Мера Хаара

Левоинвариантная (или правоинвариантная) мера на локально компактной топологической группе

В математическом анализе мера Хаара присваивает «инвариантный объем» подмножествам локально компактных топологических групп , тем самым определяя интеграл для функций на этих группах.

Эта мера была введена Альфредом Хааром в 1933 году, хотя ее частный случай для групп Ли был введен Адольфом Гурвицем в 1897 году под названием «инвариантный интеграл». ^{[1] [2]} Меры Хаара используются во многих областях анализа , теории чисел , теории групп , теории представлений , статистики , теории вероятностей и эргодической теории .

Предварительные сведения

Пусть – локально компактная топологическая группа Хаусдорфа . -алгебра , порожденная всеми открытыми подмножествами, называется алгеброй Бореля . Элемент борелевской алгебры называется борелевским множеством . Если является элементом и является подмножеством , то мы определяем левый и правый переводы с помощью g следующим образом: ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

• Левый перевод:
  $${\displaystyle gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.}$$
• Правильный перевод:
  $${\displaystyle Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.}$$

Слева и справа преобразуются наборы Бореля карты в множества Бореля.

Мера на борелевских подмножествах называется левотрансляционно-инвариантной, если для всех борелевских подмножеств и всех ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).}$

Мера на борелевских подмножествах называется правоинвариантной, если для всех борелевских подмножеств и всех ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle \mu (Sg)=\mu (S).}$

Теорема Хаара

С точностью до положительной мультипликативной константы существует единственная счетно-аддитивная нетривиальная мера на борелевских подмножествах, удовлетворяющая следующим свойствам: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$

• Мера инвариантна к левому сдвигу: для всех без исключения борелевских множеств . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$
• Мера конечна на каждом компакте: для всех компактов . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$ ${\displaystyle K\subseteq G}$
• Мера внешне регулярна на борелевских множествах : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S\subseteq G}$
  $${\displaystyle \mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.}$$
• Мера является внутренней регулярной на открытых множествах : ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U\subseteq G}$
  $${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.}$$

Такая мера на называется левой мерой Хаара. Как следствие приведенных выше свойств можно показать, что для каждого непустого открытого подмножества . В частности, если компактно, то оно конечно и положительно, поэтому мы можем однозначно указать левую меру Хаара, добавив условие нормировки . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (U)>0}$ ${\displaystyle U\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu (G)=1}$

По полной аналогии можно также доказать существование и единственность правой меры Хаара на . Эти две меры не обязательно должны совпадать. ${\displaystyle G}$

Некоторые авторы определяют меру Хаара на множествах Бэра , а не на множествах Бореля. Это делает ненужными условия регулярности, поскольку меры Бэра автоматически регулярны. Халмос ^[3] довольно запутанно использует термин «борелевское множество» для элементов -кольца, порожденных компактами, и определяет меры Хаара на этих множествах. ${\displaystyle \sigma }$

Левая мера Хаара удовлетворяет условию внутренней регулярности для всех -конечных борелевских множеств, но не может быть внутренне регулярной для всех борелевских множеств. Например, произведение единичной окружности (с ее обычной топологией) и вещественной прямой с дискретной топологией представляет собой локально компактную группу с топологией произведения , и мера Хаара на этой группе не является внутренней регулярной для замкнутого подмножества . (Компактные подмножества этого вертикального отрезка являются конечными множествами, а точки имеют меру , поэтому мера любого компактного подмножества этого вертикального отрезка равна . Но, используя внешнюю регулярность, можно показать, что отрезок имеет бесконечную меру.) ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1\}\times [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

Существование и единственность (с точностью до масштабирования) левой меры Хаара впервые в полной общности доказал Андре Вейль . ^[4] В доказательстве Вейля использовалась аксиома выбора , а Анри Картан представил доказательство, избегающее ее использования. ^[5] Доказательство Картана также устанавливает существование и единственность одновременно. Упрощенное и полное изложение аргумента Картана было дано Альфсеном в 1963 году. ^[6] Частный случай инвариантной меры для локально компактных групп со второй счетностью был показан Хааром в 1933 году. ^[1]

Примеры

• Если — дискретная группа , то компактные подмножества совпадают с конечными подмножествами, а (инвариантная слева и справа) мера Хаара на является считающей мерой . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• Мера Хаара на топологической группе , принимающая значение на интервале , равна ограничению меры Лебега на борелевские подмножества . Это можно обобщить на ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},+).}$
• Чтобы определить меру Хаара на группе окружностей , рассмотрим функцию from on, определенную формулой . Тогда можно определить ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f(t)=(\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),}$$
  где – мера Лебега на . Коэффициент выбран так, что . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$ ${\displaystyle \mu (\mathbb {T} )=1}$
• Если группа положительных действительных чисел при умножении, то мера Хаара задается формулой ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt}$$
  для любого борелевского подмножества положительных действительных чисел. Например, если принять за интервал , то находим . Теперь мы позволяем мультипликативной группе действовать на этом интервале путем умножения всех ее элементов на число , в результате чего получается интервал. Измеряя этот новый интервал, мы находим ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gS}$ ${\displaystyle [g\cdot a,g\cdot b].}$ ${\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).}$
• Если - группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения, то мера Хаара задается формулой ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt}$$
  для любого борелевского подмножества ненулевых действительных чисел. ${\displaystyle S}$
• Для полной линейной группы любая левая мера Хаара является правой мерой Хаара, и одна такая мера задается формулой ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX}$$
  где обозначает меру Лебега на множестве всех -матриц. Это следует из формулы замены переменных . ${\displaystyle dX}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Обобщая предыдущие три примера, если группа представлена ​​как открытое подмногообразие с гладкими групповыми операциями, то левая мера Хаара на задается как , где - групповой единичный элемент , - якобиан определитель левого умножения на at , и является мерой Лебега на . Это следует из формулы замены переменных . Правая мера Хаара задается таким же образом, за исключением того, что она является якобианом правого умножения на . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J_{(x\cdot )}(e_{1})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle d^{n}x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle J_{(\cdot x)}(e_{1})}$ ${\displaystyle x}$
• Для ортогональной группы ее мера Хаара может быть построена следующим образом (как распределение случайной величины). Первая выборка , то есть матрица, все записи которой являются выборками IID нормального распределения со средним нулевым значением и единицей дисперсии. Затем используйте процесс Грама – Шмидта на матрице; результирующая случайная величина принимает значения и распределяется в соответствии с вероятностной мерой Хаара в этой группе. ^[7] Поскольку специальная ортогональная группа является открытой подгруппой ограничения меры Хаара на дает меру Хаара на (в терминах случайных величин это означает придание определителю значения 1, событие с вероятностью 1/2). ${\displaystyle G=O(n)}$ ${\displaystyle A\sim N(0,1)^{n\times n}}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$
• Тот же метод, что и для, можно использовать для построения меры Хаара на унитарной группе . Для специальной унитарной группы (которая имеет меру 0 в ) ее мера Хаара может быть построена следующим образом. Сначала произведите выборку из меры Хаара (нормализованную к единице, так что это распределение вероятностей) на , и пусть , где может быть любой из углов, затем независимо отберите выборку из равномерного распределения на . Тогда распределяется как мера Хаара на . ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle G=SU(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle e^{i\theta }=\det A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{1,...,n\}}$ ${\displaystyle e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• Пусть – множество всех аффинных линейных преобразований вида при некоторой фиксированной с Сопоставьте с операцией композиции функции , которая превращается в неабелеву группу. можно отождествить с правой полуплоскостью, под которой групповая операция становится Левоинвариантная мера Хаара (соответственно, правоинвариантная мера Хаара ) на имеет вид ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\mapsto xr+y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x>0.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}}$ ${\displaystyle (s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).}$ ${\displaystyle \mu _{L}}$ ${\displaystyle \mu _{R}}$ ${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy}$$
      и    
  $${\displaystyle \mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy}$$
  для любого борелевского подмножества . Это связано с тем, что если это открытое подмножество, то для фиксированного интегрирование путем замены дает ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (s,t)\in G}$
  $${\displaystyle \mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)}$$
  в то время как для фиксированного, ${\displaystyle (u,v)\in G}$
  $${\displaystyle \mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).}$$
• На любой группе Ли размерности левая мера Хаара может быть сопоставлена ​​с любой ненулевой левоинвариантной -формой , как мера Лебега ; и аналогично для правых мер Хаара. Это также означает, что модульная функция может быть вычислена как абсолютное значение определителя присоединенного представления . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$
• Единичную гиперболу можно рассматривать как группу при умножении, определенном как с расщепленными комплексными числами. Обычная мера площади в полумесяце служит для определения гиперболического угла как площади его гиперболического сектора . Мера Хаара единичной гиперболы порождается гиперболическим углом отрезков гиперболы. Например, мера одной единицы определяется отрезком, идущим от (1,1) до (e,1/e), где e — число Эйлера . Гиперболический угол использовался в математической физике, где быстрота заменяла классическую скорость . ${\displaystyle \{(x,y):x^{2}-y^{2}=1,x>0\}}$ ${\displaystyle z=x+yj,\ \ j^{2}=+1.}$ ${\displaystyle C=\{(x,y):|y|<x,\ \ x^{2}-y^{2}<1\}}$
• Если — группа ненулевых кватернионов , то ее можно рассматривать как открытое подмножество . Мера Хаара определяется выражением ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mu }$
  $${\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw}$$
  где обозначает меру Лебега в и является борелевским подмножеством . ${\displaystyle dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$
• Если – аддитивная группа -адических чисел для простого числа , то мера Хаара задается, если иметь меру , где – кольцо -адических целых чисел. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a+p^{n}O}$ ${\displaystyle p^{-n}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle p}$

Построение меры Хаара

Конструкция с использованием компактных подмножеств

Следующий метод построения меры Хаара по сути является методом, использованным Хааром и Вейлем.

Для любых подмножеств с непустым определите наименьшее количество левых сдвигов этого покрытия (так что это неотрицательное целое число или бесконечность). Это не является аддитивным на компактных множествах , хотя оно обладает тем свойством, что для непересекающихся компактных множеств при условии, что это достаточно малая открытая окрестность единицы (в зависимости от и ). Идея меры Хаара состоит в том, чтобы взять своего рода предел as становится меньше, чтобы сделать его аддитивным для всех пар непересекающихся компактов, хотя сначала его необходимо нормализовать, чтобы предел не был просто бесконечностью. Итак, зафиксируем компакт с непустой внутренностью (который существует, поскольку группа локально компактна) и для компакта определим ${\displaystyle S,T\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [T:S]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K\subseteq G}$ ${\displaystyle [K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]}$ ${\displaystyle K,L\subseteq G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$

где предел берется для подходящего направленного набора открытых окрестностей единицы, в конечном итоге содержащихся в любой данной окрестности; существование направленного множества такого, что существует предел, следует из теоремы Тихонова .

Функция аддитивна на непересекающихся компактных подмножествах , из чего следует, что она является регулярным содержимым . Из регулярного содержания можно построить меру, сначала распространив ее на открытые множества по внутренней регулярности, затем на все множества по внешней регулярности, а затем ограничив ее борелевскими множествами. (Даже для открытых множеств соответствующая мера не обязательно должна задаваться формулой lim sup, приведенной выше. Проблема в том, что функция, заданная формулой lim sup, не является счетно субаддитивной в общем случае и, в частности, бесконечна на любом множестве без компактного замыкания, так что это не внешняя мера.) ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

Конструкция с использованием функций с компактным носителем

Картан представил другой способ построения меры Хаара как меры Радона (положительный линейный функционал на непрерывных функциях с компактным носителем), который аналогичен конструкции, приведенной выше, за исключением того, что , и являются положительными непрерывными функциями с компактным носителем, а не подмножествами . В этом случае мы определяем как нижнюю часть таких чисел, которые меньше линейной комбинации левых сдвигов для некоторых . Как и прежде, мы определяем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle c_{1}+\cdots +c_{n}}$ ${\displaystyle K(g)}$ ${\displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in G}$

${\displaystyle \mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}}$.

Тот факт, что предел существует, требует некоторых усилий, чтобы доказать, хотя преимущество этого подхода состоит в том, что доказательство позволяет избежать использования аксиомы выбора, а также дает уникальность меры Хаара в качестве побочного продукта. Функционал продолжается до положительного линейного функционала на непрерывных функциях с компактным носителем и, таким образом, дает меру Хаара. (Обратите внимание, что хотя предел линеен по , отдельные члены обычно не линейны по .) ${\displaystyle \mu _{A}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle [K:U]}$ ${\displaystyle K}$

Конструкция с использованием средних значений функций

Фон Нейман предложил метод построения меры Хаара с использованием средних значений функций, однако он работает только для компактных групп. Идея состоит в том, что для данной функции в компактной группе можно найти выпуклую комбинацию (где ) ее левых сдвигов, которая отличается от постоянной функции не более чем на некоторое небольшое число . Затем показывают, что при стремлении к нулю значения этих постоянных функций стремятся к пределу, который называется средним значением (или интегралом) функции . ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}$ ${\textstyle \sum a_{i}=1}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$

Для локально компактных, но некомпактных групп эта конструкция не дает меры Хаара, поскольку среднее значение функций с компактным носителем равно нулю. Однако нечто подобное действительно работает для почти периодических функций в группе, которые имеют среднее значение, хотя это не указано в отношении меры Хаара.

Конструкция на группах Ли.

На n -мерной группе Ли меру Хаара легко построить как меру, индуцированную левоинвариантной n -формой. Это было известно до появления теоремы Хаара.

Правильная мера Хаара

Можно также доказать, что существует единственная (с точностью до умножения на положительную константу) правоинвариантная борелевская мера, удовлетворяющая указанным выше условиям регулярности и конечная на компактах, но она не обязана совпадать с левотрансляционно-инвариантной борелевской мерой. мера . Левая и правая меры Хаара одинаковы только для так называемых унимодулярных групп (см. ниже). Однако довольно просто найти связь между и . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Действительно, для борелевского множества обозначим через множество обратных элементов из . Если мы определим ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

то это правая мера Хаара. Чтобы показать правую инвариантность, примените определение:

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

Поскольку правая мера уникальна, отсюда следует, что она кратна и, следовательно, ${\displaystyle \mu _{-1}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

для всех борелевских множеств , где – некоторая положительная константа. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

Модульная функция

Левый перевод правой меры Хаара является правой мерой Хаара. Точнее, если – правая мера Хаара, то для любого фиксированного выбора элемента группы g , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad }$

также является правым инвариантом. Таким образом, в силу единственности с точностью до постоянного масштабного коэффициента меры Хаара существует функция от группы до положительных вещественных чисел, называемая модулем Хаара , модулярной функцией или модулярным характером , такая, что для любого борелевского множества ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad }$

Поскольку правая мера Хаара четко определена с точностью до положительного масштабного коэффициента, это уравнение показывает, что модулярная функция не зависит от выбора правой меры Хаара в приведенном выше уравнении.

Модульная функция представляет собой непрерывный групповой гомоморфизм из G в мультипликативную группу положительных действительных чисел . Группа называется унимодулярной, если модулярная функция тождественна или, что то же самое, если мера Хаара инвариантна как слева, так и справа. Примерами унимодулярных групп являются абелевы группы , компактные группы , дискретные группы (например, конечные группы ), полупростые группы Ли и связные нильпотентные группы Ли . ^{[ нужна цитация ]} Примером неунимодулярной группы является группа аффинных преобразований. ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

на реальной линии. Этот пример показывает, что разрешимая группа Ли не обязательно должна быть унимодулярной. В этой группе левая мера Хаара определяется как , а правая мера Хаара – как . ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db}$ ${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}da\wedge db}$

Меры на однородных пространствах

Если локально компактная группа действует транзитивно на однородном пространстве , можно задаться вопросом, имеет ли это пространство инвариантную меру или, в более общем смысле, полуинвариантную меру со свойством, что для некоторого характера . Необходимым и достаточным условием существования такой меры является то, что ограничение равно , где и – модулярные функции от и соответственно. ^[8] В частности, инвариантная мера на существует тогда и только тогда, когда модулярная функция ограничения на является модулярной функцией . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \mu (gS)=\chi (g)\mu (S)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi |_{H}}$ ${\displaystyle \Delta |_{H}/\delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle H}$

Пример

Если – группа и – подгруппа верхнетреугольных матриц, то модулярная функция нетривиальна, а модулярная функция тривиальна. Их фактор не может быть расширен ни на один характер , поэтому факторпространство (которое можно рассматривать как одномерное реальное проективное пространство ) не имеет даже полуинвариантной меры. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/H}$

Интеграл Хаара

Используя общую теорию интегрирования Лебега , можно затем определить интеграл для всех измеримых по Борелю функций на . Этот интеграл называется интегралом Хаара и обозначается как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int f(x)\,d\mu (x)}$

где мера Хаара. ${\displaystyle \mu }$

Одним из свойств левой меры Хаара является то, что, если быть элементом , справедливо следующее: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)}$

для любой интегрируемой по Хаару функции на . Это непосредственно для индикаторных функций : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,}$

что по сути является определением левой инвариантности.

Использование

В том же выпуске Annals of Mathematics и сразу после статьи Хаара теорема Хаара была использована для решения пятой проблемы Гильберта, ограниченной Джоном фон Нейманом компактными группами . ^[9]

Если группа не является дискретной, то невозможно определить счетно-аддитивную левоинвариантную регулярную меру на всех подмножествах , предполагая аксиому выбора в соответствии с теорией неизмеримых множеств . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Абстрактный гармонический анализ

Меры Хаара используются в гармоническом анализе локально компактных групп, в частности в теории двойственности Понтрягина . ^{[10] [11] [12]} Чтобы доказать существование меры Хаара на локально компактной группе, достаточно указать левоинвариантную меру Радона на . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Математическая статистика

В математической статистике меры Хаара используются для априорных мер, которые представляют собой априорные вероятности для компактных групп преобразований. Эти предварительные меры используются для построения допустимых процедур путем обращения к характеристике допустимых процедур как байесовских процедур (или пределов байесовских процедур) Вальда . Например, правая мера Хаара для семейства распределений с параметром местоположения приводит к оценке Питмана , которая является лучшим эквивариантом . Когда левая и правая меры Хаара различаются, правая мера обычно предпочтительнее в качестве предварительного распределения. Для группы аффинных преобразований в пространстве параметров нормального распределения правой мерой Хаара является априорная мера Джеффриса. ^[13] К сожалению, даже правильные меры Хаара иногда приводят к бесполезным априорным значениям, которые нельзя рекомендовать для практического использования, как и другие методы построения априорных мер, избегающие субъективной информации. ^[14]

Другое использование меры Хаара в статистике — условный вывод , в котором выборочное распределение статистики обусловлено другой статистикой данных. В условном выводе теории инвариантов выборочное распределение обусловлено инвариантом группы преобразований (относительно которых определена мера Хаара). Результат обусловления иногда зависит от порядка использования инвариантов и от выбора максимального инварианта, так что сам по себе статистический принцип инвариантности не может выбрать какую-либо уникальную лучшую условную статистику (если таковая существует); по крайней мере, нужен другой принцип.

Для некомпактных групп статистики расширили результаты меры Хаара, используя аменабельные группы . ^[15]

Обратная теорема Вейля

В 1936 году Андре Вейль доказал (своего рода) обратную теорему Хаара, показав, что если группа имеет левоинвариантную меру с определенным разделяющим свойством, ^[3] , то можно определить топологию на группе и пополнение группа локально компактна, и данная мера по существу совпадает с мерой Хаара на этом пополнении.

Смотрите также

• Инвариантная мера
• Двойственность Понтрягина
• Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани

Примечания

1. Хаар, А. (1933), «Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen», Annals of Mathematics , 2, vol. 34, нет. 1, стр. 147–169, номер документа : 10.2307/1968346, JSTOR  1968346.
2. И. М. Джеймс, История топологии, стр. 186.
3. Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. п. 219-220. ISBN 978-1-4684-9442-6.
4. Вейль, Андре (1940), L'Intégration dans les groupes topologiques et ses application , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 869, Париж: Германн
5. Картан, Анри (1940), «Sur la mesure de Haar», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 211 : 759–762
6. Альфсен, Э.М. (1963), «Упрощенное конструктивное доказательство существования и единственности меры Хаара», Math. Скан. , 12 : 106–116
7. Диаконис, Перси (12 февраля 2003 г.). «Закономерности собственных значений: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса». Бюллетень Американского математического общества . 40 (2): 155–178. дои : 10.1090/s0273-0979-03-00975-3 . ISSN  0273-0979.
8. Бурбаки, Николя (2004), Интеграция II Гл. 7 § 6 Теорема 3 , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer
9. фон Нейман, Дж. (1933), «Die Einfuhrung Analytischer Параметр в топологических группах», Annals of Mathematics , 2, vol. 34, нет. 1, стр. 170–179, номер документа : 10.2307/1968347, JSTOR  1968347.
10. Банащик, Войцех (1991). Аддитивные подгруппы топологических векторных пространств . Конспект лекций по математике. Том. 1466. Берлин: Springer-Verlag. стр. VIII+178. ISBN 3-540-53917-4. МР  1119302.
11. Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 года (Харьков (Харьков), Украина). Биркхойзер Верлаг. 1988.
12. Чарльз Ф. Данкл и Дональд Э. Рамирес: Темы гармонического анализа . Эпплтон-Сентьюри-Крофтс. 1971. ISBN 039027819X.
13. Бергер, Джеймс О. (1985), «6 Инвариантность», Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ (второе изд.), Springer Verlag, стр. 388–432
14. Роберт, Кристиан П. (2001). Байесовский выбор - мотивация теории принятия решений (второе изд.). Спрингер. ISBN 0-387-94296-3.
15. Бондарь, Джеймс В.; Милнс, Пол (1981). «Аменабельность: обзор статистических применений Ханта-Стейна и связанных с ними условий для групп». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 57 : 103–128. дои : 10.1007/BF00533716 .

дальнейшее чтение

• Дистель, Джо; Спалсбери, Анджела (2014), Радости меры Хаара , Аспирантура по математике, том. 150, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-1-4704-0935-7, МР  3186070
• Лумис, Линн (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. ван Ностранд и компания, hdl : 2027/uc1.b4250788.
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963), Абстрактный гармонический анализ. Том. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 115, Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, MR  0156915
• Нахбин, Леопольдо (1965), Интеграл Хаара , Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд
• Андре Вейль , Основная теория чисел , Academic Press, 1971.

Внешние ссылки

• Существование и единственность интеграла Хаара на локально компактной топологической группе - Герт К. Педерсен
• О существовании и единственности инвариантных мер на локально компактных группах - Саймон Рубинштейн-Сальцедо