Ядро (теория множеств)

Отношение эквивалентности, выражающее, что два элемента имеют одинаковое изображение под действием функции

В теории множеств ядро ​​функции ( или ядро ​​эквивалентности ^{[1] ) может} быть принято либо ${\displaystyle f}$

• отношение эквивалентности на области определения функции , которое примерно выражает идею «эквивалентности, насколько это может сказать функция» ^[2] или ${\displaystyle f}$
• соответствующий раздел домена.

Несвязанным понятием является понятие ядра непустого семейства множеств , которое по определению является пересечением всех его элементов: Это определение используется в теории фильтров для их классификации как свободных или главных . ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$

Определение

Ядро функции

Для формального определения пусть будет функцией между двумя множествами . Элементы эквивалентны , если и равны , то есть являются одним и тем же элементом Ядро есть отношение эквивалентности, определенное таким образом. [ ^2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$

Ядро семейства множеств

TheЯдро семейства множеств ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ — это^[3] Ядротакже иногда обозначается какЯдропустого множества,обычно остается неопределенным. Семейство называется $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \ker \varnothing ,}$фиксированный и, как говорят, имеетнепустое пересечение , если егоядро​​не пусто.^[3] Семья называетсясвободен , если он не фиксирован; то есть, если его ядром является пустое множество.^[3]

Коэффициенты

Как и любое отношение эквивалентности, ядро ​​может быть преобразовано в фактор-множество , а фактор-множество является разбиением: $${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

Это фактормножество называется кообразом функции и обозначается (или вариацией). Кообраз естественным образом изоморфен (в теоретико-множественном смысле биекции ) образу , в частности , класс эквивалентности в (который является элементом ) соответствует в (который является элементом ). ${\displaystyle X/=_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {coim} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} f;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {coim} f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {im} f}$

Как подмножество декартова произведения

Как и любое бинарное отношение , ядро ​​функции можно рассматривать как подмножество декартова произведения. В этом облике ядро ​​может быть обозначено (или его вариация) и может быть определено символически как ^[2] ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle \ker f}$ $${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

Изучение свойств этого подмножества может пролить свет на ${\displaystyle f.}$

Алгебраические структуры

Если и являются алгебраическими структурами некоторого фиксированного типа (например, группами , кольцами или векторными пространствами ), и если функция является гомоморфизмом , то является отношением конгруэнтности (то есть отношением эквивалентности , совместимым с алгебраической структурой), а кообраз является частным ^[2] Биекция между кообразом и образом является изоморфизмом в алгебраическом смысле; это наиболее общая форма первой теоремы об изоморфизме . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$

В топологии

Если — непрерывная функция между двумя топологическими пространствами , то топологические свойства могут пролить свет на пространства и Например, если — хаусдорфово пространство , то должно быть замкнутым множеством . И наоборот, если — хаусдорфово пространство и — замкнутое множество, то прообраз , если задана топология факторпространства , также должен быть хаусдорфовым пространством. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle f,}$

Пространство компактно тогда и только тогда, когда ядро ​​каждого семейства замкнутых подмножеств , обладающих свойством конечного пересечения (FIP), непусто; ^{[4] [5] иными словами, пространство компактно тогда и только тогда,} когда каждое семейство замкнутых подмножеств с FIP фиксировано.

Смотрите также

• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества

Ссылки

1. Мак Лейн, Сондерс ; Биркофф, Гарретт (1999), Алгебра, Chelsea Publishing Company , стр. 33, ISBN 0821816462.
2. Бергман, Клиффорд (2011), Универсальная алгебра: основы и избранные темы, Чистая и прикладная математика, т. 301, CRC Press , стр. 14–16, ISBN 9781439851296.
3. Dolecki & Mynard 2016, стр. 27–29, 33–35.
4. Манкрес, Джеймс (2004). Топология . Нью-Дели: Prentice-Hall of India. стр. 169. ISBN 978-81-203-2046-8.
5. Пространство компактно тогда и только тогда, когда любое семейство замкнутых множеств, имеющих fip, имеет непустое пересечение в PlanetMath .

Библиография

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Теория категорий . Oxford Logic Guides. Том 49 (2-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.