Неясная топология

В математике , особенно в области функционального анализа и топологических векторных пространств , расплывчатая топология является примером топологии слабого типа , которая возникает при изучении мер на локально компактных хаусдорфовых пространствах .

Пусть – локально компактное хаусдорфово пространство . Пусть – пространство комплексных мер Радона на и обозначает двойственное к банахову пространству комплексных непрерывных функций , обращающихся в нуль на бесконечности, снабженное равномерной нормой . По теореме Рисса о представлении изометрично Изометрия отображает меру в линейный функционал ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}}$ ${\displaystyle C_{0}(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle I_{\mu }(f):=\int _{X}f\,d\mu .}$

Нечеткая топология — это топология слабого* на. Соответствующая топология на, индуцированная изометрией из, также называется нечеткой топологией на. Таким образом, в частности, последовательность мер неопределенно сходится к мере всякий раз, когда для всех пробных функций ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}.}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}}$ ${\displaystyle M(X).}$ ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{0}(X),}$

${\displaystyle \int _{X}fd\mu _{n}\to \int _{X}fd\mu .}$

Также нередко нечеткую топологию определяют как двойственность с непрерывными функциями, имеющими компактный носитель, то есть последовательность мер неопределенно сходится к мере всякий раз, когда указанная выше сходимость справедлива для всех основных функций. Эта конструкция приводит к другой топологии. В частности, топология, определяемая двойственностью с, может быть метризуемой, тогда как топология, определяемая двойственностью с, — нет. ${\displaystyle C_{c}(X),}$ ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{c}(X).}$ ${\displaystyle C_{c}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

Одним из применений этого является теория вероятностей : например, центральная предельная теорема по сути представляет собой утверждение о том, что если являются вероятностными мерами для определенных сумм независимых случайных величин , то они слабо (а затем нечетко) сходятся к нормальному распределению , то есть эта мера «приблизительно нормальна» для больших ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Смотрите также

• Список топологий  - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Рекомендации

• Дьедонне, Жан (1970), «§13.4. Неопределенная топология», Трактат об анализе , том. II, Академическая пресса.
• ГБ Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их применение, 2-е изд., John Wiley & Sons, Inc., 1999.

Эта статья включает в себя материал из топологии Weak-* пространства мер Радона на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .