Борнология

Математическое обобщение ограниченности

В математике , особенно в функциональном анализе , борнология на множестве X — это набор подмножеств X, удовлетворяющих аксиомам, обобщающим понятие ограниченности . Одной из ключевых мотиваций борнологий и борнологического анализа является тот факт, что борнологические пространства предоставляют удобную среду для гомологической алгебры в функциональном анализе. Это связано с тем, что ^{[1] стр. 9} категория борнологических пространств является аддитивной , полной , кополной и имеет тензорное произведение, сопряженное с внутренним hom , все необходимые компоненты для гомологической алгебры.

История

Борнология берет свое начало в функциональном анализе . Существует два естественных способа изучения проблем функционального анализа: один способ — изучать понятия, связанные с топологиями ( векторные топологии , непрерывные операторы , открытые / компактные подмножества и т. д.), а другой — изучать понятия, связанные с ограниченностью ^[2] ( векторные борнологии , ограниченные операторы , ограниченные подмножества и т. д.).

Для нормированных пространств , из которых возник функциональный анализ, топологические и борнологические понятия различны, но дополняют друг друга и тесно связаны. Например, единичный шар с центром в начале координат является как окрестностью начала координат , так и ограниченным подмножеством. Более того, подмножество нормированного пространства является окрестностью начала координат (соответственно, является ограниченным множеством ) именно тогда, когда оно содержит (соответственно, оно содержится в ) ненулевое скалярное кратное этого шара; так что это один из случаев, когда топологические и борнологические понятия различны, но дополняют друг друга (в том смысле, что их определения отличаются только тем, какой из и используется). В других случаях различие между топологическими и борнологическими понятиями может быть даже ненужным. Например, для линейных отображений между нормированными пространствами быть непрерывным (топологическое понятие) эквивалентно быть ограниченным (борнологическое понятие). Хотя различие между топологией и борнологией часто размыто или ненужно для нормированного пространства, оно становится более важным при изучении обобщений нормированных пространств. Тем не менее, борнология и топология все еще могут рассматриваться как два необходимых, различных и взаимодополняющих аспекта одной и той же реальности. ^[2] ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$

Общая теория топологических векторных пространств возникла сначала из теории нормированных пространств, а затем борнология возникла из этой общей теории топологических векторных пространств, хотя с тех пор борнология стала признана фундаментальным понятием в функциональном анализе . ^[3] Родившись из работ Джорджа Макки (в честь которого названы пространства Макки ), важность ограниченных подмножеств впервые стала очевидной в теории двойственности , особенно из-за теоремы Макки–Аренса и топологии Макки . ^[3] Начиная примерно с 1950-х годов стало очевидно, что топологические векторные пространства неадекватны для изучения некоторых основных проблем. ^[3] Например, операция умножения некоторых важных топологических алгебр не была непрерывной, хотя часто была ограниченной. ^[3] Другие основные проблемы, для которых TVS оказались неадекватными, заключались в разработке более общей теории дифференциального исчисления, обобщении распределений с (обычных) скалярнозначных распределений на векторные или операторнозначные распределения и расширении голоморфного функционального исчисления Гельфанда ( которое в первую очередь согласовано с банаховыми алгебрами или локально выпуклыми алгебрами) на более широкий класс операторов, включая те, спектры которых не являются компактными. Борнология оказалась полезным инструментом для исследования этих и других проблем, ^[4] включая проблемы алгебраической геометрии и общей топологии .

Определения

Борнология на множестве — это покрытие множества , замкнутое относительно конечных объединений и взятия подмножеств. Элементы борнологии называются ограниченными множествами .

Явно,борнология илиограниченность на множестве— этосемействоподмножеств,таких что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$стабилен при включении иливниз замкнуто : Еслитогда каждое подмножествоявляется элементом ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Говоря простым языком , это означает, что подмножества ограниченных множеств ограничены.
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ охватывает Каждая точкаявляется элементом некоторогоили, что эквивалентно, ${\displaystyle X:}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}B}.}$
   • Предполагая (1), это условие можно заменить на: Для каждого На простом языке это означает, что каждая точка ограничена. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$устойчиво относительно конечных объединений : объединение конечного числа элементов является элементом или, что эквивалентно, объединение любых двух множеств, принадлежащих также принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Проще говоря, это означает, что объединение двух ограниченных множеств является ограниченным множеством.

в этом случае пара называется ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ограниченная структура илиборнологический набор .^[5]

Таким образом, борнология может быть эквивалентно определена как нисходящее замкнутое покрытие, которое замкнуто относительно бинарных объединений . Непустое семейство множеств, которое замкнуто относительно конечных объединений и взятия подмножеств (свойства (1) и (3)) называется идеалом ( потому что это идеал в булевой алгебре / поле множеств, состоящее из всех подмножеств ). Таким образом, борнология на множестве может быть эквивалентно определена как идеал, который покрывает ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Элементы называются -ограниченными множествами или просто ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ограниченное множество s, еслипонимается. Свойства (1) и (2) подразумевают, что каждое одноэлементное подмножествоявляется элементом каждой борнологии посвойству (3), в свою очередь, гарантирует, что то же самое верно для каждого конечного подмножестваДругими словами, точки и конечные подмножества всегда ограничены в каждой борнологии. В частности, пустое множество всегда ограничено. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X.}$

Если — ограниченная структура, то набор дополнений — это (собственный) фильтр, называемый ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X\notin {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\}}$фильтр на бесконечности ;^[5]это всегда свободный фильтр , что по определению означает, что он имеет пустое пересечение/ядро, потому чтодля каждого ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Базы и подбазы

Если и являются борнологиями , то говорят, что ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$тоньше илисильнее , чеми такжеговорят, что ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$грубее илислабее, чемесли бы^[5] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}.}$

Семейство множеств называется ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$база илифундаментальная система борнологии,еслии для каждогосуществует такое, что ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B\subseteq A.}$

Семейство множеств называется ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$предбаза борнологии, еслии совокупность всех конечных объединений множеств вобразует базу для^[5] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Каждая основа борнологии является также и ее подосновой.

Сгенерированная борнология

Пересечение любого набора (одной или более) борнологий на снова является борнологией на Такое пересечение борнологий будет охватывать , поскольку каждая борнология на содержит каждое конечное подмножество (то есть, если является борнологией на и является конечной, то ). Легко проверить, что такое пересечение также будет замкнуто относительно включения (подмножества) и конечных объединений и, таким образом, будет борнологией на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Приведенная коллекция подмножеств наименьшей борнологии , содержащая называется ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$борнология, сгенерированная ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ .^[5] Она равна пересечению всех борнологий на, которые содержаткак подмножество. Это пересечение хорошо определено, посколькумножествомощностивсегда является борнологией на ,поэтому каждое семействоподмножестввсегда содержится по крайней мере в одной борнологии на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ограниченные карты

Предположим, что и являются ограниченными структурами. Карта называется ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$локально ограниченная карта или простоограниченное отображение , если изображение подкаждым-ограниченным множеством является-ограниченным множеством; то есть, если для каждого^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle f(A)\in {\mathcal {B}}.}$

Поскольку композиция двух локально ограниченных отображений снова локально ограничена, ясно, что класс всех ограниченных структур образует категорию , морфизмы которой являются ограниченными отображениями. Изоморфизм в этой категории называетсяБорноморфизм , и этобиективноелокально ограниченное отображение, обратное которому также локально ограничено.^[5]

Примеры ограниченных карт

Если — непрерывный линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами (не обязательно хаусдорфовыми), то он является ограниченным линейным оператором, когда и имеют свои борнологии фон Неймана , где множество ограничено в точности тогда, когда оно поглощается всеми окрестностями начала координат (это подмножества TVS, которые обычно называются ограниченными, когда явно не упоминается никакая другая борнология). Обратное утверждение в общем случае неверно. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Последовательно непрерывное отображение между двумя TVS обязательно локально ограничено. ^[5] ${\displaystyle f:X\to Y}$

Общие конструкции

Дискретная борнология

Для любого множества множество мощности является борнологией , называемой ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$дискретная борнология .^[5]Поскольку каждая борнология наявляется подмножествомдискретной борнологии, является наилучшей борнологией на Еслиявляется ограниченной структурой, то (поскольку борнологии замкнуты вниз)является дискретной борнологией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}.}$

Недискретная борнология

Для любого множества множество всех конечных подмножеств является борнологией, называемой ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$недискретная борнология . Это самая грубая борнология посмыслу, что она является подмножеством каждой борнологии по ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Множества ограниченной мощности

Множество всех счетных подмножеств является борнологией на Более общем смысле, для любого бесконечного кардинала множество всех подмножеств с мощностью не более является борнологией на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X.}$

Обратное изображение борнологии

Если — отображение и — борнология на , то обозначает борнологию, порожденную , которая называется обратным образом борнологии или исходной борнологией, индуцированной на [ ^5] ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left[f^{-1}({\mathcal {B}})\right]}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$

Пусть будет множеством, будет -индексированным семейством ограниченных структур, и пусть будет -индексированным семейством отображений, где для каждого ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:S\to T_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$Противный образ борнологии , определяемыйэтими картами, является сильнейшей борнологией,делающей каждоелокально ограниченным. Эта борнология равна^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{i}:(S,{\mathcal {A}})\to \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in I}\left[f^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)\right]}.}$

Прямое изображение борнологии

Пусть будет множеством, будет -индексированным семейством ограниченных структур, и пусть будет -индексированным семейством отображений, где для каждого ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:T_{i}\to S}$ ${\displaystyle i\in I.}$Прямой образ борнологии на ,определяемый этими отображениями, является слабейшей борнологией на ,делающей каждоелокально ограниченным. Если для каждогообозначает борнологию, порожденнуютогда эта борнология равна совокупности всех подмножестввида,где каждоеи все, кроме конечного числа,пусты.^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)\to (S,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}_{i}\right),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cup _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Подпространственная борнология

Предположим, что это ограниченная структура и является подмножеством ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$подпространственная борнология наявляется лучшей борнологией посозданиюотображениявключенияв(определяемое с помощью) локально ограниченным.^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\mapsto s}$

Продуктовая борнология

Пусть будет -индексированным семейством ограниченных структур, пусть и для каждого пусть обозначает каноническую проекцию. ${\displaystyle \left(X_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X={\textstyle \prod \limits _{i\in I}X_{i}},}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to X_{i}}$Продукт борнологии наявляется обратным образом борнологии, определяемой каноническими проекциями То есть, это сильнейшая борнология наделая каждую из канонических проекций локально ограниченной. База для продукта борнологии задается как^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to X_{i}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textstyle \left\{\prod \limits _{i\in I}B_{i}~:~B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}.}$

Топологические конструкции

Компактная борнология

Подмножество топологического пространства называется относительно компактным, если его замыкание является компактным подпространством Для любого топологического пространства , в котором одноэлементные подмножества являются относительно компактными (например, пространство T1 ), множество всех относительно компактных подмножеств образуют борнологию, называемую ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$Компактная борнология на^[5] Каждое непрерывное отображение междупространствами T1ограничено относительно их компактных борнологий. ${\displaystyle X.}$

Множество относительно компактных подмножеств формы борнологии на базе A для этой борнологии задается всеми замкнутыми интервалами вида для ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle [-n,n]}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

Метрическая борнология

Для данного метрического пространства метрическая борнология состоит из всех подмножеств, для которых супремум конечен. ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \sup _{s,t\in S}d(s,t)<\infty }$

Аналогично, если задано мерное пространство, то семейство всех измеримых подмножеств конечной меры (то есть ) образует борнологию на ${\displaystyle (X,\Omega ,\mu ),}$ ${\displaystyle S\in \Omega }$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle X.}$

Закрытие и внутренние борнологии

Предположим, что это топологическое пространство и является борнологией на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Борнология, порожденная множеством всех топологических внутренностей множеств в (то есть порожденная , называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\operatorname {int} B:B\in {\mathcal {B}}\}}$Внутренняя часть иобозначается^[5] Борнологияназывается ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$открыть, если ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {int} {\mathcal {B}}.}$

Борнология, порожденная множеством всех топологических замыканий множеств в (то есть порожденная ), называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\operatorname {cl} B:B\in {\mathcal {B}}\}}$замыкание и обозначается[^5] Мы обязательно имеем ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {int} {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.}$

Борнология называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$закрыто, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {cl} {\mathcal {B}};}$
2. замкнутые подмножества порождают ; ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. закрытие каждого принадлежит ^[5] ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Борнология называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$правильно, еслиявляется одновременно открытым и закрытым.^[5] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Топологическое пространство называется ${\displaystyle X}$локально ограниченным ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ или простолокально ограниченным,если каждоеимеет окрестность, которая принадлежит Каждое компактное подмножество локально ограниченного топологического пространства ограничено.^[5] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Борнология топологического векторного пространства

Если — топологическое векторное пространство (TVS), то множество всех ограниченных подмножеств образуют борнологию (на самом деле, даже векторную борнологию ) на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$фон Неймана ${\displaystyle X}$​обычная борнология , или простоборнология иназывается ${\displaystyle X}$естественная ограниченность .^[5] В любомлокально выпукломTVSмножество всех замкнутых ограниченныхдисковобразует базу для обычной борнологии^[5] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Линейное отображение между двумя борнологическими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено (относительно обычных борнологий).

Топологические кольца

Предположим, что — коммутативное топологическое кольцо . Подмножество называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ограниченное множество , если для каждой окрестностиначала координат всуществует окрестностьначала координат втакая, что^[5] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle SV\subseteq U.}$

Смотрите также

• Множество  , которое может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Борнологическое пространство  – пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Грубая структура#ограниченное множество  – Концепция в геометрии и топологии
• Пространство линейных отображений
• Ультраборнологическое пространство
• Векторная борнология

Ссылки

1. Блок, Джонатан; Дэнзер, Колдер (2009-01-09). "Двойственность Мукаи для гербов со связью". arXiv : 0803.1529 [math.QA].
2. Hogbe-Nlend 1971, стр. 5.
3. Хогбе-Нленд 1971, стр. 1–2.
4. Хогбе-Нленд 1971.
5. Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.

• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственной топологии-борнологии и ее использование в функциональном анализе . North-Holland Mathematics Studies. Том 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064. OCLC  316549583.
• Хогбе-Нленд, Анри (1971). «Исторические расы современной борнологии» (PDF) . Семинар Шоке: Начало анализа (на французском языке). 10 (1): 1–7. МР  0477660.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Т. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 29–33, 49, 104. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.