Действительная функция

Математическая функция, принимающая действительные значения

Масса , измеренная в граммах, является функцией от этого набора веса до положительных действительных чисел. Термин « функция веса », намек на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.

В математике вещественнозначная функция — это функция , значения которой являются вещественными числами . Другими словами, это функция, которая присваивает вещественное число каждому члену своей области определения .

Действительные функции действительной переменной (обычно называемые действительными функциями ) и действительные функции нескольких действительных переменных являются основным объектом изучения исчисления и, в более общем смысле, действительного анализа . В частности, многие функциональные пространства состоят из действительных функций.

Алгебраическая структура

Пусть — множество всех функций из множества X в действительные числа . Поскольку — поле , его можно превратить в векторное пространство и коммутативную алгебру над действительными числами с помощью следующих операций: ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$– векторное сложение
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$– аддитивная идентичность
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$– скалярное умножение
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$– поточечное умножение

Эти операции распространяются на частичные функции из X в с тем ограничением, что частичные функции f + g и f g определены только в том случае, если области определения f и g имеют непустое пересечение; в этом случае их областью определения является пересечение областей определения f и g . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Кроме того, поскольку — упорядоченное множество, то существует частичный порядок ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

на котором образуется частично упорядоченное кольцо . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$

Измеримый

σ -алгебра борелевских множеств является важной структурой на действительных числах. Если X имеет свою σ-алгебру и функция f такова, что прообраз f  ⁻¹ ( B ) любого борелевского множества B принадлежит этой σ-алгебре, то f называется измеримой . Измеримые функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше в § Алгебраическая структура.

Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на X может фактически определять σ-алгебру на X , порожденную всеми прообразами всех борелевских множеств (или только интервалов , это неважно). Именно так возникают σ-алгебры в ( колмогоровской ) теории вероятностей , где вещественнозначные функции на выборочном пространстве Ω являются вещественнозначными случайными величинами .

Непрерывный

Действительные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство . Непрерывные действительные функции (что подразумевает, что X является топологическим пространством) важны в теориях топологических пространств и метрических пространств . Теорема об экстремальном значении утверждает, что для любой действительной непрерывной функции на компактном пространстве существуют ее глобальный максимум и минимум .

Само понятие метрического пространства определяется с помощью действительной функции двух переменных, метрики , которая является непрерывной. Пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве имеет особое значение. Сходящиеся последовательности также можно рассматривать как действительно непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснено выше в § Алгебраическая структура, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет σ-алгебру, порожденную открытыми (или замкнутыми) множествами.

Гладкий

Вещественные числа используются в качестве области значений для определения гладких функций. Областью определения действительной гладкой функции может быть действительное координатное пространство (которое дает действительную многомерную функцию ), топологическое векторное пространство , ^[1] их открытое подмножество или гладкое многообразие .

Пространства гладких функций также являются векторными пространствами и алгебрами, как объяснено выше в § Алгебраическая структура, и являются подпространствами пространства непрерывных функций.

Появления в теории меры

Мера на множестве — это неотрицательный действительный функционал на σ-алгебре подмножеств. ^[2] Пространства L p на множествах с мерой определяются из вышеупомянутых действительных измеримых функций, хотя на самом деле они являются факторпространствами . Точнее, в то время как функция, удовлетворяющая подходящему условию суммируемости , определяет элемент пространства L ^p , в противоположном направлении для любых f ∈ L ^p ( X ) и x ∈ X , которые не являются атомом , значение f ( x ) не определено . Хотя действительные пространства L ^p все еще имеют часть структуры, описанной выше в § Алгебраическая структура. Каждое из пространств L ^p является векторным пространством и имеет частичный порядок, и существует поточечное умножение «функций», которое изменяет p , а именно

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

Например, поточечное произведение двух функций L ² принадлежит L ¹ .

Другие выступления

Другие контексты, в которых используются действительные функции и их специальные свойства, включают монотонные функции (на упорядоченных множествах ), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах ), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях ), аналитические функции (обычно от одной или нескольких действительных переменных), алгебраические функции (на действительных алгебраических многообразиях ) и многочлены (от одной или нескольких действительных переменных).

Смотрите также

• Реальный анализ
• Уравнения с частными производными , основной пользователь действительных функций
• Норма (математика)
• Скаляр (математика)

Сноски

1. В общем случае существуют различные определения производной , но для конечных размерностей они приводят к эквивалентным определениям классов гладких функций.
2. На самом деле мера может иметь значения в диапазоне [0, +∞] : см . расширенную прямую действительных чисел .

Ссылки

• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Эддисон–Уэсли. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Джеральд Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их применение, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Действительная функция». MathWorld .