Клубный набор

Концепция теории множеств

В математике , в частности в математической логике и теории множеств , клубное множество — это подмножество предельного ординала , замкнутое относительно топологии порядка и неограниченное (см. ниже) относительно предельного ординала. Название клуб — это сокращение от «замкнутый и неограниченный».

Формальное определение

Формально, если — предельный ординал, то множество замкнуто в тогда и только тогда, когда для каждого если то Таким образом, если предел некоторой последовательности из меньше чем то предел также находится в ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,}$ ${\displaystyle \alpha \in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle C.}$

Если — предельный ординал и тогда неограничен в , если для любого существует такое , что ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \beta \in C}$ ${\displaystyle \alpha <\beta .}$

Если множество одновременно замкнуто и неограниченно, то оно является клубным множеством . Замкнутые собственные классы также представляют интерес (каждый собственный класс ординалов неограничен в классе всех ординалов).

Например, множество всех счетных предельных ординалов является клубным множеством относительно первого несчетного ординала ; но оно не является клубным множеством относительно любого более высокого предельного ординала, поскольку оно не является ни замкнутым, ни неограниченным. Если — несчетный начальный ординал , то множество всех предельных ординалов является замкнутым неограниченным в Фактически клубное множество — это не что иное, как область значений нормальной функции (т. е. возрастающей и непрерывной). ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa .}$

В более общем случае, если — непустое множество и — кардинал , то (множество подмножеств мощности ) является клубом , если каждое объединение подмножества содержится в , а каждое подмножество мощности меньше , содержится в некотором элементе (см. стационарное множество ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$

Закрытый неограниченный фильтр

Пусть будет предельным ординалом несчетной конфинальности Для некоторых , пусть будет последовательностью замкнутых неограниченных подмножеств Тогда также замкнуто неограниченно. Чтобы увидеть это, можно заметить, что пересечение замкнутых множеств всегда замкнуто, поэтому нам просто нужно показать, что это пересечение неограничено. Так что зафиксируем любой и для каждого n < ω выберем из каждого элемент , который возможен, поскольку каждый неограничен. Поскольку это набор из меньших ординалов, все меньшие их наименьшей верхней границы также должны быть меньше , поэтому мы можем назвать его Этот процесс порождает счетную последовательность Предел этой последовательности на самом деле должен быть также пределом последовательности , и поскольку каждый замкнут и несчетен, этот предел должен быть в каждом и, следовательно, этот предел является элементом пересечения, который находится выше , что показывает, что пересечение неограничено. QED. ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \lambda \,.}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$ ${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,}$ ${\displaystyle \kappa \,.}$ ${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$ ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}\,.}$ ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.}$ ${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,,}$ ${\displaystyle \beta _{0}\,,}$

Из этого следует, что если — регулярный кардинал , то — неглавный -полный собственный фильтр на множестве (то есть на частично упорядоченном множестве ). ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (\wp (\kappa ),\subseteq )}$

Если — правильный кардинал, то множества клубов также замкнуты относительно диагонального пересечения . ${\displaystyle \kappa \,}$

На самом деле, если является регулярным и является любым фильтром на замкнутом относительно диагонального пересечения, содержащем все наборы вида для , то он должен включать все наборы клубов. ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$

Смотрите также

• Clubsuit  — в теории множеств комбинаторный принцип, согласно которому для каждого стационарного 𝑆⊂ω₁ существует последовательность множеств 𝐴_𝛿 (𝛿∈𝑆) такая, что 𝐴_𝛿 является конфинальным подмножеством 𝛿 и каждое неограниченное подмножество ω₁ содержится в некотором 𝐴_𝛿Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Фильтр (математика)  — в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Стационарное множество  – Теоретико-множественная концепция

Ссылки

• Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
• Lévy, Azriel (1979) Basic Set Theory , Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Переиздано в 2002 г., Дувр. ISBN 0-486-42079-5 
• В данной статье использованы материалы Club on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .