Идеал (теория множеств)

Непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств

В математической области теории множеств идеал — это частично упорядоченная коллекция множеств , которые считаются «малыми» или «незначительными». Каждое подмножество элемента идеала также должно быть в идеале (это кодифицирует идею о том, что идеал — это понятие малости), и объединение любых двух элементов идеала также должно быть в идеале.

Более формально, если задано множество, то идеал на является непустым подмножеством множества , таким что: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

1. если и тогда и ${\displaystyle A\in I}$ ${\displaystyle B\subseteq A,}$ ${\displaystyle B\in I,}$
2. если тогда ${\displaystyle A,B\in I}$ ${\displaystyle A\cup B\in I.}$

Некоторые авторы добавляют четвертое условие, которое само по себе не содержится в ; идеалы с этим дополнительным свойством называются собственными идеалами . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

Идеалы в теоретико-множественном смысле являются в точности идеалами в теоретико-порядковом смысле , где соответствующий порядок — включение множеств. Кроме того, они являются в точности идеалами в теоретико-кольцевом смысле на булевом кольце, образованном степенным множеством базового множества. Двойственное понятие идеала — это фильтр .

Терминология

Элемент идеала называется -null или -negligible , или просто null или negligible , если идеал понятен из контекста. Если является идеалом на , то подмножество называется -positive (или просто positive ), если оно не является элементом Совокупность всех -positive подмножеств обозначается ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I^{+}.}$

Если — собственный идеал на и для каждого либо , либо , то — простой идеал . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\in I}$ ${\displaystyle X\setminus A\in I,}$ ${\displaystyle I}$

Примеры идеалов

Общие примеры

• Для любого множества и любого произвольно выбранного подмножества подмножества образуют идеал на Для конечных все идеалы имеют этот вид. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$
• Конечные подмножества любого множества образуют идеал на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Для любого пространства меры подмножества множеств имеют нулевую меру.
• Для любого пространства меры , множества конечной меры. Это охватывает конечные подмножества (используя счетную меру ) и малые множества ниже.
• Борнология на съемочной площадке — это идеал, который охватывает ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Непустое семейство подмножеств является собственным идеалом на тогда и только тогда, когда его двойственное в котором обозначается и определяется как является собственным фильтром на (фильтр является собственным , если он не равен ). Двойственное множество мощности является им самим; то есть Таким образом, непустое семейство является идеалом на тогда и только тогда, когда его двойственное является собственным идеалом на (который по определению является либо множеством мощности , либо собственным фильтром на ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X\setminus \wp (X)=\wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$

Идеалы натуральных чисел

• Идеал всех конечных множеств натуральных чисел обозначается Fin.
• Суммируемый идеал на натуральных числах, обозначается как совокупность всех множеств натуральных чисел, сумма которых конечна. См. малый набор . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{1/n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n+1}}}$
• Идеал множеств асимптотически нулевой плотности на натуральных числах обозначается как совокупность всех множеств натуральных чисел, таких, что доля натуральных чисел, меньшая той, которая принадлежит , стремится к нулю при стремлении к бесконечности. (То есть асимптотическая плотность равна нулю.) ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{0},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

Идеалы на реальных числах

• Идеал меры — это совокупность всех наборов действительных чисел , для которых мера Лебега равна нулю. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• Скудный идеал — это совокупность всех скудных наборов действительных чисел.

Идеалы на других наборах

• Если — порядковое число несчетной конфинальности , то нестационарный идеал на — это совокупность всех подмножеств , которые не являются стационарными множествами . Этот идеал был подробно изучен У. Хью Вудином . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Операции над идеалами

При наличии идеалов I и J на ​​базовых множествах X и Y соответственно можно сформировать произведение на декартовом произведении следующим образом: Для любого подмножества То есть множество пренебрежимо мало в идеале произведения, если только пренебрежимо малый набор x -координат соответствует непренебрежимо малому срезу A в направлении y . (Возможно, более ясно: множество положительно в идеале произведения, если положительное число x -координат соответствует положительным срезам.) ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$ $${\displaystyle A\in I\times J\quad {\text{ if and only if }}\quad \{x\in X\;:\;\{y:\langle x,y\rangle \in A\}\not \in J\}\in I}$$

Идеал I на множестве X индуцирует отношение эквивалентности на множестве степеней X , считая A и B эквивалентными (для подмножеств X ) тогда и только тогда, когда симметрическая разность A и B является элементом I. Частное от этого отношения эквивалентности является булевой алгеброй , обозначаемой (читается как «P of X mod I »). ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \wp (X)/I}$

Каждому идеалу соответствует фильтр , называемый его дуальным фильтром . Если I — идеал на X , то дуальный фильтр I — это совокупность всех множеств , где A — элемент I. (Здесь обозначает относительное дополнение A в X ; то есть совокупность всех элементов X , которые не входят в A ). ${\displaystyle X\setminus A,}$ ${\displaystyle X\setminus A}$

Отношения между идеалами

Если и являются идеалами на и соответственно, и изоморфны Рудину–Кейслеру , если они являются одним и тем же идеалом, за исключением переименования элементов их базовых множеств (игнорируя пренебрежимо малые множества). Более формально, требование состоит в том, чтобы были множества и элементы и соответственно, и биекция такая, что для любого подмножества тогда и только тогда, когда образ под ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,}$ ${\displaystyle C\subseteq X,}$ ${\displaystyle C\in I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \varphi \in J.}$

Если и изоморфны по Рудину–Кейслеру, то и изоморфны как булевы алгебры. Изоморфизмы фактор-булевых алгебр, индуцированные изоморфизмами идеалов по Рудину–Кейслеру, называются тривиальными изоморфизмами . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \wp (X)/I}$ ${\displaystyle \wp (Y)/J}$

Смотрите также

• Борнология  – Математическое обобщение ограниченности
• Фильтр (математика)  — в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества
• Идеал (теория порядка)  – непустое, ограниченное сверху, замкнутое вниз подмножество
• Идеал (теория колец)  – Аддитивная подгруппа математического кольца, поглощающая умножение.
• π -система  – Семейство множеств, замкнутых относительно пересечения
• σ-идеал  – Семейство, замкнутое относительно подмножеств и счетных объединенийСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления

Ссылки

• Фарах, Илияс (ноябрь 2000 г.). Аналитические дроби: Теория подъемов дробей по аналитическим идеалам целых чисел. Мемуары AMS. Американское математическое общество. ISBN 9780821821176.