса во многих областях биологами, экологами, инженерами и различными учеными-физиками. ^[22]

Марковские процессы

Марковские процессы и цепи Маркова названы в честь Андрея Маркова , изучавшего цепи Маркова в начале 20 века. Марков интересовался изучением расширения независимых случайных последовательностей. В своей первой статье о цепях Маркова, опубликованной в 1906 году, Марков показал, что при определенных условиях средние результаты цепи Маркова будут сходиться к фиксированному вектору значений, доказав тем самым слабый закон больших чисел без предположения независимости, ^{[297] [298] [299]} что обычно рассматривалось как требование для соблюдения таких математических законов. ^[299] Позже Марков использовал цепи Маркова для изучения распределения гласных в «Евгении Онегине» , написанном Александром Пушкиным , и доказал центральную предельную теорему для таких цепей. ^{[300] [297]}

В 1912 году Пуанкаре изучал цепи Маркова на конечных группах с целью изучения тасования карт. Другие ранние варианты использования цепей Маркова включают модель диффузии, представленную Полом и Татьяной Эренфестами в 1907 году, и процесс ветвления, представленный Фрэнсисом Гальтоном и Генри Уильямом Уотсоном в 1873 году, предшествовавший работе Маркова. ^{[297] [298]} После работы Гальтона и Уотсона позже выяснилось, что их ветвящийся процесс был независимо открыт и изучен примерно тремя десятилетиями ранее Ирене-Жюлем Бьенеме . ^[301] Начиная с 1928 года Морис Фреше заинтересовался цепями Маркова, что в конечном итоге привело к публикации в 1938 году подробного исследования цепей Маркова. ^{[297] [302]}

Андрей Колмогоров в статье 1931 года развил большую часть ранней теории марковских процессов с непрерывным временем. ^{[252] [258]} Колмогоров был частично вдохновлен работой Луи Башелье 1900 года о колебаниях на фондовом рынке, а также работой Норберта Винера над моделью Эйнштейна броуновского движения. ^{[258] [303]} Он ввел и изучил особый набор марковских процессов, известных как диффузионные процессы, где он вывел набор дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. ^{[258] [304]} Независимо от работы Колмогорова, Сидней Чепмен в статье 1928 года вывел уравнение, теперь называемое уравнением Чепмена-Колмогорова , менее математически строгим способом, чем Колмогоров, изучая броуновское движение. ^[305] Дифференциальные уравнения теперь называются уравнениями Колмогорова ^[306] или уравнениями Колмогорова–Чепмена. ^[307] Среди других математиков, которые внесли значительный вклад в основы марковских процессов, - Уильям Феллер, начиная с 1930-х годов, а затем Юджин Дынкин, начиная с 1950-х годов. ^[252]

Процессы Леви

Процессы Леви, такие как процесс Винера и процесс Пуассона (на прямой линии), названы в честь Поля Леви, который начал изучать их в 1930-х годах ^[225] , но они связаны с бесконечно делимыми распределениями, восходящим к 1920-м годам. ^[224] В статье 1932 года Колмогоров вывел характеристическую функцию для случайных величин, связанных с процессами Леви. Позднее этот результат был получен в более общих условиях Леви в 1934 году, а затем Хинчин независимо дал альтернативную форму для этой характеристической функции в 1937 году. ^{[252] [308]} Помимо Леви, Хинчина и Коломогрова, ранние фундаментальные вклады в теорию Процессы Леви были разработаны Бруно де Финетти и Кийоси Ито . ^[224]

Математическая конструкция

В математике необходимы конструкции математических объектов, как и в случае случайных процессов, чтобы доказать их математическое существование. ^[57] Существует два основных подхода к построению случайного процесса. Один из подходов включает в себя рассмотрение измеримого пространства функций, определение подходящего измеримого отображения вероятностного пространства в это измеримое пространство функций, а затем получение соответствующих конечномерных распределений. ^[309]

Другой подход предполагает определение набора случайных величин, имеющих определенные конечномерные распределения, а затем использование теоремы существования Колмогорова ^[j] для доказательства существования соответствующего случайного процесса. ^{[57] [309]} Эта теорема, которая представляет собой теорему существования мер в бесконечных пространствах произведений, ^[313] говорит, что если любые конечномерные распределения удовлетворяют двум условиям, известным как условия согласованности , то существует стохастический процесс с этими конечными -мерные распределения. ^[57]

Вопросы строительства

При построении случайных процессов с непрерывным временем возникают определенные математические трудности из-за несчетных наборов индексов, которые не встречаются в процессах с дискретным временем. ^{[58] [59]} Одна из проблем заключается в том, возможно ли наличие более одного случайного процесса с одинаковыми конечномерными распределениями. Например, как непрерывная слева модификация, так и непрерывная справа модификация пуассоновского процесса имеют одинаковые конечномерные распределения. ^[314] Это означает, что распределение случайного процесса не обязательно однозначно определяет свойства выборочных функций случайного процесса. ^{[309] [315]}

Другая проблема заключается в том, что функционалы процесса с непрерывным временем, основанные на несчетном числе точек набора индексов, могут быть неизмеримыми, поэтому вероятности определенных событий не могут быть четко определены. ^[168] Например, верхняя грань случайного процесса или случайного поля не обязательно является четко определенной случайной величиной. ^{[30] [59]} Для случайного процесса с непрерывным временем другие характеристики, которые зависят от несчетного числа точек набора индексов, включают: ^[168] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

• выборочная функция случайного процесса является непрерывной функцией ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$
• выборочная функция случайного процесса является ограниченной функцией от ; и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$
• выборочная функция случайного процесса является возрастающей функцией . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$

Для преодоления этих двух трудностей возможны различные предположения и подходы. ^[69]

Решение строительных вопросов

Один из подходов, позволяющих избежать проблем математического построения случайных процессов, предложенный Джозефом Дубом , состоит в том, чтобы предположить, что случайный процесс отделим. ^[316] Сепарабельность гарантирует, что бесконечномерные распределения определяют свойства выборочных функций, требуя, чтобы выборочные функции по существу определялись своими значениями на плотном счетном множестве точек в наборе индексов. ^[317] Более того, если случайный процесс сепарабельен, то функционалы от несчетного числа точек индексного множества измеримы и их вероятности можно изучать. ^{[168] [317]}

Возможен другой подход, первоначально разработанный Анатолием Скороходом и Андреем Колмогоровым ^[318] для стохастического процесса с непрерывным временем и любым метрическим пространством в качестве пространства состояний. Для построения такого случайного процесса предполагается, что выборочные функции случайного процесса принадлежат некоторому подходящему функциональному пространству, которым обычно является пространство Скорохода, состоящее из всех непрерывных справа функций с левыми пределами. Этот подход сейчас используется чаще, чем предположение о разделимости ^{[69] , [263]} , но такой случайный процесс, основанный на этом подходе, будет автоматически разделимым. ^[319]

Хотя предположение о разделимости используется реже, оно считается более общим, поскольку каждый случайный процесс имеет отделимую версию. ^[263] Он также используется, когда невозможно построить случайный процесс в пространстве Скорохода. ^[173] Например, разделимость предполагается при построении и изучении случайных полей, где набор случайных величин теперь индексируется наборами, отличными от действительной линии, такими как -мерное евклидово пространство. ^{[30] [320]} ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Список тем случайных процессов
• Ковариационная функция
• Детерминированная система
• Динамика марковских частиц
• Уровень энтропии (для случайного процесса)
• Эргодический процесс
• Алгоритм Гиллеспи
• Взаимодействующая система частиц
• Закон (случайные процессы)
• Цепь Маркова
• Стохастический клеточный автомат
• Случайное поле
• Случайность
• Стационарный процесс
• Статистическая модель
• Стохастическое исчисление
• Стохастический контроль
• Стохастический попугай
• Случайные процессы и краевые задачи

Примечания

1. Термин «броуновское движение» может относиться к физическому процессу, также известному как броуновское движение , и стохастическому процессу, математическому объекту, но во избежание двусмысленности в этой статье для последнего используются термины « процесс броуновского движения» или «винеровский процесс» в стиле, аналогичном , например, Гихман и Скороход ^[19] или Розенблатт. ^[20]
2. Термин «разделимый» появляется здесь дважды в двух разных значениях, причем первое значение связано с вероятностью, а второе — с топологией и анализом. Чтобы случайный процесс был сепарабельным (в вероятностном смысле), его набор индексов должен быть сепарабельным пространством (в топологическом или аналитическом смысле), в дополнение к другим условиям. ^[136]
3. Определение разделимости для стохастического процесса с действительным значением в непрерывном времени можно сформулировать и другими способами. ^{[172] [173]}
4. В контексте точечных процессов термин «пространство состояний» может означать пространство, в котором определяется точечный процесс, например, действительная линия, ^{[234] [235]} , что соответствует набору индексов в терминологии стохастических процессов.
5. Также известен как Джеймс или Жак Бернулли. ^[245]
6. Было отмечено, что заметным исключением была Санкт-Петербургская школа в России, где математики под руководством Чебышева изучали теорию вероятностей. ^[250]
7. Имя Хинчин также пишется (или транслитерируется) на английском языке как Хинчин. ^[63]
8. Дуб, цитируя Хинчина, использует термин «случайная переменная», который раньше был альтернативой термину «случайная величина». ^[261]
9. Позже переведено на английский язык и опубликовано в 1950 году как «Основы теории вероятностей» ^[249]
10. У этой теоремы есть и другие названия, включая теорему непротиворечивости Колмогорова, ^[310] теорему расширения Колмогорова ^[311] или теорему Даниэля – Колмогорова. ^[312]

Рекомендации

1. Джозеф Л. Дуб (1990). Случайные процессы. Уайли. стр. 46, 47.
2. LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 978-1-107-71749-7.
3. Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 29. ISBN 978-1-4684-9305-4.
4. Эмануэль Парзен (2015). Случайные процессы. Публикации Courier Dover. стр. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
5. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
6. Бресслофф, Пол К. (2014). Случайные процессы в клеточной биологии. Спрингер. ISBN 978-3-319-08488-6.
7. Ван Кампен, НГ (2011). Случайные процессы в физике и химии. Эльзевир . ISBN 978-0-08-047536-3.
8. Ланде, Рассел; Энген, Стейнар; Сетер, Бернт-Эрик (2003). Стохастическая динамика численности населения в экологии и охране природы. Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-852525-7.
9. Лэнг, Карло; Лорд, Габриэль Дж. (2010). Стохастические методы в неврологии. Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-923507-0.
10. Пол, Вольфганг; Башнагель, Йорг (2013). Случайные процессы: от физики к финансам. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3-319-00327-6.
11. Догерти, Эдвард Р. (1999). Случайные процессы обработки изображений и сигналов. SPIE Оптическая инженерия. ISBN 978-0-8194-2513-3.
12. Берцекас, Дмитрий П. (1996). Стохастическое оптимальное управление: случай дискретного времени. Афина Сайентифик. ISBN 1-886529-03-5.
13. Томас М. Обложка; Джой А. Томас (2012). Элементы теории информации. Джон Уайли и сыновья . п. 71. ИСБН 978-1-118-58577-1.
14. Барон, Майкл (2015). Вероятность и статистика для компьютерщиков (2-е изд.). ЦРК Пресс . п. 131. ИСБН 978-1-4987-6060-7.
15. Бачелли, Франсуа; Блащишин, Бартломей (2009). Стохастическая геометрия и беспроводные сети. ISBN Now Publishers Inc. 978-1-60198-264-3.
16. Стил, Дж. Майкл (2001). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-95016-7.
17. Мусиела, Марек; Рутковски, Марек (2006). Методы Мартингейла в финансовом моделировании. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3-540-26653-2.
18. Шрив, Стивен Э. (2004). Стохастическое исчисление для финансов II: модели непрерывного времени. Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-40101-0.
19. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-69387-3.
20. Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Издательство Оксфордского университета.
21. Джарроу, Роберт; Проттер, Филип (2004). «Краткая история стохастической интеграции и математических финансов: первые годы, 1880–1970». Фестиваль Германа Рубина . Конспект лекций Института математической статистики - Серия монографий. стр. 75–80. CiteSeerX 10.1.1.114.632 . doi : 10.1214/lnms/1196285381. ISBN  978-0-940600-61-4. ISSN  0749-2170.
22. Стирзакер, Дэвид (2000). «Советы ежам, или Константы могут меняться». Математический вестник . 84 (500): 197–210. дои : 10.2307/3621649. ISSN  0025-5572. JSTOR  3621649. S2CID  125163415.
23. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. п. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
24. Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуя и свойством Шарпа Маркова? Немного истории стохастических точечных процессов». Международный статистический обзор . 80 (2): 253–268. дои : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN  0306-7734. S2CID  80836.
25. Гусак, Дмитрий; Кукуш, Александр; Кулик, Алексей; Мишура, Юлия ; Пилипенко, Андрей (2010). Теория случайных процессов: с приложениями к финансовой математике и теории риска. Springer Science & Business Media. п. 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
26. Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 42. ИСБН 978-3-540-26312-8.
27. Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. стр. 24–25. ISBN 978-0-387-95313-7.
28. Джон Ламперти (1977). Случайные процессы: обзор математической теории. Спрингер-Верлаг. стр. 1–2. ISBN 978-3-540-90275-1.
29. Лоик Шомон; Марк Йор (2012). Упражнения по вероятности: экскурсия от теории меры к случайным процессам через кондиционирования. Издательство Кембриджского университета. п. 175. ИСБН 978-1-107-60655-5.
30. Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. стр. 7–8. ISBN 978-0-387-48116-6.
31. Грегори Ф. Лоулер; Влада Лимич (2010). Случайное блуждание: современное введение. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-48876-1.
32. Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-40605-5.
33. LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-71749-7.
34. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83263-2.
35. Михаил Лифшиц (2012). Лекции по гауссовским процессам. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-24939-6.
36. Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. СИАМ. ISBN 978-0-89871-693-1.
37. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. ISBN 978-0-08-057041-9.
38. Брюс Хайек (2015). Случайные процессы для инженеров. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-316-24124-0.
39. Г. Латуш; В. Рамасвами (1999). Введение в методы матричного анализа в стохастическом моделировании. СИАМ. ISBN 978-0-89871-425-8.
40. DJ Дейли; Дэвид Вер-Джонс (2007). Введение в теорию точечных процессов: Том II: Общая теория и структура. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21337-8.
41. Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. ISBN 978-81-265-1771-8.
42. Пьер Бремо (2014). Фурье-анализ и случайные процессы. Спрингер. ISBN 978-3-319-09590-5.
43. Адам Бобровски (2005). Функциональный анализ вероятности и случайных процессов: Введение. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83166-6.
44. Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1336–1347.
45. Йохен Блат; Питер Имкеллер; Сильви Рулли (2011). Исследования случайных процессов. Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-072-2.
46. Мишель Талагран (2014). Верхние и нижние границы случайных процессов: современные методы и классические проблемы. Springer Science & Business Media. стр. 4–. ISBN 978-3-642-54075-2.
47. Пол С. Бресслофф (2014). Случайные процессы в клеточной биологии. Спрингер. стр. VII–IX. ISBN 978-3-319-08488-6.
48. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 27. ISBN 978-0-08-057041-9.
49. Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1337.
50. LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. стр. 121–124. ISBN 978-1-107-71749-7.
51. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. стр. 294, 295. ISBN. 978-1-118-59320-2.
52. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 26. ISBN 978-0-08-057041-9.
53. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. стр. 24, 25. ISBN. 978-1-4612-3166-0.
54. Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. п. 482. ИСБН 978-81-265-1771-8.
55. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 527. ИСБН 978-1-4471-5201-9.
56. Пьер Бремо (2014). Фурье-анализ и случайные процессы. Спрингер. п. 120. ИСБН 978-3-319-09590-5.
57. Джеффри С. Розенталь (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей. World Scientific Publishing Co Inc., стр. 177–178. ISBN 978-981-310-165-4.
58. Питер Э. Клоден; Экхард Платен (2013). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений. Springer Science & Business Media. п. 63. ИСБН 978-3-662-12616-5.
59. Давар Хошневисан (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. стр. 153–155. ISBN 978-0-387-21631-7.
60. "Стохастик" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
61. О. Б. Шейнин (2006). Теория вероятностей и статистика на примере коротких изречений. НГ Верлаг. п. 5. ISBN 978-3-938417-40-9.
62. Оскар Шейнин; Генрих Штрекер (2011). Александр Алексеевич Чупров: жизнь, творчество, переписка. В&Р Юнипресс ГмбХ. п. 136. ИСБН 978-3-89971-812-6.
63. Дуб, Джозеф (1934). «Стохастические процессы и статистика». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 20 (6): 376–379. Бибкод : 1934PNAS...20..376D. дои : 10.1073/pnas.20.6.376 . ПМЦ 1076423 . ПМИД  16587907. 
64. Хинчин, А. (1934). «Теория корреляции канцелярских стохастических процессов». Математические Аннален . 109 (1): 604–615. дои : 10.1007/BF01449156. ISSN  0025-5831. S2CID  122842868.
65. Колмогоров, А. (1931). «Über die Analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung». Математические Аннален . 104 (1): 1. дои : 10.1007/BF01457949. ISSN  0025-5831. S2CID  119439925.
66. "Случайный" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
67. Берт Э. Фристедт; Лоуренс Ф. Грей (2013). Современный подход к теории вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 580. ИСБН 978-1-4899-2837-5.
68. LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. стр. 121, 122. ISBN. 978-1-107-71749-7.
69. Сорен Асмуссен (2003). Прикладная вероятность и очереди. Springer Science & Business Media. п. 408. ИСБН 978-0-387-00211-8.
70. Дэвид Стирзакер (2005). Стохастические процессы и модели. Издательство Оксфордского университета. п. 45. ИСБН 978-0-19-856814-8.
71. Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Издательство Оксфордского университета. п. 91.
72. Джон А. Губнер (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и вычислительной техники. Издательство Кембриджского университета. п. 383. ИСБН 978-1-139-45717-0.
73. Киёси Ито (2006). Основы случайных процессов. Американское математическое соц. п. 13. ISBN 978-0-8218-3898-3.
74. М. Лоев (1978). Теория Вероятностей II. Springer Science & Business Media. п. 163. ИСБН 978-0-387-90262-3.
75. Пьер Бремо (2014). Фурье-анализ и случайные процессы. Спрингер. п. 133. ИСБН 978-3-319-09590-5.
76. Гусак и др. (2010), с. 1
77. Ричард Ф. Басс (2011). Случайные процессы. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 978-1-139-50147-7.
78. , Джон Ламперти (1977). Случайные процессы: обзор математической теории. Спрингер-Верлаг. п. 3. ISBN 978-3-540-90275-1.
79. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 55. ИСБН 978-1-86094-555-7.
80. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 293. ИСБН 978-1-118-59320-2.
81. Флореску, Ионут (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 301. ИСБН 978-1-118-59320-2.
82. Берцекас, Дмитрий П.; Цициклис, Джон Н. (2002). Введение в вероятность. Афина Сайентифик. п. 273. ИСБН 978-1-886529-40-3.
83. Ибе, Оливер К. (2013). Элементы случайного блуждания и диффузионных процессов. Джон Уайли и сыновья. п. 11. ISBN 978-1-118-61793-9.
84. Ахим Кленке (2013). Теория вероятностей: комплексный курс. Спрингер. п. 347. ИСБН 978-1-4471-5362-7.
85. Грегори Ф. Лоулер; Влада Лимич (2010). Случайное блуждание: современное введение. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 978-1-139-48876-1.
86. Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. п. 136. ИСБН 978-0-387-95313-7.
87. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 383. ИСБН 978-1-118-59320-2.
88. Рик Дарретт (2010). Вероятность: теория и примеры. Издательство Кембриджского университета. п. 277. ИСБН 978-1-139-49113-6.
89. Вайс, Джордж Х. (2006). «Случайные прогулки». Энциклопедия статистических наук . п. 1. дои : 10.1002/0471667196.ess2180.pub2. ISBN 978-0471667193.
90. Арис Спанос (1999). Теория вероятностей и статистический вывод: эконометрическое моделирование с использованием данных наблюдений. Издательство Кембриджского университета. п. 454. ИСБН 978-0-521-42408-0.
91. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 81. ИСБН 978-1-86094-555-7.
92. Аллан Гут (2012). Вероятность: аспирантура. Springer Science & Business Media. п. 88. ИСБН 978-1-4614-4708-5.
93. Джеффри Гримметт; Дэвид Стирзакер (2001). Вероятность и случайные процессы. ОУП Оксфорд. п. 71. ИСБН 978-0-19-857222-0.
94. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 56. ИСБН 978-1-86094-555-7.
95. Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив истории точных наук . 5 (1): 1–2. дои : 10.1007/BF00328110. ISSN  0003-9519. S2CID  117623580.
96. Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1338.
97. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 21. ISBN 978-0-486-69387-3.
98. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 471. ИСБН 978-1-118-59320-2.
99. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. стр. 21, 22. ISBN. 978-0-08-057041-9.
100. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. VIII. ISBN 978-1-4612-0949-2.
101. Дэниел Ревуз ; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. п. IX. ISBN 978-3-662-06400-9.
102. Джеффри С. Розенталь (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей. World Scientific Publishing Co Inc. с. 186. ИСБН 978-981-310-165-4.
103. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. п. 33. ISBN 978-1-4612-3166-0.
104. Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 118. ИСБН 978-1-4684-9305-4.
105. Петер Мёртерс; Юваль Перес (2010). Броуновское движение. Издательство Кембриджского университета. стр. 1, 3. ISBN 978-1-139-48657-6.
106. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 78. ИСБН 978-1-4612-0949-2.
107. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 61. ИСБН 978-1-4612-0949-2.
108. Стивен Э. Шрив (2004). Стохастическое исчисление для финансов II: модели непрерывного времени. Springer Science & Business Media. п. 93. ИСБН 978-0-387-40101-0.
109. Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. стр. 225, 260. ISBN. 978-0-387-95313-7.
110. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 70. ИСБН 978-1-4612-0949-2.
111. Питер Мёртерс; Юваль Перес (2010). Броуновское движение. Издательство Кембриджского университета. п. 131. ИСБН 978-1-139-48657-6.
112. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. ISBN 978-1-86094-555-7.
113. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. ISBN 978-1-4612-0949-2.
114. Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1341.
115. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 340. ИСБН 978-0-08-057041-9.
116. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 124. ИСБН 978-1-86094-555-7.
117. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 47. ИСБН 978-1-4612-0949-2.
118. Уббо Ф. Виерсема (2008). Броуновское исчисление движения. Джон Уайли и сыновья. п. 2. ISBN 978-0-470-02171-2.
119. Хенк К. Таймс (2003). Первый курс стохастических моделей. Уайли. стр. 1, 2. ISBN 978-0-471-49881-0.
120. DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 19–36. ISBN 978-0-387-21564-8.
121. Марк А. Пински; Сэмюэл Карлин (2011). Введение в стохастическое моделирование. Академическая пресса. п. 241. ИСБН 978-0-12-381416-6.
122. JFC Кингман (1992). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 38. ISBN 978-0-19-159124-2.
123. DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. п. 19. ISBN 978-0-387-21564-8.
124. JFC Кингман (1992). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 22. ISBN 978-0-19-159124-2.
125. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. стр. 118, 119. ISBN. 978-0-08-057041-9.
126. Леонард Кляйнрок (1976). Системы массового обслуживания: теория . Уайли. п. 61. ИСБН 978-0-471-49110-1.
127. Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Издательство Оксфордского университета. п. 94.
128. Мартин Хэнгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. стр. 10, 18. ISBN. 978-1-107-01469-5.
129. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. стр. 41, 108. ISBN. 978-1-118-65825-3.
130. JFC Кингман (1992). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 11. ISBN 978-0-19-159124-2.
131. Рой Л. Стрейт (2010). Пуассоновские точечные процессы: визуализация, отслеживание и зондирование. Springer Science & Business Media. п. 1. ISBN 978-1-4419-6923-1.
132. JFC Кингман (1992). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. против ISBN 978-0-19-159124-2.
133. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 528. ИСБН 978-1-4471-5201-9.
134. Георг Линдгрен; Хольгер Рутцен; Мария Сандстен (2013). Стационарные случайные процессы для ученых и инженеров. ЦРК Пресс. п. 11. ISBN 978-1-4665-8618-5.
135. Ауманн, Роберт (декабрь 1961 г.). «Борелевские структуры для функциональных пространств». Иллинойсский математический журнал . 5 (4). дои : 10.1215/ijm/1255631584 . S2CID  117171116.
136. Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. стр. 93, 94. ISBN. 978-3-540-26312-8.
137. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. п. 25. ISBN 978-1-4612-3166-0.
138. Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 104. ИСБН 978-3-540-26312-8.
139. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 296. ИСБН 978-1-118-59320-2.
140. Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. п. 493. ИСБН 978-81-265-1771-8.
141. Бернт Оксендал (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-3-540-04758-2.
142. Питер К. Фриз ; Николя Б. Виктор (2010). Многомерные случайные процессы как неровные пути: теория и приложения. Издательство Кембриджского университета. п. 571. ИСБН 978-1-139-48721-4.
143. Сидни И. Резник (2013). Приключения в случайных процессах. Springer Science & Business Media. стр. 40–41. ISBN 978-1-4612-0387-2.
144. Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. п. 23. ISBN 978-0-387-21748-2.
145. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 4. ISBN 978-0-521-83263-2.
146. Дэниел Ревуз; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-3-662-06400-9.
147. LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. п. 123. ИСБН 978-1-107-71749-7.
148. Джон Ламперти (1977). Случайные процессы: обзор математической теории. Спрингер-Верлаг. стр. 6 и 7. ISBN 978-3-540-90275-1.
149. Иосиф И. Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 4. ISBN 978-0-486-69387-3.
150. Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. СИАМ. стр. 14, 15. ISBN. 978-0-89871-693-1.
151. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 112. ИСБН 978-1-118-65825-3.
152. Джозеф Л. Дуб (1990). Случайные процессы. Уайли. стр. 94–96.
153. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. стр. 298, 299. ISBN. 978-1-118-59320-2.
154. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 8. ISBN 978-0-486-69387-3.
155. Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Издательство Кембриджского университета. стр. 93, 94. ISBN. 978-0-521-40605-5.
156. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. стр. 22–23. ISBN 978-1-86094-555-7.
157. Питер Мёртерс; Юваль Перес (2010). Броуновское движение. Издательство Кембриджского университета. п. 37. ИСБН 978-1-139-48657-6.
158. LCG Роджерс; Дэвид Уильямс (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы: Том 1, Основы. Издательство Кембриджского университета. п. 130. ИСБН 978-1-107-71749-7.
159. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 530. ИСБН 978-1-4471-5201-9.
160. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 48. ИСБН 978-1-86094-555-7.
161. Бернт Оксендал (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Springer Science & Business Media. п. 14. ISBN 978-3-540-04758-2.
162. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 472. ИСБН 978-1-118-59320-2.
163. Дэниел Ревуз; Марк Йор (2013). Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Springer Science & Business Media. стр. 18–19. ISBN 978-3-662-06400-9.
164. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 20. ISBN 978-0-521-83263-2.
165. Хироши Кунита (1997). Стохастические потоки и стохастические дифференциальные уравнения. Издательство Кембриджского университета. п. 31. ISBN 978-0-521-59925-2.
166. Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. п. 35. ISBN 978-0-387-95313-7.
167. Моник Жанблан ; Марк Йор ; Марк Чесни (2009). Математические методы для финансовых рынков. Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN 978-1-85233-376-8.
168. Киёси Ито (2006). Основы случайных процессов. Американское математическое соц. стр. 32–33. ISBN 978-0-8218-3898-3.
169. Иосиф Ильич Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1969). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. п. 150. ИСБН 978-0-486-69387-3.
170. Петар Тодорович (2012). Введение в случайные процессы и их приложения. Springer Science & Business Media. стр. 19–20. ISBN 978-1-4613-9742-7.
171. Илья Молчанов (2005). Теория случайных множеств. Springer Science & Business Media. п. 340. ИСБН 978-1-85233-892-3.
172. Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. стр. 526–527. ISBN 978-81-265-1771-8.
173. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 535. ИСБН 978-1-4471-5201-9.
174. Гусак и др. (2010), с. 22
175. Джозеф Л. Дуб (1990). Случайные процессы. Уайли. п. 56.
176. Давар Хошневисан (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. п. 155. ИСБН 978-0-387-21631-7.
177. Лапидот, Амос, Фонд цифровых коммуникаций , Cambridge University Press, 2009.
178. Кун Иль Парк, Основы теории вероятностей и случайных процессов с применением в коммуникациях, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
179. Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. стр. 78–79. ISBN 978-0-387-21748-2.
180. Гусак и др. (2010), с. 24
181. Владимир Иванович Богачев (2007). Теория меры (Том 2). Springer Science & Business Media. п. 53. ИСБН 978-3-540-34514-5.
182. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 4. ISBN 978-1-86094-555-7.
183. Сорен Асмуссен (2003). Прикладная вероятность и очереди. Springer Science & Business Media. п. 420. ИСБН 978-0-387-00211-8.
184. Патрик Биллингсли (2013). Сходимость вероятностных мер. Джон Уайли и сыновья. п. 121. ИСБН 978-1-118-62596-5.
185. Ричард Ф. Басс (2011). Случайные процессы. Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN 978-1-139-50147-7.
186. Николас Х. Бингхэм; Рюдигер Кизель (2013). Нейтральная к риску оценка: ценообразование и хеджирование производных финансовых инструментов. Springer Science & Business Media. п. 154. ИСБН 978-1-4471-3856-3.
187. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 532. ИСБН 978-1-4471-5201-9.
188. Давар Хошневисан (2006). Многопараметрические процессы: введение в случайные поля. Springer Science & Business Media. стр. 148–165. ISBN 978-0-387-21631-7.
189. Петар Тодорович (2012). Введение в случайные процессы и их приложения. Springer Science & Business Media. п. 22. ISBN 978-1-4613-9742-7.
190. Уорд Уитт (2006). Пределы стохастических процессов: введение в пределы стохастических процессов и их применение к очередям. Springer Science & Business Media. п. 79. ИСБН 978-0-387-21748-2.
191. Ричард Серфозо (2009). Основы прикладных случайных процессов. Springer Science & Business Media. п. 2. ISBN 978-3-540-89332-5.
192. Ю.А. Розанов (2012). Марковские случайные поля. Springer Science & Business Media. п. 58. ИСБН 978-1-4613-8190-7.
193. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. стр. 235, 358. ISBN. 978-0-471-12062-9.
194. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. стр. 373, 374. ISBN. 978-1-118-59320-2.
195. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 49. ИСБН 978-0-08-057041-9.
196. Сорен Асмуссен (2003). Прикладная вероятность и очереди. Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN 978-0-387-00211-8.
197. Эмануэль Парзен (2015). Случайные процессы. Публикации Courier Dover. п. 188. ИСБН 978-0-486-79688-8.
198. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. стр. 29, 30. ISBN. 978-0-08-057041-9.
199. Джон Ламперти (1977). Случайные процессы: обзор математической теории. Спрингер-Верлаг. стр. 106–121. ISBN 978-3-540-90275-1.
200. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. стр. 174, 231. ISBN. 978-0-471-12062-9.
201. Шон Мейн; Ричард Л. Твиди (2009). Цепи Маркова и стохастическая устойчивость. Издательство Кембриджского университета. п. 19. ISBN 978-0-521-73182-9.
202. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 47. ИСБН 978-0-08-057041-9.
203. Реувен Ю. Рубинштейн; Дирк П. Крозе (2011). Моделирование и метод Монте-Карло. Джон Уайли и сыновья. п. 225. ИСБН 978-1-118-21052-9.
204. Дэни Гамерман; Хедиберт Ф. Лопес (2006). Цепь Маркова Монте-Карло: стохастическое моделирование для байесовского вывода, второе издание. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-58488-587-0.
205. Ю.А. Розанов (2012). Марковские случайные поля. Springer Science & Business Media. п. 61. ИСБН 978-1-4613-8190-7.
206. Дональд Л. Снайдер; Майкл И. Миллер (2012). Случайные точечные процессы во времени и пространстве. Springer Science & Business Media. п. 27. ISBN 978-1-4612-3166-0.
207. Пьер Бремо (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. п. 253. ИСБН 978-1-4757-3124-8.
208. Фима К. Клебанер (2005). Введение в стохастическое исчисление с приложениями. Издательство Имперского колледжа. п. 65. ИСБН 978-1-86094-555-7.
209. Иоаннис Карацас; Стивен Шрив (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Спрингер. п. 11. ISBN 978-1-4612-0949-2.
210. Джозеф Л. Дуб (1990). Случайные процессы. Уайли. стр. 292, 293.
211. Жиль Пизье (2016). Мартингалы в банаховых пространствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-316-67946-3.
212. Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. стр. 12, 13. ISBN. 978-1-4684-9305-4.
213. П. Холл; CC Хейде (2014). Теория пределов Мартингейла и ее применение. Эльзевир Наука. п. 2. ISBN 978-1-4832-6322-9.
214. Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 115. ИСБН 978-1-4684-9305-4.
215. Шелдон М. Росс (1996). Случайные процессы. Уайли. п. 295. ИСБН 978-0-471-12062-9.
216. Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN 978-1-4684-9305-4.
217. Олав Калленберг (2002). Основы современной вероятности. Springer Science & Business Media. п. 96. ИСБН 978-0-387-95313-7.
218. Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 371. ИСБН 978-1-4684-9305-4.
219. Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 22. ISBN 978-1-4684-9305-4.
220. Джеффри Гримметт; Дэвид Стирзакер (2001). Вероятность и случайные процессы. ОУП Оксфорд. п. 336. ИСБН 978-0-19-857222-0.
221. Глассерман, Пол; Коу, Стивен (2006). «Разговор с Крисом Хейдом». Статистическая наука . 21 (2): 292, 293. arXiv : math/0609294 . Бибкод : 2006math......9294G. дои : 10.1214/088342306000000088. ISSN  0883-4237. S2CID  62552177.
222. Франсуа Бачелли; Пьер Бремо (2013). Элементы теории массового обслуживания: исчисление Palm Martingale и стохастические повторения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-11657-9.
223. П. Холл; CC Хейде (2014). Теория пределов Мартингейла и ее применение. Эльзевир Наука. п. Икс. ISBN 978-1-4832-6322-9.
224. Жан Бертуан (1998). Процессы Леви. Издательство Кембриджского университета. п. viii. ISBN 978-0-521-64632-1.
225. Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1336.
226. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 69. ИСБН 978-0-521-83263-2.
227. Леонид Коралов; Яков Григорьевич Синай (2007). Теория вероятностей и случайных процессов. Springer Science & Business Media. п. 171. ИСБН 978-3-540-68829-7.
228. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 19. ISBN 978-0-521-83263-2.
229. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 109. ИСБН 978-1-118-65825-3.
230. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Уилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (2013). Стохастическая геометрия и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 108. ИСБН 978-1-118-65825-3.
231. Мартин Хэнгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN 978-1-107-01469-5.
232. DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. п. 194. ИСБН 978-0-387-21564-8.
233. Кокс, доктор медицинских наук ; Ишам, Валери (1980). Точечные процессы . ЦРК Пресс. п. 3. ISBN 978-0-412-21910-8.
234. JFC Кингман (1992). Пуассоновские процессы. Кларендон Пресс. п. 8. ISBN 978-0-19-159124-2.
235. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. п. 7. ISBN 978-0-203-49693-0.
236. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2012). Первый курс случайных процессов. Академическая пресса. п. 31. ISBN 978-0-08-057041-9.
237. Фолькер Шмидт (2014). Стохастическая геометрия, пространственная статистика и случайные поля: модели и алгоритмы. Спрингер. п. 99. ИСБН 978-3-319-10064-7.
238. DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21564-8.
239. Ганюк, Пол А. (2017). Цепи Маркова: от теории к реализации и экспериментам . США: Джон Уайли и сыновья. стр. 1–2. ISBN 978-1-119-38755-8.
240. Дэвид, ФН (1955). «Исследования по истории вероятности и статистики I. Игра в кости и игры (заметки по истории вероятностей)». Биометрика . 42 (1/2): 1–15. дои : 10.2307/2333419. ISSN  0006-3444. JSTOR  2333419.
241. Л. Е. Майстров (2014). Теория вероятностей: исторический очерк. Эльзевир Наука. п. 1. ISBN 978-1-4832-1863-2.
242. Сенета, Э. (2006). «Вероятность, история». Энциклопедия статистических наук . п. 1. дои : 10.1002/0471667196.ess2065.pub2. ISBN 978-0471667193.
243. Джон Табак (2014). Вероятность и статистика: наука неопределенности. Издательство информационной базы. стр. 24–26. ISBN 978-0-8160-6873-9.
244. Беллхаус, Дэвид (2005). «Расшифровка Liber de Ludo Aleae Кардано». История Математики . 32 (2): 180–202. дои : 10.1016/j.hm.2004.04.001 . ISSN  0315-0860.
245. Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. п. 221. ИСБН 978-0-471-72517-6.
246. Л. Е. Майстров (2014). Теория вероятностей: исторический очерк. Эльзевир Наука. п. 56. ИСБН 978-1-4832-1863-2.
247. Джон Табак (2014). Вероятность и статистика: наука неопределенности. Издательство информационной базы. п. 37. ИСБН 978-0-8160-6873-9.
248. Чунг, Кай Лай (1998). «Вероятность и Дуб». Американский математический ежемесячник . 105 (1): 28–35. дои : 10.2307/2589523. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589523.
249. Бингхэм, Н. (2000). «Исследования по истории вероятности и статистике XLVI. Мера в вероятность: от Лебега до Колмогорова». Биометрика . 87 (1): 145–156. дои : 10.1093/biomet/87.1.145. ISSN  0006-3444.
250. Бензи, Маргарита; Бензи, Мишель; Сенета, Евгений (2007). «Франческо Паоло Кантелли. Род. 20 декабря 1875 г., ум. 21 июля 1966 г.». Международный статистический обзор . 75 (2): 128. doi :10.1111/j.1751-5823.2007.00009.x. ISSN  0306-7734. S2CID  118011380.
251. Дуб, Джозеф Л. (1996). «Развитие строгости математической вероятности (1900–1950)». Американский математический ежемесячник . 103 (7): 586–595. дои : 10.2307/2974673. ISSN  0002-9890. JSTOR  2974673.
252. Крамер, Харальд (1976). «Полвека с теорией вероятностей: некоторые личные воспоминания». Анналы вероятности . 4 (4): 509–546. дои : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN  0091-1798.
253. Трусделл, К. (1975). «Ранние кинетические теории газов». Архив истории точных наук . 15 (1): 22–23. дои : 10.1007/BF00327232. ISSN  0003-9519. S2CID  189764116.
254. Браш, Стивен Г. (1967). «Основы статистической механики 1845–1915». Архив истории точных наук . 4 (3): 150–151. дои : 10.1007/BF00412958. ISSN  0003-9519. S2CID  120059181.
255. Трусделл, К. (1975). «Ранние кинетические теории газов». Архив истории точных наук . 15 (1): 31–32. дои : 10.1007/BF00327232. ISSN  0003-9519. S2CID  189764116.
256. Кисть, С.Г. (1958). «Развитие кинетической теории газов И.В. Максвелл». Анналы науки . 14 (4): 243–255. дои : 10.1080/00033795800200147. ISSN  0003-3790.
257. Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив истории точных наук . 5 (1): 15–16. дои : 10.1007/BF00328110. ISSN  0003-9519. S2CID  117623580.
258. Кендалл, генеральный директор; Бэтчелор, ГК; Бингем, Нью-Хэмпшир; Хейман, ВК; Хайланд, JME; Лоренц, Г.Г.; Моффатт, Гонконг; Парри, В.; Разборов А.А.; Робинсон, Калифорния; Уиттл, П. (1990). «Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987)». Бюллетень Лондонского математического общества . 22 (1): 33. doi :10.1112/blms/22.1.31. ISSN  0024-6093.
259. Вер-Джонс, Дэвид (2006). «Хинчин, Александр Яковлевич». Энциклопедия статистических наук . п. 1. дои :10.1002/0471667196.ess6027.pub2. ISBN 978-0471667193.
260. Вер-Джонс, Дэвид (2006). «Хинчин, Александр Яковлевич». Энциклопедия статистических наук . п. 4. дои : 10.1002/0471667196.ess6027.pub2. ISBN 978-0471667193.
261. Снелл, Дж. Лори (2005). «Некролог: Джозеф Леонард Дуб». Журнал прикладной вероятности . 42 (1): 251. doi : 10.1239/jap/1110381384 . ISSN  0021-9002.
262. Линдвалл, Торгни (1991). «В. Дёблин, 1915–1940». Анналы вероятности . 19 (3): 929–934. дои : 10.1214/aop/1176990329 . ISSN  0091-1798.
263. Getoor, Рональд (2009). «Дж. Л. Дуб: Основы случайных процессов и вероятностной теории потенциала». Анналы вероятности . 37 (5): 1655. arXiv : 0909.4213 . Бибкод : 2009arXiv0909.4213G. дои : 10.1214/09-AOP465. ISSN  0091-1798. S2CID  17288507.
264. Бингхэм, Нью-Хэмпшир (2005). «Дуб: полвека спустя». Журнал прикладной вероятности . 42 (1): 257–266. дои : 10.1239/яп/1110381385 . ISSN  0021-9002.
265. Мейер, Поль-Андре (2009). «Стохастические процессы с 1950 года по настоящее время». Электронный журнал истории теории вероятностей и статистики . 5 (1): 1–42.
266. «Киёси Ито получает Киотскую премию» . Уведомления АМС . 45 (8): 981–982. 1998.
267. Жан Бертуан (1998). Процессы Леви. Издательство Кембриджского университета. п. viii и ix. ISBN 978-0-521-64632-1.
268. Дж. Майкл Стил (2012). Стохастическое исчисление и финансовые приложения. Springer Science & Business Media. п. 176. ИСБН 978-1-4684-9305-4.
269. П. Холл; CC Хейде (2014). Теория пределов Мартингейла и ее применение. Эльзевир Наука. стр. 1, 2. ISBN 978-1-4832-6322-9.
270. Дынкин, Е.Б. (1989). «Колмогоров и теория марковских процессов». Анналы вероятности . 17 (3): 822–832. дои : 10.1214/aop/1176991248 . ISSN  0091-1798.
271. Эллис, Ричард С. (1995). «Обзор теории больших уклонений и приложений к статистической механике». Скандинавский актуарный журнал . 1995 (1): 98. doi : 10.1080/03461238.1995.10413952. ISSN  0346-1238.
272. Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2008). «Интервью со Шринивасой Варадханом». Уведомления АМС . 55 (2): 238–246.
273. Малте Хенкель; Драги Каревски (2012). Конформная инвариантность: введение в циклы, интерфейсы и стохастическую эволюцию Лёвнера. Springer Science & Business Media. п. 113. ИСБН 978-3-642-27933-1.
274. "Вручение медалей Филдса 2006 года" . Уведомления АМС . 53 (9): 1041–1044. 2015.
275. Квастель, Джереми (2015). «Работа медалистов Филдса 2014 года». Уведомления АМС . 62 (11): 1341–1344.
276. DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 1–4. ISBN 978-0-387-21564-8.
277. Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. п. 226. ИСБН 978-0-471-72517-6.
278. Джоэл Луи Лебовиц (1984). Неравновесные явления II: от стохастики к гидродинамике. Северо-Голландский паб. стр. 8–10. ISBN 978-0-444-86806-0.
279. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 374. ИСБН 978-1-118-59320-2.
280. Оливер К. Айб (2013). Элементы случайного блуждания и диффузионных процессов. Джон Уайли и сыновья. п. 5. ISBN 978-1-118-61793-9.
281. Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. п. 63. ИСБН 978-0-471-72517-6.
282. Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. п. 202. ИСБН 978-0-471-72517-6.
283. Ионут Флореску (2014). Вероятность и случайные процессы. Джон Уайли и сыновья. п. 385. ИСБН 978-1-118-59320-2.
284. Барри Д. Хьюз (1995). Случайные блуждания и случайная среда: Случайные блуждания. Кларендон Пресс. п. 111. ИСБН 978-0-19-853788-5.
285. Тиле, Торвальд Н. (1880). «Ом Anvendelse af Mindste Kvadraterbs Methode и nogle Tilfælde, hvoren Complikation af Visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder, дающем Fejleneen «систематический» характер». Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter . Серия 5 (12): 381–408.
286. Хальд, Андерс (1981). «Вклад Т. Н. Тиле в статистику». Международное статистическое обозрение/Revue Internationale de Statistique . 49 (1): 1–20. дои : 10.2307/1403034. ISSN  0306-7734. JSTOR  1403034.
287. Лауритцен, Штеффен Л. (1981). «Анализ временных рядов в 1880 году: обсуждение вклада Т. Н. Тиле». Международное статистическое обозрение/Revue Internationale de Statistique . 49 (3): 319–320. дои : 10.2307/1402616. ISSN  0306-7734. JSTOR  1402616.
288. Башелье, Луис (1900). «Теория спекуляций» (PDF) . Анна. наук. Эк. Норма. Супер. Серия 3, 17: 21–89. дои : 10.24033/asens.476 . Архивировано (PDF) из оригинала 5 июня 2011 г.
289. Башелье, Луис (1900). «Теория спекуляции». Анна. наук. Эк. Норма. Супер . Серия 3, 17: 21–89 (перевод Дэвида Р. Мэя, 2011 г.). дои : 10.24033/asens.476 .
290. Курто, Жан-Мишель; Кабанов Юрий; Брю, Бернар; Крепель, Пьер; Лебон, Изабель; Ле Маршан, Арно (2000). «Луи Башелье к столетию теории спекуляций» (PDF) . Математические финансы . 10 (3): 339–353. дои : 10.1111/1467-9965.00098. ISSN  0960-1627. S2CID  14422885. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.
291. Йованович, Франк (2012). «Башелье: не забытый предшественник, которым его изображают. Анализ распространения работ Луи Башелье по экономике» (PDF) . Европейский журнал истории экономической мысли . 19 (3): 431–451. дои : 10.1080/09672567.2010.540343. ISSN  0967-2567. S2CID  154003579. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.
292. Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив истории точных наук . 5 (1): 25. дои : 10.1007/BF00328110. ISSN  0003-9519. S2CID  117623580.
293. Браш, Стивен Г. (1968). «История случайных процессов». Архив истории точных наук . 5 (1): 1–36. дои : 10.1007/BF00328110. ISSN  0003-9519. S2CID  117623580.
294. DJ Дейли; Д. Вер-Джонс (2006). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 8–9. ISBN 978-0-387-21564-8.
295. Эмбрехтс, Пол; Фрей, Рюдигер; Фуррер, Хансйорг (2001). «Стохастические процессы в страховании и финансах». Случайные процессы: теория и методы . Справочник по статистике. Том. 19. с. 367. дои :10.1016/S0169-7161(01)19014-0. ISBN 978-0444500144. ISSN  0169-7161.
296. Крамер, Харальд (1969). «Исторический обзор работ Филипа Лундберга по теории риска». Скандинавский актуарный журнал . 1969 (sup3): 6–12. дои : 10.1080/03461238.1969.10404602. ISSN  0346-1238.
297. Чарльз Миллер Гринстед; Джеймс Лори Снелл (1997). Введение в вероятность. Американское математическое соц. стр. 464–466. ISBN 978-0-8218-0749-1.
298. Пьер Бремо (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. п. ix. ISBN 978-1-4757-3124-8.
299. Хейс, Брайан (2013). «Первые звенья цепи Маркова». Американский учёный . 101 (2): 92–96. дои : 10.1511/2013.101.92.
300. Ганюк, Пол А. (2017). Цепи Маркова: от теории к реализации и экспериментам . Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. стр. 1–235. ISBN 978-1-119-38755-8.
301. Сенета, Э. (1998). «И. Ж. Бьенеме [1796–1878]: критичность, неравенство и интернационализация». Международное статистическое обозрение/Revue Internationale de Statistique . 66 (3): 291–292. дои : 10.2307/1403518. ISSN  0306-7734. JSTOR  1403518.
302. Брю, Б.; Герц, С. (2001). «Морис Фреше». Статистики веков . стр. 331–334. дои : 10.1007/978-1-4613-0179-0_71. ISBN 978-0-387-95283-3.
303. Марк Барбут; Бернард Локер; Лоран Мазлиак (2016). Поль Леви и Морис Фреше: 50 лет переписки в 107 письмах. Спрингер Лондон. п. 5. ISBN 978-1-4471-7262-8.
304. Валерий Скороход (2005). Основные принципы и приложения теории вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 146. ИСБН 978-3-540-26312-8.
305. Бернштейн, Джереми (2005). «Башелье». Американский журнал физики . 73 (5): 398–396. Бибкод : 2005AmJPh..73..395B. дои : 10.1119/1.1848117. ISSN  0002-9505.
306. Уильям Дж. Андерсон (2012). Цепи Маркова с непрерывным временем: прикладно-ориентированный подход. Springer Science & Business Media. п. VII. ISBN 978-1-4612-3038-0.
307. Кендалл, генеральный директор; Бэтчелор, ГК; Бингем, Нью-Хэмпшир; Хейман, ВК; Хайланд, JME; Лоренц, Г.Г.; Моффатт, Гонконг; Парри, В.; Разборов А.А.; Робинсон, Калифорния; Уиттл, П. (1990). «Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987)». Бюллетень Лондонского математического общества . 22 (1): 57. doi :10.1112/blms/22.1.31. ISSN  0024-6093.
308. Дэвид Эпплбаум (2004). Процессы Леви и стохастическое исчисление. Издательство Кембриджского университета. п. 67. ИСБН 978-0-521-83263-2.
309. Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. СИАМ. п. 13. ISBN 978-0-89871-693-1.
310. Кришна Б. Атрейя; Сумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятностей. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-32903-1.
311. Бернт Оксендал (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN 978-3-540-04758-2.
312. Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с Мартингалами. Издательство Кембриджского университета. п. 124. ИСБН 978-0-521-40605-5.
313. Рик Дарретт (2010). Вероятность: теория и примеры. Издательство Кембриджского университета. п. 410. ИСБН 978-1-139-49113-6.
314. Патрик Биллингсли (2008). Вероятность и мера. Wiley India Pvt. Ограниченное. стр. 493–494. ISBN 978-81-265-1771-8.
315. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. стр. 529–530. ISBN 978-1-4471-5201-9.
316. Кришна Б. Атрейя; Сумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 221. ИСБН 978-0-387-32903-1.
317. Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. п. 14. ISBN 978-0-387-48116-6.
318. Кришна Б. Атрейя; Сумендра Н. Лахири (2006). Теория меры и теория вероятностей. Springer Science & Business Media. п. 211. ИСБН 978-0-387-32903-1.
319. Александр А. Боровков (2013). Теория вероятности. Springer Science & Business Media. п. 536. ИСБН 978-1-4471-5201-9.
320. Бенджамин Якир (2013). Экстремумы в случайных полях: теория и ее приложения. Джон Уайли и сыновья. п. 5. ISBN 978-1-118-72062-2.

дальнейшее чтение

Статьи

• Эпплбаум, Дэвид (2004). «Процессы Леви: от вероятности к финансам и квантовым группам». Уведомления АМС . 51 (11): 1336–1347.
• Крамер, Харальд (1976). «Полвека с теорией вероятностей: некоторые личные воспоминания». Анналы вероятности . 4 (4): 509–546. дои : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN  0091-1798.
• Гутторп, Питер; Тораринсдоттир, Тордис Л. (2012). «Что случилось с дискретным хаосом, процессом Кенуя и свойством Шарпа Маркова? Немного истории стохастических точечных процессов». Международный статистический обзор . 80 (2): 253–268. дои : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN  0306-7734. S2CID  80836.
• Джарроу, Роберт; Проттер, Филип (2004). «Краткая история стохастической интеграции и математических финансов: первые годы, 1880–1970». Фестиваль Германа Рубина . Конспект лекций Института математической статистики - Серия монографий. стр. 75–91. doi : 10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN  0749-2170.
• Мейер, Поль-Андре (2009). «Стохастические процессы с 1950 года по настоящее время». Электронный журнал истории теории вероятностей и статистики . 5 (1): 1–42.

Книги

• Роберт Дж. Адлер (2010). Геометрия случайных полей. СИАМ. ISBN 978-0-89871-693-1.
• Роберт Дж. Адлер; Джонатан Э. Тейлор (2009). Случайные поля и геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48116-6.
• Пьер Бремо (2013). Цепи Маркова: поля Гиббса, моделирование Монте-Карло и очереди. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3124-8.
• Джозеф Л. Дуб (1990). Случайные процессы. Уайли.
• Андерс Хальд (2005). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-72517-6.
• Криспин Гардинер (2010). Стохастические методы. Спрингер. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Иосиф Иванович Гихман; Анатолий Владимирович Скороход (1996). Введение в теорию случайных процессов. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-69387-3.
• Эмануэль Парзен (2015). Случайные процессы. Публикации Courier Dover. ISBN 978-0-486-79688-8.
• Мюррей Розенблатт (1962). Случайные процессы . Издательство Оксфордского университета.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные со случайными процессами, на Викискладе?