Поточечно

В математике квалификатор поточечный используется для обозначения того, что определенное свойство определяется путем рассмотрения каждого значения некоторой функции . Важным классом поточечных понятий являются поточечные операции , то есть операции, определяемые над функциями путем применения операций к значениям функций отдельно для каждая точка области определения . Важные отношения также могут быть определены поточечно. ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f.}$

Поточечные операции

Формальное определение

Бинарную операцию $o : Y \times Y \to Y$ на множестве $Y$ можно поточечно поднять до операции $O : (X \to Y) \times (X \to Y) \to (X \to Y)$ на множестве $X \to Y$ всех функций из $X$ в $Y$ следующим образом: для данных двух функций $f 1 : X \to Y$ и $f 2 : X \to Y$ определите функцию $O (f 1, f 2): X \to Y$ следующим образом :

(О (ж 1, ж 2)) (Икс) знак равно о (ж 1 (Икс), ж 2 (Икс))

для всех

Икс \in Икс

Обычно o и O обозначаются одним и тем же символом. Аналогичное определение используется для унарных операций o и для операций другой арности . ^{[ нужна цитата ]}

Примеры

{\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)& {\text{(поточечное сложение)}}\\(f\cdot g)(x) &=f(x)\cdot g(x)&{\text{(точечное умножение)}}\\(\lambda \cdot f)(x)&=\lambda \cdot f(x)&{\text{ (поточечное умножение на скаляр)}}\end{aligned}}

{\ displaystyle f, g: X \ to R}

См. также точечное произведение и скаляр .

Примером операции над функциями, которая не является поточечной, является свертка .

Характеристики

Поточечные операции наследуют такие свойства, как ассоциативность , коммутативность и дистрибутивность, от соответствующих операций в кодомене . Если - некоторая алгебраическая структура , то совокупность всех функций несущего множества можно аналогичным образом превратить в алгебраическую структуру того же типа . $А$ $X$ $А$

Покомпонентные операции

Покомпонентные операции обычно определяются над векторами, где векторы являются элементами множества для некоторого натурального числа и некоторого поля . Если мы обозначим -ю компоненту любого вектора как , то покомпонентное сложение будет . $K^{n}$ $п$ $K$ $я$ $v$ $v_ {i}$ $(u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}$

Покомпонентные операции могут быть определены над матрицами. Сложение матриц, где операция покомпонентная, а умножение матриц — нет. $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$

Кортеж можно рассматривать как функцию, а вектор — как кортеж . Следовательно, любой вектор соответствует функции такой, что , и любая покомпонентная операция над векторами является поточечной операцией над функциями, соответствующими этим векторам. $v$ $f:n\to K$ $f(i)=v_{i}$

Поточечные отношения

В теории порядка принято определять поточечный частичный порядок функций. С A , B частично упорядоченными множествами множество функций A → B можно упорядочить по принципу f ≤ g тогда и только тогда, когда (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ). Поточечные порядки также наследуют некоторые свойства базовых частично упорядоченных наборов. Например, если A и B — непрерывные решетки , то непрерывными являются и множества функций A → B с поточечным порядком. ^[1] Используя поточечный порядок функций, можно кратко определить и другие важные понятия, например: ^[2]

Оператор замыкания c в частично упорядоченном множестве P — это монотонное и идемпотентное самоотображение на P (т. е. оператор проектирования ) с дополнительным свойством: id _A ≤ c , где id — тождественная функция .
Аналогично, оператор проектирования k называется оператором ядра тогда и только тогда, когда k ≤ id _A .