В математике локально компактная группа — это топологическая группа G , для которой базовая топология локально компактна и хаусдорфова . Локально компактные группы важны, поскольку многие примеры групп, которые возникают в математике, локально компактны, и такие группы имеют естественную меру, называемую мерой Хаара . Это позволяет определять интегралы измеримых по Борелю функций на G, так что стандартные аналитические понятия, такие как преобразование Фурье и пространства, могут быть обобщены.
Многие результаты теории представлений конечных групп доказываются усреднением по группе. Для компактных групп модификации этих доказательств дают аналогичные результаты усреднением относительно нормализованного интеграла Хаара . В общей локально компактной обстановке такие методы не обязательно должны выполняться. Полученная теория является центральной частью гармонического анализа . Теория представлений для локально компактных абелевых групп описывается двойственностью Понтрягина .
В силу однородности локальная компактность базового пространства для топологической группы должна проверяться только в единице. То есть группа G является локально компактным пространством тогда и только тогда, когда единичный элемент имеет компактную окрестность . Из этого следует, что в каждой точке существует локальная база компактных окрестностей.
Каждая замкнутая подгруппа локально компактной группы локально компактна. (Условие замкнутости необходимо, как показывает группа рациональных чисел.) И наоборот, каждая локально компактная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута. Каждый фактор локально компактной группы локально компактен. Произведение семейства локально компактных групп локально компактно тогда и только тогда, когда все, кроме конечного числа факторов, на самом деле компактны.
Топологические группы всегда вполне регулярны как топологические пространства. Локально компактные группы имеют более сильное свойство быть нормальными .
Каждая локально компактная группа, которая является первой счетной группой , метризуема как топологическая группа (т.е. может быть задана левоинвариантная метрика, совместимая с топологией) и полная . Если, кроме того, пространство является второй счетной группой , метрику можно выбрать правильной. (См. статью о топологических группах .)
В польской группе G σ-алгебра нулевых множеств Хаара удовлетворяет условию счетной цепи тогда и только тогда, когда G локально компактна. [1]
Для любой локально компактной абелевой (LCA) группы A группа непрерывных гомоморфизмов
из A в окружность группа снова локально компактна. Двойственность Понтрягина утверждает, что этот функтор индуцирует эквивалентность категорий
Этот функтор меняет несколько свойств топологических групп. Например, конечные группы соответствуют конечным группам, компактные группы соответствуют дискретным группам, а метризуемые группы соответствуют счетным объединениям компактных групп (и наоборот во всех утверждениях).
Группы LCA образуют точную категорию , в которой допустимые мономорфизмы являются замкнутыми подгруппами, а допустимые эпиморфизмы — топологическими фактор-картами. Поэтому можно рассмотреть спектр K-теории этой категории. Клаузен (2017) показал, что он измеряет разницу между алгебраической K-теорией Z и R , целыми и действительными числами соответственно, в том смысле, что существует гомотопическая последовательность волокон
