Анри Леон Лебег ForMemRS [1] ( фр. [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 28 июня 1875 — 26 июля 1941) — французский математик, известный своей теорией интегрирования , которая была обобщением концепции интегрирования XVII века — суммированием площади между осью и кривой функции, определенной для этой оси. Его теория была первоначально опубликована в его диссертации Intégrale, longueur, aire («Интеграл, длина, площадь») в Университете Нанси в 1902 году. [3] [4]
Анри Лебег родился 28 июня 1875 года в Бове , Уаза . Отец Лебега был наборщиком , а мать — школьной учительницей . Его родители собрали дома библиотеку, которой мог пользоваться молодой Анри. Его отец умер от туберкулеза , когда Лебег был еще совсем маленьким, и его матери пришлось содержать его одной. Поскольку он проявил выдающийся талант к математике в начальной школе, один из его преподавателей организовал общественную поддержку, чтобы продолжить его образование в Коллеже Бове , а затем в Лицее Сен-Луи и Лицее Луи-ле-Гран в Париже . [5]
В 1894 году Лебег был принят в Высшую нормальную школу , где он продолжил сосредоточивать свою энергию на изучении математики, окончив ее в 1897 году. После окончания школы он оставался в Высшей нормальной школе в течение двух лет, работая в библиотеке, где он узнал об исследовании разрывности, проведенном в то время Рене-Луи Бером , недавним выпускником школы. В то же время он начал свое аспирантское обучение в Сорбонне , где он узнал о работе Эмиля Бореля по теории начальной меры и работе Камиля Жордана по мере Жордана . В 1899 году он перешел на преподавательскую должность в Центральный лицей в Нанси , продолжая работу над своей докторской диссертацией. В 1902 году он получил степень доктора философии в Сорбонне, защитив основополагающую диссертацию на тему «Интеграл, длина, площадь», представленную под руководством Бореля, который был на четыре года старше его. [6]
Лебег женился на сестре одного из своих однокурсников, и у них с женой родилось двое детей, Сюзанна и Жак.
После публикации своей диссертации Лебегу в 1902 году предложили должность в Реннском университете , где он читал лекции до 1906 года, а затем он перешёл на факультет наук Университета Пуатье . В 1910 году Лебег перешёл в Сорбонну в качестве мэтра конференций , получив повышение до профессора с 1919 года. В 1921 году он покинул Сорбонну, чтобы стать профессором математики в Коллеж де Франс , где он читал лекции и занимался исследованиями до конца своей жизни. [7] В 1922 году он был избран членом Академии наук . Анри Лебег умер 26 июля 1941 года в Париже . [6]
Первая статья Лебега была опубликована в 1898 году и называлась «Sur l'approximation des fonctions». Она касалась теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами. В период с марта 1899 года по апрель 1901 года Лебег опубликовал шесть заметок в Comptes Rendus . Первая из них, не связанная с его разработкой интегрирования Лебега, касалась распространения теоремы Бэра на функции двух переменных. Следующие пять касались поверхностей, применимых к плоскости, площади косых многоугольников , поверхностных интегралов минимальной площади с заданной границей, а последняя заметка давала определение интегрирования Лебега для некоторой функции f(x). Великий тезис Лебега, Intégrale, longueur, aire , с полным изложением этой работы, появился в Annali di Matematica в 1902 году. Первая глава развивает теорию меры (см. Борелевская мера ). Во второй главе он определяет интеграл как геометрически, так и аналитически. Следующие главы расширяют заметки Comptes Rendus , касающиеся длины, площади и применимых поверхностей. Последняя глава посвящена в основном проблеме Плато . Эта диссертация считается одной из лучших, когда-либо написанных математиком. [1]
Его лекции с 1902 по 1903 год были собраны в « Борелевский трактат» Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives . Проблема интегрирования, рассматриваемая как поиск примитивной функции, является лейтмотивом книги. Лебег представляет проблему интегрирования в ее историческом контексте, обращаясь к Огюстену-Луи Коши , Петеру Гюставу Лежену Дирихле и Бернхарду Риману . Лебег представляет шесть условий, которым желательно, чтобы удовлетворял интеграл, последнее из которых: «Если последовательность f n (x) возрастает до предела f(x), интеграл от f n (x) стремится к интегралу от f(x)». Лебег показывает, что его условия приводят к теории меры и измеримых функций , а также к аналитическим и геометрическим определениям интеграла.
Затем он обратился к тригонометрическим функциям в своей статье 1903 года "Sur les séries trigonométriques". В этой работе он представил три основные теоремы: о том, что тригонометрический ряд, представляющий ограниченную функцию, является рядом Фурье, что n- й коэффициент Фурье стремится к нулю ( лемма Римана–Лебега ), и что ряд Фурье интегрируем почленно. В 1904–1905 годах Лебег снова читал лекции в Коллеж де Франс , на этот раз по тригонометрическим рядам, и продолжил публиковать свои лекции в другом из "Борелевских трактатов". В этом трактате он снова рассматривает предмет в его историческом контексте. Он излагает ряды Фурье, теорию Кантора–Римана, интеграл Пуассона и задачу Дирихле .
В статье 1910 года "Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz" рассматриваются ряды Фурье функций, удовлетворяющих условию Липшица , с оценкой порядка величины остаточного члена. Он также доказывает, что лемма Римана–Лебега является наилучшим возможным результатом для непрерывных функций, и дает некоторую трактовку констант Лебега .
Лебег однажды написал: «Réduites à des theories générales, les mathématiques seraient une belle formme sans contenu». («Математика, сведенная к общим теориям, была бы красивой формой без содержания».)
В теоретико-мерном анализе и смежных разделах математики интеграл Лебега–Стилтьеса обобщает интегрирование Римана–Стилтьеса и Лебега, сохраняя многочисленные преимущества последнего в более общей теоретико-мерной структуре.
В течение своей карьеры Лебег также совершал набеги в области комплексного анализа и топологии . У него также были разногласия с Эмилем Борелем по поводу того, чей интеграл был более общим. [8] [9] [10] [11] Однако эти незначительные набеги меркнут по сравнению с его вкладом в реальный анализ ; его вклад в эту область оказал огромное влияние на форму этой области сегодня, и его методы стали неотъемлемой частью современного анализа. Они имеют важные практические последствия для фундаментальной физики, о которых Лебег мог бы совершенно не знать, как отмечено ниже.
Интеграция — это математическая операция, которая соответствует неформальной идее нахождения площади под графиком функции . Первая теория интегрирования была разработана Архимедом в 3 веке до н. э . с его методом квадратур , но он мог применяться только в ограниченных обстоятельствах с высокой степенью геометрической симметрии. В 17 веке Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли идею о том, что интегрирование неразрывно связано с дифференцированием , причем последнее является способом измерения того, насколько быстро функция изменяется в любой заданной точке графика. Эта удивительная связь между двумя основными геометрическими операциями в исчислении, дифференцированием и интегрированием, теперь известна как Основная теорема исчисления . Она позволила математикам впервые вычислить широкий класс интегралов. Однако, в отличие от метода Архимеда, который был основан на евклидовой геометрии , математики считали, что интегральное исчисление Ньютона и Лейбница не имело строгой основы.
Математическое понятие предела и тесно связанное с ним понятие сходимости являются центральными для любого современного определения интегрирования. В 19 веке Карл Вейерштрасс разработал строгое эпсилон-дельта определение предела, которое до сих пор принимается и используется математиками сегодня. Он основывался на предыдущей, но нестрогой работе Огюстена Коши , который использовал нестандартное понятие бесконечно малых чисел , сегодня отвергнутое в стандартном математическом анализе . До Коши фундаментальную основу эпсилон-дельта определения заложил Бернар Больцано . Подробнее см. здесь .
Бернхард Риман продолжил это, формализовав то, что сейчас называется интегралом Римана . Чтобы определить этот интеграл, нужно заполнить область под графиком все меньшими и меньшими прямоугольниками и на каждом этапе взять предел сумм площадей прямоугольников. Однако для некоторых функций общая площадь этих прямоугольников не приближается к одному числу. Таким образом, они не имеют интеграла Римана.
Лебег изобрел новый метод интегрирования для решения этой проблемы. Вместо использования площадей прямоугольников, которые фокусировались на области определения функции, Лебег рассматривал область определения функции для своей фундаментальной единицы площади. Идея Лебега состояла в том, чтобы сначала определить меру как для множеств, так и для функций на этих множествах. Затем он приступил к построению интеграла для того, что он назвал простыми функциями ; измеримые функции, которые принимают только конечное число значений. Затем он определил его для более сложных функций как наименьшую верхнюю границу всех интегралов простых функций, меньших, чем рассматриваемая функция.
Интеграция Лебега имеет свойство, что каждая функция, определенная на ограниченном интервале с интегралом Римана, также имеет интеграл Лебега, и для этих функций два интеграла совпадают. Более того, каждая ограниченная функция на замкнутом ограниченном интервале имеет интеграл Лебега, и существует много функций с интегралом Лебега, которые не имеют интеграла Римана.
В рамках развития интегрирования Лебега Лебег изобрел концепцию меры , которая расширяет идею длины с интервалов на очень большой класс множеств, называемых измеримыми множествами (точнее, простые функции — это функции, которые принимают конечное число значений, и каждое значение принимается на измеримом множестве). Метод Лебега для превращения меры в интеграл легко обобщается на многие другие ситуации, что приводит к современной области теории меры .
Интеграл Лебега несовершенен в одном отношении. Интеграл Римана обобщается до несобственного интеграла Римана для измерения функций, область определения которых не является замкнутым интервалом . Интеграл Лебега интегрирует многие из этих функций (всегда воспроизводя тот же ответ, когда это происходит), но не все из них. Для функций на действительной прямой интеграл Хенстока является еще более общим понятием интеграла (основанным на теории Римана, а не Лебега), которое включает в себя как интегрирование Лебега, так и несобственное интегрирование Римана. Однако интеграл Хенстока зависит от конкретных упорядочивающих особенностей действительной прямой и поэтому не обобщается, чтобы разрешить интегрирование в более общих пространствах (например, многообразиях ), в то время как интеграл Лебега распространяется на такие пространства вполне естественно.
что его интеграл является более общим по сравнению с интегралом Лебега, стало причиной спора между Борелем и Лебегом на страницах Annales de l'École Supérieure 35 (1918), 36 (1919), 37 (1920)
Медиа, связанные с Анри-Леоном Лебегом на Wikimedia Commons