Инфимум и супремум

Наибольшая нижняя граница и наименьшая верхняя граница

Набор действительных чисел (полые и закрашенные кружки), подмножество ( закрашенные кружки) и нижняя грань. Обратите внимание, что для полностью упорядоченных конечных множеств нижняя нижняя грань и минимум равны. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S.}$

Набор действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ (красный ромб и кружки) и наименьшая такая верхняя граница, то есть супремум (красный ромб). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

В математике нижняя грань (сокращенно inf ; множественное число infima ) подмножества частично упорядоченного множества — это наибольший элемент , который меньше или равен каждому элементу, если такой элемент существует. ^[1] Другими словами, это наибольший элемент, который меньше или равен наименьшему элементу . Следовательно, также часто используется термин «наибольшая нижняя граница » (сокращенно GLB ). ^[1] Супремум (сокращенно sup ; множественное число ) подмножества частично упорядоченного набора — это наименьший элемент , который больше или равен каждому элементу, если такой элемент существует. ^[1] Другими словами, это наименьший элемент, который больше или равен наибольшему элементу . Следовательно, супремум также называют наименьшей верхней границей (или LUB ). ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

Нижняя грань в точном смысле двойственна понятию супремума. Инфима и супрема действительных чисел являются обычными частными случаями, которые важны в анализе , и особенно в интегрировании Лебега . Однако общие определения остаются верными и в более абстрактной теории порядка , где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия нижней и верхней границы близки к минимуму и максимуму , но более полезны при анализе, поскольку лучше характеризуют специальные множества, которые могут не иметь ни минимума, ни максимума . Например, набор положительных действительных чисел (не включая ) не имеет минимума, потому что любой данный элемент можно просто разделить пополам, в результате чего получится меньшее число, которое все еще находится в . Однако существует ровно одна нижняя грань положительных чисел. действительные числа относительно действительных чисел: что меньше, чем все положительные действительные числа, и больше, чем любое другое действительное число, которое можно использовать в качестве нижней границы. Нижняя грань набора всегда и только определяется относительно надмножества рассматриваемого набора. Например, нет нижней нижней границы положительных действительных чисел внутри положительных действительных чисел (как их собственного надмножества), а также нет нижней нижней границы положительных действительных чисел внутри комплексных чисел с положительной действительной частью. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$ ${\displaystyle 0,}$

Формальное определение

супремум = наименьшая верхняя граница

Нижняя граница подмножества частично упорядоченного множества — это элемент такого, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle a\leq x}$для всех ${\displaystyle x\in S.}$

Нижняя граница называется инфимумом ( или наибольшей нижней границей , или пересечением ) если ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• для всех нижних границ in ( больше любой другой нижней границы). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$ ${\displaystyle a}$

Аналогично, верхняя граница подмножества частично упорядоченного множества — это такой элемент, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle b\geq x}$для всех ${\displaystyle x\in S.}$

Верхняя граница называется супремумом ( или наименьшей верхней границей или соединением ) if ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• для всех верхних границ in ( меньше любой другой верхней границы). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$ ${\displaystyle b}$

Существование и уникальность

Инфима и супрема не обязательно существуют. Существование нижней границы подмножества может оказаться ошибочным, если вообще не имеет нижней границы или если набор нижних границ не содержит наибольшего элемента. (Примером этого является подмножество . Оно имеет верхние границы, например 1,5, но не имеет супремума в .) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Следовательно, особенно интересными становятся частично упорядоченные множества, для которых известно существование определенных инфим. Например, решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю грани, а полная решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю грани. Дополнительную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, возникающих из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты .

Если верхняя грань подмножества существует, то оно уникально. Если содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит (или не существует). Аналогично, если нижняя грань существует, она уникальна. Если содержит наименьший элемент, то этот элемент является нижней границей; в противном случае нижняя грань не принадлежит (или не существует). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Связь с максимальными и минимальными элементами

Нижняя грань подмножества частично упорядоченного множества, если предположить, что она существует, не обязательно принадлежит. Если да, то это минимальный или наименьший элемент. Аналогично , если верхняя грань принадлежит ему, это максимальный или наибольший элемент ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S.}$

Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом множестве нет наибольшего элемента, поскольку на каждый элемент множества приходится другой, больший элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа существует другое отрицательное действительное число , которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, заведомо является верхней границей этого множества. Следовательно, — наименьшая верхняя граница отрицательных действительных чисел, поэтому верхняя граница равна 0. В этом наборе есть верхняя граница, но нет наибольшего элемента. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$ ${\displaystyle 0}$

Однако определение максимальных и минимальных элементов является более общим. В частности, множество может иметь много максимальных и минимальных элементов, тогда как нижняя и верхняя части уникальны.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, нижняя и верхняя границы подмножества не обязательно сами должны быть членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы

Наконец, частично упорядоченный набор может иметь множество минимальных верхних границ, но не иметь ни одной наименьшей верхней границы. Минимальные верхние границы — это такие верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше всех других верхних границ, она просто не больше. Различие между «минимальным» и «наименьшим» возможно только тогда, когда данный порядок не является полным . В полностью упорядоченном наборе, подобном действительным числам, понятия одни и те же.

В качестве примера пусть это набор всех конечных подмножеств натуральных чисел, и рассмотрим частично упорядоченный набор, полученный путем объединения всех наборов вместе с набором целых чисел и набором положительных действительных чисел, упорядоченных путем включения подмножества, как указано выше. Тогда очевидно, что оба и больше всех конечных наборов натуральных чисел. Тем не менее, ни это не меньше , ни обратное неверно: оба множества являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Свойство с наименьшей верхней границей

Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты , которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовой полнотой .

Если упорядоченное множество обладает свойством, согласно которому каждое непустое подмножество, имеющее верхнюю границу, также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что оно обладает свойством наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, набор всех действительных чисел обладает свойством наименьшей верхней границы. Точно так же набор целых чисел имеет свойство наименьшей верхней границы; если является непустым подмножеством и существует некоторое число такое, что каждый элемент меньше или равен, то существует наименьшая верхняя граница для целого числа, которая является верхней границей для и меньше или равна любой другой верхней границе для Хорошо упорядоченный набор также обладает свойством наименьшей верхней границы, а пустое подмножество также имеет наименьшую верхнюю границу: минимум всего набора. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Примером набора, в котором отсутствует свойство наименьшей верхней границы, является набор рациональных чисел. Позвольте быть набором всех рациональных чисел таких, что Тогда имеет верхнюю границу ( например, или ), но не имеет наименьшей верхней границы в : Если мы предполагаем, что это наименьшая верхняя граница, немедленно выводится противоречие, потому что между любыми двумя действительными числами и (включая и ) существует некоторое рациональное выражение , которое само должно быть наименьшей верхней границей (if ) или членом числа больше (if ). Другой пример — гиперреальность ; не существует наименьшей верхней границы множества положительных бесконечно малых. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{2}<2.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1000,}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$

Существует соответствующее свойство наибольшей нижней границы ; упорядоченный набор обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда он также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая верхняя граница набора нижних границ набора является наибольшей нижней границей, а наибольшая нижняя граница набора верхних границ набора является наименьшей верхней границей набора.

Если в частично упорядоченном множестве каждое ограниченное подмножество имеет верхнюю грань, это применимо также к любому множеству в функциональном пространстве, содержащему все функции от до где тогда и только тогда, когда для всех . Например, это применимо к действительным функциям, и, поскольку они могут рассматриваться как частные случаи функций для действительных кортежей и последовательностей действительных чисел. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle n}$

Свойство наименьшей верхней границы является индикатором супремумы.

Инфима и супрема действительных чисел

В анализе особое значение имеют нижняя и верхняя границы подмножеств действительных чисел . Например, отрицательные действительные числа не имеют наибольшего элемента, а их верхняя грань равна (которая не является отрицательным действительным числом). ^[1] Полнота действительных чисел подразумевает (и эквивалентно этому), что любое ограниченное непустое подмножество действительных чисел имеет нижнюю и верхнюю грань. Если не ограничено снизу, часто формально пишут. Если пусто , пишут ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

Характеристики

Если - любой набор действительных чисел, то тогда и только тогда и только тогда и в противном случае ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$ ${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$

Если множества действительных чисел, то (если ) и ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$ ${\displaystyle A=\varnothing \neq B}$ ${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

Определение инфимы и супремы

Если нижняя грань существует (то есть является действительным числом) и если является любым действительным числом, то тогда и только тогда, когда это нижняя граница и для каждого существует . Аналогично , если это действительное число и если есть любое действительное число, то тогда и только тогда, когда является верхней границей и если для каждого существует с ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \inf A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=\inf A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=\sup A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

Связь с пределами последовательностей

Если есть непустой набор действительных чисел, то всегда существует неубывающая последовательность такая , что Аналогично, существует (возможно, другая) невозрастающая последовательность такая , что ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$ ${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$

Выражение нижней и верхней граней как предела такой последовательности позволяет применять теоремы из различных разделов математики. Рассмотрим, например, хорошо известный факт из топологии , что если - непрерывная функция и представляет собой последовательность точек в ее области определения, которая сходится к точке, то обязательно сходится к . Из этого следует, что если - действительное число (где все находятся в ), и если — непрерывная функция, область определения которой содержит и тогда ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ ${\displaystyle f(p).}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup S,}$

$${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$

^{[примечание 1]}точка присоединениянеубывающей функциейкомплекснаянорма sup ${\displaystyle f(\sup S)}$ ${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$ ${\displaystyle q,}$

$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$

${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{q}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$ ${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

Несмотря на то, что это обсуждение сосредоточено на аналогичных выводах, можно прийти к ним с соответствующими изменениями (например, требованием, чтобы это значение было не возрастающим, а не убывающим). Другие нормы , определяемые в терминах или включают слабые пространственные нормы (для ), нормы в пространстве Лебега и операторные нормы . Монотонные последовательности, сходящиеся к (или к ), также могут использоваться для доказательства многих формул, приведенных ниже, поскольку сложение и умножение действительных чисел являются непрерывными операциями. ${\displaystyle \sup ,}$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup S}$ ${\displaystyle \inf S}$

Арифметические операции над множествами

Следующие формулы зависят от обозначений, которые удобно обобщают арифметические операции над множествами. Повсюду представлены наборы действительных чисел. ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$

Сумма наборов

Сумма Минковского двух множеств и действительных чисел — это множество ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$

$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$

$${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

Продукт наборов

Умножение двух множеств и действительных чисел определяется аналогично их сумме Минковского: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

Если и — непустые множества положительных действительных чисел, то и аналогично для супремумов ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$ ${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$

Скалярное произведение множества

Произведение действительного числа и множества действительных чисел есть множество ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

Если тогда ${\displaystyle r\geq 0}$

$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$

${\displaystyle r\leq 0}$

$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$

${\displaystyle r=-1}$ ${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$

$${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

Мультипликативное обратное множество

Для любого множества , не содержащего let ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0,}$

$${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

Если непусто, то ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$

^{[примечание 2][примечание 2]} ${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ ${\displaystyle \inf _{}S=0}$ ${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

Двойственность

Если обозначить частично упорядоченным множеством с противоположным отношением порядка ; то есть для всех заявляю: ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$

$${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,}$$

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

Для подмножеств действительных чисел справедлив другой вид двойственности: где ${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$ ${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

Примеры

Инфима

• Нижняя грань множества чисел равна Число — это нижняя граница, но не наибольшая нижняя граница и, следовательно, не нижняя грань. ${\displaystyle \{2,3,4\}}$ ${\displaystyle 2.}$ ${\displaystyle 1}$
• В более общем смысле, если в наборе есть наименьший элемент, то наименьший элемент является нижней границей набора. В этом случае его еще называют минимумом множества.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• Если – убывающая последовательность с пределом, то ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

Супрема

• Супремум набора чисел равен : Число является верхней границей, но не является наименьшей верхней границей и, следовательно, не является супремумом. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle 3.}$ ${\displaystyle 4}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

В последнем примере верхняя грань множества рациональных чисел иррациональна , что означает, что рациональные числа неполны .

Одним из основных свойств супремума является

$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$

функционала ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Верхняя грань подмножества где обозначает « делит » — это наименьшее общее кратное элементов ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$ ${\displaystyle \,\mid \,}$ ${\displaystyle S.}$

Верхняя грань множества , содержащего подмножества некоторого множества, представляет собой объединение подмножеств при рассмотрении частично упорядоченного множества , где – степенное множество и – подмножество . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Смотрите также

• Эссенциальная супремум и эссенциальная нижняя грань  - Нижняя грань и супремум почти везде.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Наибольший элемент и наименьший элемент  – элемент ≥ (или ≤) друг друга.
• Максимальные и минимальные элементы  - элемент, который не является ≤ (или ≥) каким-либо другим элементом.
• Верхний предел и нижний предел  – границы последовательности Pages displaying short descriptions of redirect targets(нижний предел)
• Верхние и нижние границы  – мажоранта и миноранта в математике

Примечания

1. Поскольку это последовательность , сходящаяся к этим гарантиям, принадлежащая замыканию ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\displaystyle f(\sup S),}$ ${\displaystyle f(\sup S)}$ ${\displaystyle f(S).}$
2. Определение обычно используется с расширенными действительными числами ; на самом деле, при таком определении равенство будет выполняться и для любого непустого подмножества . Однако обозначение обычно остается неопределенным, поэтому равенство дается только тогда, когда ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}:=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sup _{}S}}=\inf _{}{\tfrac {1}{S}}}$ ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty ].}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0.}$

Рекомендации

1. Рудин, Уолтер (1976). "«Глава 1. Действительные и комплексные системы счисления»". Принципы математического анализа (печать) (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 4. ISBN 0-07-054235-Х.
2. Rockafellar & Wets 2009, стр. 1–2.
3. Закон, Элиас (2004). Математический анализ I. Группа Триллия. стр. 39–42.

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. ОСЛК  883392544.

Внешние ссылки

• «Верхние и нижние границы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик В. «Инфимум и супремум». Математический мир .