Радоновая мера

В математике (в частности, в теории меры ) мера Радона , названная в честь Иоганна Радона , — это мера на σ - алгебре борелевских множеств хаусдорфова топологического пространства X , конечная на всех компактных множествах, внешняя регулярная на всех борелевских множествах, и внутренний регуляр на открытых сетах. ^[1] Эти условия гарантируют, что мера «совместима» с топологией пространства, и большинство мер, используемых в математическом анализе и теории чисел, действительно являются мерами Радона.

Мотивация

Общей проблемой является поиск хорошего понятия меры в топологическом пространстве , которая в некотором смысле совместима с топологией. Один из способов сделать это — определить меру на борелевских множествах топологического пространства. В целом с этим есть несколько проблем: например, такая мера может не иметь четко определенной поддержки . Другой подход к теории меры состоит в том, чтобы ограничиться локально компактными хаусдорфовыми пространствами и рассматривать только те меры, которые соответствуют положительным линейным функционалам в пространстве непрерывных функций с компактным носителем (некоторые авторы используют это как определение меры Радона). Это дает хорошую теорию без патологических проблем, но она не применима к пространствам, которые не являются локально компактными. Если нет ограничения на неотрицательные меры и разрешены комплексные меры, то меры Радона можно определить как непрерывное двойственное пространство к пространству непрерывных функций с компактным носителем. Если такая мера Радона действительна, то ее можно разложить на разность двух положительных мер. Более того, произвольную меру Радона можно разложить на четыре положительные меры Радона, где действительная и мнимая части функционала представляют собой разности двух положительных мер Радона.

Теория мер Радона обладает большинством хороших свойств обычной теории локально компактных пространств, но применима ко всем топологическим пространствам Хаусдорфа. Идея определения меры Радона состоит в том, чтобы найти некоторые свойства, характеризующие меры на локально компактных пространствах, соответствующие положительным функционалам, и использовать эти свойства в качестве определения меры Радона на произвольном хаусдорфовом пространстве.

Определения

Пусть m — мера на σ -алгебре борелевских множеств хаусдорфова топологического пространства X .

• Мера m называется внутренней регулярной или узкой , если для любого открытого множества U m ( U ) является верхней границей m ( K ) над всеми компактными подмножествами K из U.
• Мера m называется внешней регулярной , если для любого борелевского множества B m ( B ) является нижней границей m ( U ) по всем открытым множествам U , содержащим B.
• Мера m называется локально конечной , если каждая точка X имеет окрестность U , для которой m ( U ) конечна.

Если m локально конечно, то отсюда следует, что m конечно на компактах, а для локально компактных хаусдорфовых пространств справедливо и обратное. Таким образом, в этом случае локальная конечность может быть эквивалентно заменена конечностью на компактных подмножествах.

Мера m называется мерой Радона , если она внутренне регулярна и локально конечна. Во многих ситуациях, например, в случае конечных мер на локально компактных пространствах, из этого также следует внешняя регулярность (см. также пространства Радона).

(Теорию мер Радона можно распространить на нехаусдорфовы пространства, по существу, всюду заменяя слово «компакт» на «замкнутый компакт». Однако, похоже, это расширение почти не имеет приложений.)

Меры Радона на локально компактных пространствах

Когда базовое пространство с мерой является локально компактным топологическим пространством, определение меры Радона может быть выражено через непрерывные линейные функционалы в пространстве непрерывных функций с компактным носителем . Это позволяет развивать измерение и интеграцию в терминах функционального анализа — подход, принятый Бурбаки и рядом других авторов. ^[2]

Меры

В дальнейшем X обозначает локально компактное топологическое пространство. Непрерывные вещественные функции с компактным носителем на X образуют векторное пространство K ( X ) = CC ( X ) _, которому можно задать естественную локально выпуклую топологию. Действительно, K ( X ) — объединение пространств K ( X , K ) непрерывных функций с носителем, содержащимся в компактах K. Каждое из пространств K ( X , K ) естественным образом несет в себе топологию равномерной сходимости , что превращает его в банахово пространство . Но поскольку объединение топологических пространств является частным случаем прямого предела топологических пространств, пространство K ( X ) может быть снабжено прямой предельной локально выпуклой топологией, индуцированной пространствами K ( X , K ) ; эта топология тоньше топологии равномерной сходимости.

Если m — мера Радона, то отображение ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle I:f\mapsto \int f(x)\,m(dx)}$$

— непрерывное положительное линейное отображение K ( X ) в R. Позитивность означает, что I ( f ) ≥ 0 , если f — неотрицательная функция. Непрерывность относительно прямой предельной топологии, определенной выше, эквивалентна следующему условию: для каждого компактного подмножества K в X существует константа M _K такая, что для любой непрерывной вещественнозначной функции f на X с носителем, содержащимся в K ,

$${\displaystyle |I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|.}$$

И наоборот, по теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани каждая положительная линейная форма на K ( X ) возникает в результате интегрирования по единственной регулярной борелевской мере.

Действительная мера Радона определяется как любая непрерывная линейная форма на K ( X ) ; это в точности различия двух мер Радона. Это дает отождествление вещественных мер Радона с пространством, двойственным локально выпуклому пространству K ( X ) . Эти реальные показатели радона не обязательно должны быть подписанными . Например, sin( x ) dx  является вещественной мерой Радона, но не является даже расширенной знаковой мерой, поскольку ее нельзя записать как разность двух мер, по крайней мере одна из которых конечна.

Некоторые авторы используют предыдущий подход для определения (положительных) мер Радона как положительных линейных форм на K ( X ) . ^[3] В этой системе принято использовать терминологию, в которой меры Радона в указанном выше смысле называются положительными мерами, а действительные меры Радона, как указано выше, называются (реальными) мерами.

Интеграция

Для завершения построения теории меры локально компактных пространств с функционально-аналитической точки зрения необходимо расширить меру (интеграл) от непрерывных функций с компактным носителем. Это можно сделать для действительных или комплекснозначных функций в несколько этапов следующим образом:

1. Определение верхнего интеграла µ *( g ) полунепрерывной снизу положительной (вещественнозначной) функции g как верхней границы (возможно, бесконечной) положительных чисел µ ( h ) для непрерывных функций с компактным носителем h ⩽ g ;
2. Определение верхнего интеграла µ *( f ) для произвольной положительной (действительнозначной) функции f как нижней нижней границы верхних интегралов µ *( g ) для полунепрерывных снизу функций g ≥ f ;
3. Определение векторного пространства F = F ( X , µ ) как пространства всех функций f на X , для которых верхний интеграл µ *(| f |) абсолютного значения конечен; верхний интеграл от абсолютного значения определяет полунорму на F , а F - полное пространство относительно топологии, определяемой полунормой;
4. Определение пространства L ¹ ( X , µ ) интегрируемых функций как замыкания внутри F пространства непрерывных функций с компактным носителем.
5. Определение интеграла для функций из L ¹ ( X , µ ) как расширение по непрерывности (после проверки того, что µ непрерывна относительно топологии L ¹ ( X , µ ) );
6. Определение меры множества как интеграла (если он существует) от индикаторной функции множества.

Можно убедиться, что эти шаги создают теорию, идентичную той, которая начинается с меры Радона, определяемой как функция, присваивающая номер каждому борелевскому множеству X .

В этой функционально-аналитической схеме меру Лебега на R можно ввести несколькими способами . Во-первых, можно полагаться на «элементарный» интеграл, такой как интеграл Даниэля или интеграл Римана для интегралов от непрерывных функций с компактным носителем, поскольку они интегрируемы для всех элементарных определений интегралов. Мера (в определенном выше смысле), определяемая элементарным интегрированием, является в точности мерой Лебега. Во-вторых, если кто-то хочет избежать использования интеграла Римана или Даниэля или других подобных теорий, можно сначала разработать общую теорию мер Хаара и определить меру Лебега как меру Хаара λ на R , которая удовлетворяет условию нормировки λ ([ 0, 1]) = 1 .

Примеры

Ниже приведены все примеры мер по радону:

• мера Лебега в евклидовом пространстве (ограниченная борелевскими подмножествами);
• мера Хаара на любой локально компактной топологической группе ;
• Мера Дирака на любом топологическом пространстве;
• Гауссова мера в евклидовом пространстве ℝ ⁿ с его сигма-алгеброй Бореля;
• Вероятностные меры на σ - алгебре борелевских множеств любого польского пространства . Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но включает в себя множество мер на нелокально компактных пространствах, таких как мера Винера в пространстве вещественнозначных непрерывных функций на интервале [0, 1] .
• Мера на ℝ является мерой Радона тогда и только тогда, когда она является локально конечной борелевской мерой .

Нижеследующее не является примером мер по борьбе с радоном:

• Подсчет меры в евклидовом пространстве является примером меры, которая не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной.
• Пространство ординалов , не более чем равных Ω , первый несчетный ординал с порядковой топологией является компактным топологическим пространством. Мера, равная 1 на любом борелевском множестве, содержащем несчетное замкнутое подмножество из [1, Ω) и 0 в противном случае, является борелевской, а не радоновской, поскольку одноточечное множество {Ω} имеет нулевую меру, но любая открытая его окрестность имеет меру 1 . ^[4]
• Пусть X — интервал [0, 1) , снабженный топологией, порожденной совокупностью полуоткрытых интервалов { [ a , b )  : 0 ≤ a < b ≤ 1} . Эту топологию иногда называют линией Соргенфрея . В этом топологическом пространстве стандартная мера Лебега не является радоновской, поскольку она не является внутренней регулярной, поскольку компакты не более чем счетны.
• Пусть Z — множество Бернштейна в [0, 1] (или любом польском пространстве). Тогда никакая мера, обращающаяся в нуль в точках на Z , не является мерой Радона, поскольку любой компакт в Z счетен.
• Стандартная мера произведения на (0, 1) ^κ для несчетного κ не является мерой Радона, поскольку любой компакт содержится в произведении бессчетного числа отрезков, каждый из которых короче 1.

Отметим, что интуитивно мера Радона полезна в математических финансах, особенно для работы с процессами Леви, поскольку она обладает свойствами мер Лебега и Дирака , поскольку в отличие от меры Лебега мера Радона в одной точке не обязательно имеет меру 0 . . ^[5]

Основные свойства

Умеренные радоновые меры

Учитывая меру Радона m в пространстве X , мы можем определить другую меру M (на борелевских множествах), полагая

$${\displaystyle M(B)=\inf\{m(V)\mid V{\text{ is an open set with }}B\subseteq V\subseteq X\}.}$$

Мера M является внешне регулярной, локально конечной и внутренней регулярной для открытых множеств. Она совпадает с m на компактных и открытых множествах, и m можно восстановить по M как единственную внутреннюю регулярную меру, такую ​​же, как M на компактах. Мера m называется умеренной , если M σ -конечная ; в этом случае меры m и M совпадают. (Если m является σ -конечным, это не означает, что M является σ -конечным, поэтому быть умеренным сильнее, чем быть σ -конечным.)

В наследственном пространстве Линделефа каждая мера Радона является модерируемой.

Пример меры m , которая является σ -конечной, но не модерируемой, следующим образом. ^[6] Топологическое пространство X имеет в качестве базового набора подмножество реальной плоскости, заданное осью y точек (0, y ) вместе с точками (1/ n , m / n ² ) с m , n положительными целыми числами . . Топология задается следующим образом. Все отдельные точки (1/ n , m / n2 ) являются ^{открытыми} множествами. База окрестностей точки (0, y ) задается клиньями, состоящими из всех точек из X вида ( u , v ) с | в - у | ≤ | ты | ≤ 1/ n для положительного целого числа n . Это пространство X локально компактно. Мера m задается, если ось y имеет меру ⁰ , а точка (1/ n , m / n2 ) имеет меру ¹ / n3 . Эта мера является внутренней регулярной и локально конечной, но не является внешней регулярной, поскольку любое открытое множество, содержащее ось y , имеет меру бесконечности. В частности, ось Y имеет m -меру 0 , но M -меру бесконечности.

Радоновые пространства

Топологическое пространство называется пространством Радона , если каждая конечная борелевская мера является мерой Радона, и сильно радоном, если каждая локально конечная борелевская мера является мерой Радона. Любое пространство Суслина сильно радоново, причем каждая мера Радона является модерируемой.

Двойственность

В локально компактном хаусдорфовом пространстве меры Радона соответствуют положительным линейным функционалам в пространстве непрерывных функций с компактным носителем. Это неудивительно, поскольку это свойство является основным мотивом для определения меры Радона.

Метрическая пространственная структура

Остроконечному конусу M ₊ ( X ) всех (положительных) мер Радона на X можно придать структуру полного метрического пространства , определив расстояние Радона между двумя мерами m ₁ , m ₂ ∈ M ₊ ( X ) как

$${\displaystyle \rho (m_{1},m_{2})=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)(m_{1}-m_{2})(dx)\ \right|\mathrm {continuous\,} f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.}$$

Этот показатель имеет некоторые ограничения. Например, пространство вероятностных мер Радона на X ,

$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\},}$$

секвенциально компактнойXметрика ВассерштейнаP ( X )

Сходимость в метрике Радона предполагает слабую сходимость мер :

$${\displaystyle \rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,}$$

сильной сходимостью

Смотрите также

• Радонизирующая функция
• Неясная топология

Рекомендации

1. Фолланд 1999, с. 212
2. Бурбаки 2004а
3. Бурбаки 2004b; Хьюитт и Стромберг, 1965; Дьедонне 1970.
4. Шварц 1974, с. 45
5. Конт, Рама и Питер Танков. Финансовое моделирование со скачкообразными процессами. Чепмен и Холл, 2004.
6. Бурбаки 2004a, Упражнение 5 раздела 1.

Библиография

• Бурбаки, Николя (2004a), Интеграция I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1. Функционально-аналитическое развитие теории меры Радона и интеграла на локально компактных пространствах.
• Бурбаки, Николя (2004b), Интеграция II , Springer Verlag , ISBN 3-540-20585-3. мера Хаара; Меры Радона на общих хаусдорфовых пространствах и эквивалентность определений в терминах линейных функционалов и локально конечных внутренних регулярных мер на борелевской сигма-алгебре.
• Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе , том. 2, Академическая пресса. Содержит упрощенную версию подхода Бурбаки, специализированную для мер, определенных в сепарабельных метризуемых пространствах.
• Фолланд, Джеральд (1999), Реальный анализ: современные методы и их применение , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 212, ISBN 0-471-31716-0
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag
• Кениг, Хайнц (1997), Измерение и интеграция: продвинутый курс основных процедур и приложений , Нью-Йорк: Springer, ISBN. 3-540-61858-9
• Шварц, Лоран (1974), Радоновские меры в произвольных топологических пространствах и цилиндрические меры , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Внешние ссылки

• Р. А. Минлос (2001) [1994], «Радоновая мера», Математическая энциклопедия , EMS Press