Мера Лебега

Понятие площади в любом измерении

В теории меры , разделе математики , мера Лебега , названная в честь французского математика Анри Лебега , является стандартным способом присвоения меры подмножествам евклидовых n -пространств более высокой размерности . Для меньших размерностей n = 1, 2 или 3 он совпадает со стандартной мерой длины , площади или объема . В общем, его еще называют n -мерным объемом , n -объемом , гиперобъемом или просто объемом . ^[1] Он используется в реальном анализе , в частности, для определения интегрирования Лебега . Множества, которым можно приписать меру Лебега, называются измеримыми по Лебегу ; мера измеримого по Лебегу множества A здесь обозначается через λ ( A ).

Анри Лебег описал эту меру в 1901 году, а годом позже за ним последовало описание интеграла Лебега . Оба были опубликованы в рамках его диссертации в 1902 году ^.

Определение

Для любого интервала , или , в множестве действительных чисел, обозначим его длину. Для любого подмножества внешняя мера Лебега ^[3] определяется как нижняя грань ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle I=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell (I)=b-a}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)}$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$

Приведенное выше определение можно обобщить на более высокие измерения следующим образом. ^[4] Для любого прямоугольного кубоида , являющегося произведением открытых интервалов, обозначим его объем. Для любого подмножества ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.}$

Некоторые множества удовлетворяют критерию Каратеодори , который требует, чтобы для каждого ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).}$

Множества , удовлетворяющие критерию Каратеодори , называются измеримыми по Лебегу, причем их мера Лебега определяется как внешняя мера Лебега: . Множество всех таких образует σ -алгебру . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)}$ ${\displaystyle E}$

Множество , не удовлетворяющее критерию Каратеодори, не является измеримым по Лебегу. ZFC доказывает, что неизмеримые множества существуют; Пример — наборы Виталия . ${\displaystyle E}$

Интуиция

Первая часть определения гласит, что подмножество действительных чисел сводится к своей внешней мере путем покрытия множествами открытых интервалов. Каждый из этих наборов интервалов в некотором смысле покрывает , поскольку объединение этих интервалов содержит . Общая длина любого набора покрывающих интервалов может переоценивать меру, поскольку является подмножеством объединения интервалов, и поэтому интервалы могут включать точки, которые не входят в . Внешняя мера Лебега возникает как величайшая нижняя граница (нижняя грань) длин среди всех возможных таких множеств. Интуитивно понятно, что это общая длина тех наборов интервалов, которые наиболее плотно подходят и не перекрываются. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Это характеризует внешнюю меру Лебега. Перейдет ли эта внешняя мера в собственно меру Лебега, зависит от дополнительного условия. Это условие проверяется путем взятия подмножеств действительных чисел с использованием в качестве инструмента разделения на два раздела: часть которого пересекается с и оставшаяся часть которого не находится в : заданная разность и . Эти разделы подлежат внешней мере. Если для всех возможных таких подмножеств действительных чисел разбиения разрезанной на имеют внешние меры, сумма которых является внешней мерой , то внешняя мера Лебега дает свою меру Лебега. Интуитивно это условие означает, что набор не должен обладать некоторыми любопытными свойствами, которые вызывают несоответствие в мере другого набора, когда он используется в качестве «маски» для «обрезания» этого набора, намекая на существование множеств, для которых внешний Лебег мера не дает меры Лебега. (Такие множества на самом деле не измеримы по Лебегу.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Примеры

• Любой замкнутый интервал [ a , b ] действительных чисел измерим по Лебегу, а его мерой Лебега является длина b − a . Открытый интервал ( a , b ) имеет одинаковую меру, поскольку разница между двумя множествами состоит только из конечных точек a и b , каждая из которых имеет нулевую меру .
• Любое декартово произведение интервалов [ a , b ] и [ c , d ] измеримо по Лебегу, а его мера Лебега равна ( b - a )( d - c ) , площади соответствующего прямоугольника .
• Более того, любое борелевское множество измеримо по Лебегу. Однако существуют измеримые по Лебегу множества, не являющиеся борелевскими. ^{[5] [6]}
• Любое счетное множество действительных чисел имеет меру Лебега 0. В частности, мера Лебега множества алгебраических чисел равна 0, даже если множество плотно в . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Множество Кантора и множество чисел Лиувилля являются примерами несчетных множеств , имеющих меру Лебега 0.
• Если аксиома определенности верна, то все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Однако детерминированность несовместима с аксиомой выбора .
• Множества Витали являются примерами множеств, которые не измеримы относительно меры Лебега. Их существование опирается на аксиому выбора .
• Кривые Осгуда — это простые плоские кривые с положительной мерой Лебега ^[7] (ее можно получить небольшой вариацией конструкции кривой Пеано ). Кривая дракона — еще один необычный пример.
• Любая прямая из , при имеет нулевую меру Лебега. В общем случае каждая собственная гиперплоскость имеет нулевую меру Лебега в своем объемлющем пространстве . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$
• Объем n -шара можно вычислить с помощью гамма - функции Эйлера.

Характеристики

Трансляционная инвариантность: мера Лебега и одинаковы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+t}$

Мера Лебега на R ⁿ обладает следующими свойствами:

1. Если A — декартово произведение интервалов I ₁ × I ₂ × ⋯ × I _n , то A измеримо по Лебегу и ${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.}$
2. Если A — дизъюнктное объединение счетного числа непересекающихся множеств, измеримых по Лебегу, то A само измеримо по Лебегу и λ ( A ) равно сумме (или бесконечной серии ) мер задействованных измеримых множеств.
3. Если A измеримо по Лебегу, то измеримо и его дополнение .
4. λ ( A ) ≥ 0 для любого измеримого по Лебегу множества A .
5. Если A и B измеримы по Лебегу и A — подмножество B , то λ ( A ) ⩽ λ ( B ). (Следствие 2.)
6. Счётные объединения и пересечения множеств, измеримых по Лебегу, измеримы по Лебегу. (Это не следствие 2 и 3, поскольку семейство множеств, замкнутое относительно дополнений и непересекающихся счетных объединений, не обязательно должно быть замкнутым относительно счетных объединений: .) ${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$
7. Если A — открытое или замкнутое подмножество R ⁿ (или даже борелевское множество , см. метрическое пространство ), то A измеримо по Лебегу.
8. Если А — измеримое по Лебегу множество, то оно «приближенно открыто» и «приближенно замкнуто» в смысле меры Лебега.
9. Измеримое по Лебегу множество можно «втиснуть» между содержащим его открытым множеством и содержащимся замкнутым множеством. Это свойство использовалось как альтернативное определение измеримости по Лебегу. Точнее, является измеримым по Лебегу тогда и только тогда, когда для каждого существуют открытое множество и замкнутое множество такие, что и . ^[8] ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\subset E\subset G}$ ${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$
10. Измеримое по Лебегу множество можно «втиснуть» между содержащимся в G _δ множеством и содержащимся в нем F σ . Т.е. если A измеримо по Лебегу, то существуют множество G δ G и F σ F такие, что G  ⊇  A  ⊇  F и λ ( G  \  A ) =  λ ( A  \  F ) = 0.
11. Мера Лебега одновременно локально конечна и внутренне регулярна , поэтому она является мерой Радона .
12. Мера Лебега строго положительна на непустых открытых множествах, поэтому ее носителем ^{является} все Rn .
13. Если A — измеримое по Лебегу множество с λ( A ) = 0 ( нулевое множество ), то каждое подмножество A также является нулевым множеством. Тем более , что каждое подмножество A измеримо.
14. Если A измеримо по Лебегу и x является элементом Rn , то сдвиг ^A на x , определенный формулой A + x  = { a + x : a ∈ A }, также измерим по Лебегу и имеет ту же меру, что и А. _
15. Если А измеримо по Лебегу и , то расширение по, определенное через , также измеримо по Лебегу и имеет меру ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$ ${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A).}$
16. В более общем смысле, если T — линейное преобразование и A — измеримое подмножество R ⁿ , то T ( A ) также измеримо по Лебегу и имеет меру . ${\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}$

Все вышесказанное можно кратко резюмировать следующим образом (хотя последние два утверждения нетривиально связаны со следующим):

Измеримые по Лебегу множества образуют σ -алгебру , содержащую все произведения интервалов, а λ — единственная полная трансляционно-инвариантная мера на этой σ-алгебре с ${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

Мера Лебега также обладает свойством быть σ -конечной .

Нулевые наборы

Подмножество Rn называется нулевым , если для любого ε > 0 ^оно может быть покрыто счетным числом произведений из n интервалов, общий объем которых не превосходит ε. Все счетные множества являются нулевыми множествами.

Если подмножество R ⁿ имеет размерность Хаусдорфа меньше n , то это нулевое множество относительно n -мерной меры Лебега. Здесь размерность Хаусдорфа относится к евклидовой метрике на R ⁿ (или любой эквивалентной ей липшицевой метрике). С другой стороны, множество может иметь топологическую размерность меньше n и иметь положительную n -мерную меру Лебега. Примером этого является множество Смита – Вольтерры – Кантора , которое имеет топологическую размерность 0, но имеет положительную одномерную меру Лебега.

Чтобы показать, что данное множество A измеримо по Лебегу, обычно пытаются найти «более хорошее» множество B , которое отличается от A только нулевым набором (в том смысле, что симметричная разность ( A − B ) ∪ ( B − A ) — нулевое множество), а затем покажите, что B можно сгенерировать с помощью счетных объединений и пересечений открытых или закрытых множеств.

Построение меры Лебега.

Современная конструкция меры Лебега представляет собой применение теоремы Каратеодори о продолжении . Это происходит следующим образом.

Зафиксируйте n ∈ N. _ Ящик в R ⁿ — это множество вида

${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,}$

где b _i ≥ a _i , а символ продукта здесь представляет декартово произведение. Объем этого ящика определяется как

${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.}$

Для любого подмножества A из Rn мы можем определить его ^{внешнюю} меру λ *( A ) следующим образом:

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.}$

Затем мы определяем множество A как измеримое по Лебегу, если для ^любого подмножества S из Rn

${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.}$

Эти измеримые по Лебегу множества образуют σ -алгебру , а мера Лебега определяется равенством λ ( A ) = λ *( A ) для любого измеримого по Лебегу множества A .

Существование множеств, не измеримых по Лебегу, является следствием теоретико-множественной аксиомы выбора , которая не зависит от многих обычных систем аксиом теории множеств . Теорема Витали , следующая из аксиомы, утверждает, что существуют подмножества R , которые не измеримы по Лебегу. Предполагая аксиому выбора, были продемонстрированы неизмеримые множества со многими удивительными свойствами, такими как парадокс Банаха-Тарского .

В 1970 году Роберт М. Соловей показал, что существование множеств, которые не измеримы по Лебегу, недоказуемо в рамках теории множеств Цермело – Френкеля в отсутствие аксиомы выбора (см. модель Соловея ). ^[9]

Связь с другими мерами

Мера Бореля согласуется с мерой Лебега на тех множествах, для которых она определена; однако множеств, измеримых по Лебегу, гораздо больше, чем множеств, измеримых по Борелю. Мера Бореля является трансляционно-инвариантной, но не полной .

Мера Хаара может быть определена на любой локально компактной группе и является обобщением меры Лебега ( Rn с ^{добавлением} — локально компактная группа).

Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега, которая полезна для измерения подмножеств R ⁿ меньших размерностей, чем n , таких как подмногообразия , например, поверхности или кривые в R ³ и фрактальные множества. Меру Хаусдорфа не следует путать с понятием размерности Хаусдорфа .

Можно показать, что не существует бесконечномерного аналога меры Лебега .

Смотрите также

• 4-томный
• Эдисон Фара
• Теорема плотности Лебега
• Мера Лебега множества чисел Лиувилля
• Неизмеримый набор
  • Виталий сет
• Мера Пеано – Жордана

Рекомендации

1. Термин «объем» также используется, более строго, как синоним трехмерного объема.
2. Лебег, Х. (1902). «Интеграль, Лонгёр, Эйр». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . 7 : 231–359. дои : 10.1007/BF02420592. S2CID  121256884.
3. Ройден, HL (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 56. ИСБН 0-02-404151-3.
4. "Лебег-Масс". 29 августа 2022 г. Проверено 9 марта 2023 г. - из Википедии.
5. Асаф Карагила. «Какие множества измеримы по Лебегу?». обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.
6. Асаф Карагила. «Существует ли на R сигма-алгебра строго между алгебрами Бореля и Лебега?». обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.
7. Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жорданская кривая положительной области». Труды Американского математического общества . Американское математическое общество. 4 (1): 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1986455.
8. Карозерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 293. ISBN 9780521497565.
9. Соловей, Роберт М. (1970). «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу». Анналы математики . Вторая серия. 92 (1): 1–56. дои : 10.2307/1970696. JSTOR  1970696.