Риманово многообразие

Реальное гладкое многообразие, снабженное римановой метрикой.

В дифференциальной геометрии риманово многообразие или риманово пространство ( M , g ) , названное так в честь немецкого математика Бернхарда Римана , представляет собой вещественное гладкое многообразие M , снабженное положительно определенным скалярным произведением g _p на касательном пространстве T _p M в точке каждая точка п .

Семейство g _p скалярных произведений называется римановой метрикой (или римановым метрическим тензором) . Риманова геометрия — это изучение римановых многообразий.

Общее соглашение состоит в том, чтобы считать g гладкой , что означает, что для любой гладкой координатной карты ( U , x ) на M n 2 ^{функции}

${\displaystyle g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right):U\to \mathbb {R} }$

являются гладкими функциями , т. е. бесконечно дифференцируемы. Эти функции обычно обозначаются как . ${\displaystyle g_{ij}}$

При дальнейших ограничениях на , среди многих других возможностей можно также рассмотреть липшицевы римановы метрики или измеримые римановы метрики. ${\displaystyle g_{ij}}$

Риманова метрика ( тензор ) позволяет определить на римановом многообразии несколько геометрических понятий, таких как угол при пересечении, длина кривой , площадь поверхности и многомерные аналоги ( объем и т. д.), внешняя кривизна подмногообразия и внутреннюю кривизну самого многообразия.

Введение

В 1828 году Карл Фридрих Гаусс доказал свою теорему Egregium («замечательная теорема» на латыни), установив важное свойство поверхностей. Неформально теорема гласит, что кривизну поверхности можно полностью определить путем измерения расстояний по путям на поверхности. То есть кривизна не зависит от того, как поверхность может быть встроена в трехмерное пространство. См. Дифференциальная геометрия поверхностей . Бернхард Риман распространил теорию Гаусса на пространства более высокой размерности, называемые многообразиями, таким образом, что это позволяет также измерять расстояния и углы и определять понятие кривизны, опять же способом, который присущ многообразию и не зависит от его вложения в пространства более высокой размерности. Альберт Эйнштейн использовал теорию псевдоримановых многообразий (обобщение римановых многообразий) для разработки своей общей теории относительности . В частности, его уравнения гравитации ограничивают кривизну пространства-времени.

Определение

Касательное расслоение гладкого многообразия сопоставляет каждой точке векторного пространства, называемого касательным пространством точки . Риманова метрика (по ее определению) сопоставляет каждой положительно определенной скалярный продукт, вместе с которым приходит норма, определяемая Гладким многообразием, наделенным с этой метрикой является римановым многообразием , обозначаемым . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle |\cdot |_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |v|_{p}={\sqrt {g_{p}(v,v)}}.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (M,g)}$

Если задана система гладких локальных координат на заданных вещественными функциями, то векторы ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{p},\dotsc ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}{\Big |}_{p}\right\}}$

образуют базис векторного пространства для любого . Относительно этого базиса можно определить «компоненты» метрического тензора в каждой точке с помощью ${\displaystyle T_{p}M,}$ ${\displaystyle p\in U.}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle g_{ij}|_{p}:=g_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{p}\right).}$

Их можно было бы рассматривать как отдельные функции или как одну матрицу-функцию, учтя , что «риманово» предположение гласит, что она оценивается в подмножестве, состоящем из симметричных положительно определенных матриц. ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U;}$

В терминах тензорной алгебры метрический тензор можно записать в терминах двойственного базиса {d x ¹ , ..., d x ⁿ } кокасательного расслоения как

${\displaystyle g=\sum _{i,j}g_{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}.}$

Изометрии

Если и — два римановых многообразия с диффеоморфизмом , то оно называется изометрией , если т. е. если ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{\ast }h,}$

${\displaystyle g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))}$

для всех и ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle u,v\in T_{p}M.}$

Говорят, что отображение, которое не считается диффеоморфизмом, является локальной изометрией , если каждое имеет открытую окрестность, такую, что является изометрией (и, следовательно, диффеоморфизмом). ${\displaystyle f:M\to N,}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to f(U)}$

Регулярность римановой метрики

Говорят, что риманова метрика непрерывна , если она непрерывна при заданной любой гладкой координатной карте. Говорят, что риманова метрика является гладкой , если эти функции гладкие при заданной любой гладкой координатной карте. В этом же духе можно было бы рассматривать и многие другие типы римановых метрик. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (U,x).}$ ${\displaystyle g}$

В большинстве пояснительных изложений римановой геометрии метрики всегда считаются гладкими. Однако могут быть важные причины для рассмотрения менее гладких показателей. В частности , римановы метрики, полученные методами геометрического анализа , могут быть не совсем гладкими. См., например (Громов 1999) и (Ши и Там 2002).

Обзор

Примеры римановых многообразий будут обсуждаться ниже. Знаменитая теорема Джона Нэша утверждает, что для любого гладкого риманова многообразия существует (обычно большое) число и вложение такие, что обратный вызов стандартной римановой метрики равен Неформально, вся структура гладкого риманова многообразия может быть закодирована диффеоморфизмом к некоторому вложенному подмногообразию некоторого евклидова пространства. В этом смысле можно утверждать, что ничего нельзя получить от рассмотрения абстрактных гладких многообразий и их римановых метрик. Однако существует множество естественных гладких римановых многообразий, таких как набор вращений трехмерного пространства и гиперболическое пространство , любое представление которых в качестве подмногообразия евклидова пространства не сможет представить их замечательные симметрии и свойства так же ясно, как их абстрактные представления. презентации делают. ${\displaystyle (M,g),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F:M\to \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle g.}$

Примеры

Евклидово пространство

Обозначим стандартные координаты на . Затем определим через ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle g_{p}^{\mathrm {can} }:T_{p}\mathbb {R} ^{n}\times T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\longmapsto \sum _{i}a_{i}b_{i}.}$

Другими словами: относительно стандартных координат локальное представление задается постоянным значением. ${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{ij}.}$

Это, очевидно, риманова метрика, и она называется стандартной римановой структурой. Ее также называют евклидовым пространством размерности n , а g _ij ^может также называться (канонической) евклидовой метрикой . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Встроенные подмногообразия

Пусть — риманово многообразие, и пусть — вложенное подмногообразие , не менее которого. Тогда ограничение g на векторы , касательные вдоль N , определяет риманову метрику над N. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle C^{1}.}$

• Например, рассмотрим , что является гладким вложенным подмногообразием евклидова пространства со стандартной метрикой. Риманова метрика, которую это индуцирует, называется стандартной метрикой или канонической метрикой на ${\displaystyle S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n})^{2}=1.\},}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}.}$
• Подобных примеров много. Например, каждый эллипсоид в имеет естественную риманову метрику. График гладкой функции является вложенным подмногообразием и поэтому также имеет естественную риманову метрику. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

Погружения

Пусть – риманово многообразие и – дифференцируемое отображение. Тогда можно рассмотреть возврат через , который является симметричным 2-тензором на определяемом формулой ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle f:\Sigma \to M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle (f^{\ast }g)_{p}(v,w)=g_{f(p)}{\big (}df_{p}(v),df_{p}(w){\big )},}$

где находится продвижение вперед _ ${\displaystyle df_{p}(v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f.}$

В этом случае обычно не будет римановой метрики, поскольку она не является положительно определенной. Например, если константа, то равна нулю. Фактически, является римановой метрикой тогда и только тогда, когда является погружением , а это означает, что линейное отображение инъективно для каждого ${\displaystyle f^{\ast }g}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{\ast }g}$ ${\displaystyle f^{\ast }g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df_{p}:T_{p}\Sigma \to T_{f(p)}M}$ ${\displaystyle p\in \Sigma .}$

• Важный пример возникает, когда не является односвязным, так что существует накрывающее отображение. Это погружение, и поэтому универсальное накрытие любого риманова многообразия автоматически наследует риманову метрику. В более общем смысле, но по тому же принципу, любое накрывающее пространство риманова многообразия наследует риманову метрику. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}\to M.}$
• Кроме того, погруженное подмногообразие риманова многообразия наследует риманову метрику.

Метрики продукта

Пусть и - два римановых многообразия, и рассмотрим декартово произведение с обычной гладкой структурой произведения. Риманова метрика и, естественно, ставит риманову метрику , которую можно описать несколькими способами. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}}$ ${\displaystyle M\times N,}$

• Учитывая разложение, можно определить ${\displaystyle T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{p,q}(u\oplus x,v\oplus y)=g_{p}(u,v)+h_{q}(x,y).}$

• Пусть – гладкая координатная карта на и пусть – гладкая координатная карта на Тогда – гладкая координатная карта на Для удобства обозначим совокупность положительно определенных симметричных вещественных матриц. Обозначим координатное представление относительно относительно через и обозначим координатное представление относительно через Тогда локальное координатное представление относительно задается выражением ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (V,y)}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$ ${\displaystyle M\times N.}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} _{n\times n}^{+}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle g_{U}:U\to \operatorname {Sym} _{m\times m}^{+}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (V,y)}$ ${\displaystyle h_{V}:V\to \operatorname {Sym} _{n\times n}^{+}.}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}}$ ${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{U\times V}:U\times V\to \operatorname {Sym} _{(m+n)\times (m+n)}^{+}}$

${\displaystyle (p,q)\mapsto {\begin{pmatrix}g_{U}(p)&0\\0&h_{V}(q)\end{pmatrix}}.}$

Стандартным примером является рассмотрение определения n -тора как n -кратного произведения . Если дать каждую копию его стандартной римановой метрики, рассматривая как вложенное подмногообразие (как указано выше), то можно рассмотреть произведение римановой метрики на нем. Это называется плоский тор . ${\displaystyle T^{n},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \cdots \times S^{1}.}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle T^{n}.}$

Выпуклые комбинации метрик

Пусть и – две римановы метрики на Тогда для любого числа ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,1],}$

${\displaystyle {\tilde {g}}:=\lambda g_{0}+(1-\lambda )g_{1}}$

также является римановой метрикой. В более общем смысле, если и — любые два положительных числа, то это другая риманова метрика. ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ag_{0}+bg_{1}}$

Каждое гладкое многообразие имеет риманову метрику.

Это фундаментальный результат. Хотя большую часть базовой теории римановых метрик можно разработать, только используя тот факт, что гладкое многообразие локально евклидово, для этого результата необходимо включить в определение «гладкого многообразия», что оно хаусдорфово и паракомпактно. Причина в том, что доказательство использует разбиение единицы .

Доказательство

Пусть – дифференцируемое многообразие и локально конечный атлас , которые являются открытыми подмножествами и являются диффеоморфизмами. Такой атлас существует, поскольку многообразие паракомпактно. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in I}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\subseteq M}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \varphi _{\alpha }(U_{\alpha })\subseteq \mathbf {R} ^{n}}$

Пусть – дифференцируемое разбиение единицы, подчиненное данному атласу, т.е. такое, что для всех . ${\displaystyle \{\tau _{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} \,\tau _{\alpha }\subseteq U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in I}$

Затем определите метрику на ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle g:=\sum _{\beta \in I}\tau _{\beta }\cdot {\tilde {g}}_{\beta },\qquad {\text{with}}\qquad {\tilde {g}}_{\beta }:=\varphi _{\beta }^{*}g^{\mathrm {can} }\,\,{\text{on}}\,\,U_{\beta },}$

где – евклидова метрика на и – ее откат вдоль . ${\displaystyle g^{\mathrm {can} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }^{*}g^{\mathrm {can} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$

Легко заметить, что это показатель для . ${\displaystyle M}$

Структура метрического пространства непрерывных связных римановых многообразий

Длина кусочно-непрерывно-дифференцируемых кривых

Если дифференцируема, то каждому присваивается вектор в векторном пространстве , размер которого можно измерить нормой. Итак, определяет неотрицательную функцию на интервале . Длина определяется как интеграл этой функции; однако, как показано здесь, нет оснований ожидать, что эта функция будет интегрируемой. Обычно предполагается, что g непрерывна и непрерывно дифференцируема, так что интегрируемая функция неотрицательна и непрерывна, и, следовательно, длина ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$ ${\displaystyle t\in (a,b)}$ ${\displaystyle \gamma '(t)}$ ${\displaystyle T_{\gamma (t)}M,}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\gamma (t)}.}$ ${\displaystyle t\mapsto |\gamma '(t)|_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ,}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|_{\gamma (t)}\,dt,}$

четко определен. Это определение можно легко расширить, чтобы определить длину любой кусочно-непрерывной дифференцируемой кривой.

Во многих случаях, например, при определении тензора кривизны Римана , необходимо требовать, чтобы g имело больше регулярности, чем простая непрерывность; это будет обсуждаться в другом месте. На данный момент непрерывности g будет достаточно, чтобы использовать определенную выше длину, чтобы наделить M структурой метрического пространства при условии, что оно связно.

Метрическая пространственная структура

Точнее, определите ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

${\displaystyle d_{g}(p,q)=\inf\{L(\gamma ):\gamma {\text{ a piecewise continuously differentiable curve from }}p{\text{ to }}q\}.}$

Проверить корректность функции, ее свойство симметрии , свойство рефлексивности и неравенство треугольника в основном несложно , хотя есть некоторые незначительные технические сложности (например, проверка того, что любые две точки могут быть соединены кусочно-дифференцируемым путем). Более фундаментально понять, что гарантирует и, следовательно, удовлетворяет всем аксиомам метрики. ${\displaystyle d_{g},}$ ${\displaystyle d_{g}(p,q)=d_{g}(q,p),}$ ${\displaystyle d_{g}(p,p)=0,}$ ${\displaystyle d_{g}(p,q)+d_{g}(q,r)\geq d_{g}(p,r),}$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle d_{g}(p,q)>0,}$ ${\displaystyle d_{g}}$

Наблюдение, лежащее в основе приведенного выше доказательства, о сравнении длин, измеренных g , и евклидовых длин, измеренных в гладкой координатной карте, также подтверждает, что топология метрического пространства совпадает с исходной структурой топологического пространства ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle M.}$

Хотя длина кривой задается явной формулой, выписать функцию расстояния каким-либо явным способом, как правило, невозможно. Фактически, если компактно, то, даже когда g гладкая, всегда существуют точки, в которых недифференцируема, и может быть чрезвычайно сложно даже определить местоположение или природу этих точек, даже в таких, казалось бы, простых случаях, как, например, когда эллипсоид. ${\displaystyle d_{g}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (M,g)}$

Геодезика

Как и в предыдущем разделе, пусть – связное и непрерывное риманово многообразие; рассмотрим связанное метрическое пространство. Относительно этой структуры метрического пространства говорят, что путь является геодезической с единичной скоростью, если для каждого существует интервал , который содержит и такой, что ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (M,d_{g}).}$ ${\displaystyle c:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle t_{0}\in [a,b]}$ ${\displaystyle J\subset [a,b]}$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|\qquad \forall s,t\in J.}$

Неформально можно сказать, что требуется локально «растянуться» настолько, насколько это возможно, с учетом (неформально рассматриваемого) ограничения единичной скорости. Идея состоит в том, что если (кусочно) непрерывно дифференцируемо и для всех , то это автоматически получается путем применения неравенства треугольника к аппроксимации суммой Римана интеграла, определяющего длину. Итак, геодезическое условие с единичной скоростью, как указано выше, требует и должно быть как можно дальше друг от друга. Тот факт, что мы ищем только локально растягивающиеся кривые, отражен в первых двух примерах, приведенных ниже; глобальная форма может заставить даже самые безобидные геодезические выгнуться и пересечься. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle |c'(t)|_{c(t)}=1}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))\leq |s-t|}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle c(s)}$ ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle (M,g)}$

• Рассмотрим случай, который представляет собой круг со стандартной римановой метрикой, заданный методом Напомним, который измеряется длинами кривых вдоль , а не прямыми путями на плоскости. Этот пример также демонстрирует необходимость выделения подинтервала, поскольку кривая повторяется сама по себе особенно естественным образом. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle t\mapsto (\cos t,\sin t).}$ ${\displaystyle d_{g}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle c}$
• Аналогично, если это круглая сфера со стандартной римановой метрикой, то путь с единичной скоростью вдоль экваториальной окружности будет геодезической. Путь с единичной скоростью по остальным широтным кругам не будет геодезическим. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle S^{2}}$
• Рассмотрим случай со стандартной римановой метрикой. Тогда линия с единичной скоростью, например, является геодезической, а кривая из первого примера выше — нет. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\mapsto (2^{-1/2}t,2^{-1/2}t)}$ ${\displaystyle c}$

Обратите внимание, что геодезические с единичной скоростью, как они определены здесь, по необходимости непрерывны и фактически липшицевы , но они не обязательно дифференцируемы или кусочно-дифференцируемы.

Теорема Хопфа–Ринова

Как и выше, пусть – связное и непрерывное риманово многообразие. Теорема Хопфа -Ринова в этом случае говорит, что (Громов 1999) ${\displaystyle (M,g)}$

• если метрическое пространство полно (т.е. каждая последовательность Коши сходится), то ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle d_{g}}$
  • каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно. ${\displaystyle M}$
  • для любых действительных чисел a, b, a < b, существует геодезическая с единичной скоростью от до такая, что для всех ${\displaystyle p,q\in M}$ ${\displaystyle c:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|}$ ${\displaystyle s,t\in [a,b].}$

Суть доказательства состоит в том, что как только первая половина установлена, можно непосредственно применить теорему Арзела-Асколи в контексте компактного метрического пространства к последовательности кусочно-непрерывно дифференцируемых кривых единичной скорости от до , длина которых приближается к результирующий последующий предел и есть искомая геодезическая. ${\displaystyle {\overline {B_{2d_{g}(p,q)}(p)}},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d_{g}(p,q).}$

Важна предполагаемая полнота . Например, рассмотрим случай, когда проколотая плоскость со стандартной римановой метрикой берется и не существует геодезической с единичной скоростью, ведущей от одной к другой. ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle p=(1,0)}$ ${\displaystyle q=(-1,0).}$

Диаметр

Пусть – связное и непрерывное риманово многообразие. Как и в любом метрическом пространстве, можно определить диаметр ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (M,d_{g})}$

${\displaystyle \operatorname {diam} (M,d_{g})=\sup\{d_{g}(p,q):p,q\in M\}.}$

Теорема Хопфа–Ринова показывает, что если оно полно и имеет конечный диаметр, то оно компактно. И наоборот, если компактна, то функция имеет максимум, поскольку является непрерывной функцией в компактном метрическом пространстве. Это доказывает следующее утверждение: ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$

• Если полно, то оно компактно тогда и только тогда, когда оно имеет конечный диаметр. ${\displaystyle (M,d_{g})}$

Это не так без предположения полноты; в качестве контрпримера можно рассмотреть любое открытое ограниченное подмножество евклидова пространства со стандартной римановой метрикой.

Обратите внимание, что в более общем смысле и при том же однострочном доказательстве каждое компактное метрическое пространство имеет конечный диаметр. Однако следующее утверждение неверно : «Если метрическое пространство полно и имеет конечный диаметр, то оно компактно». В качестве примера полного и некомпактного метрического пространства конечного диаметра рассмотрим

${\displaystyle M={\Big \{}{\text{continuous functions }}f:[0,1]\to \mathbb {R} {\text{ with }}\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|\leq 1{\Big \}}}$

с единой метрикой

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$

Итак, хотя все члены в приведенном выше следствии теоремы Хопфа–Ринова включают только структуру метрического пространства, важно, чтобы метрика была индуцирована из римановой структуры. ${\displaystyle (M,g),}$

Римановы метрики

Геодезическая полнота

Риманово многообразие M является геодезически полным , если для всех p ∈ M экспоненциальное отображение exp _p определено для всех v ∈ T _p M , т.е. если любая геодезическая γ ( t ), начинающаяся с p , определена для всех значений параметра t ∈ Р . Теорема Хопфа-Ринова утверждает, что M геодезически полно тогда и только тогда, когда оно полно как метрическое пространство .

Если M полно, то M непродолжаемо в том смысле, что оно не изометрично открытому собственному подмногообразию любого другого риманова многообразия. Однако обратное неверно: существуют нерасширяемые многообразия, которые не являются полными.

Бесконечномерные многообразия

Приведенные выше утверждения и теоремы относятся к конечномерным многообразиям - многообразиям, чьи карты отображаются в открытые подмножества . Они могут быть в определенной степени расширены до бесконечномерных многообразий; то есть многообразия, смоделированные по образцу топологического векторного пространства ; например, многообразия Фреше , Банаха и Гильберта . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Определения

Римановы метрики определяются аналогично конечномерному случаю. Однако существует различие между двумя типами римановых метрик:

• Слабая риманова метрика на — это гладкая функция такая, что для любого ограничения является скалярным произведением на ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle g_{x}:T_{x}M\times T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{x}M.}$
• Сильная риманова метрика на является слабой римановой метрикой, такой, что индуцирует топологию на. Обратите внимание, что если оно не является гильбертовым многообразием, то не может быть сильной метрикой. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

Примеры

• Если — гильбертово пространство , то любое можно отождествить с Постановкой для всех получается сильная риманова метрика. ${\displaystyle (H,\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle )}$ ${\displaystyle x\in H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T_{x}H.}$ ${\displaystyle x,u,v\in H}$ ${\displaystyle g_{x}(u,v)=\langle u,v\rangle }$
• Пусть – компактное риманово многообразие и обозначим его группой диффеоморфизмов. Это гладкое многообразие ( см. здесь ) и фактически группа Ли . Его касательное расслоение в единице представляет собой набор гладких векторных полей на Пусть будет формой объема на Тогда можно определить слабую риманову метрику на Пусть Тогда для и определить Слабая риманова метрика на индуцирует исчезновение геодезического расстояния, см. Микора и Мамфорда ( 2005). ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M).}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Diff} (M),}$ ${\displaystyle u,v\in T_{f}\operatorname {Diff} (M).}$ ${\displaystyle x\in M,u(x)\in T_{f(x)}M}$ ${\displaystyle G_{f}(u,v)=\int _{M}g_{f(x)}(u(x),v(x))d\mu (x).}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$

Метрическая пространственная структура

Длина кривых определяется аналогично конечномерному случаю. Функция определяется таким же образом и называется геодезическим расстоянием . В конечномерном случае доказательство того, что эта функция является метрикой, использует существование предкомпактного открытого множества вокруг любой точки. В бесконечном случае открытые множества больше не являются предкомпактными, поэтому это утверждение может оказаться ошибочным. ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

• Если – сильная риманова метрика на , то разделяет точки (следовательно, является метрикой) и индуцирует исходную топологию. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{g}}$
• If — слабая, но не сильная риманова метрика, может не разделять точки или даже быть вырожденной. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{g}}$

Пример последнего см. Валентино и Даниэле (2019).

Теорема Хопфа–Ринова

В случае сильных римановых метрик часть конечномерной формулы Хопфа–Ринова все еще работает.

Теорема : Пусть – сильное риманово многообразие. Тогда из метрической полноты (в метрике ) следует геодезическая полнота (геодезические существуют во все времена). Доказательство можно найти в (Lang 1999, Глава VII, Раздел 6). Остальные утверждения конечномерного случая могут оказаться неверными. Пример можно найти здесь . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle d_{g}}$

Если — слабая риманова метрика, то никакое понятие полноты вообще не влечет другого. ${\displaystyle g}$

Смотрите также

• Риманова геометрия
• Многообразие Финслера
• Субриманово многообразие
• Псевдориманово многообразие
• Метрический тензор
• Эрмитово многообразие
• Космос (математика)
• Уравнение волновых карт

Рекомендации

• Ли, Джон М. (2018). Введение в римановы многообразия . Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-319-91754-2.
• ду Карму, Манфредо (1992). Риманова геометрия . Базель: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Громов, Миша (1999). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств (на основе оригинального французского издания 1981 года). Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. ISBN 0-8176-3898-9.
• Йост, Юрген (2008). Риманова геометрия и геометрический анализ (5-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77340-5.
• Ши, Югуан; Тэм, Луэн-Фай (2002). «Теорема о положительной массе и граничное поведение компактных многообразий с неотрицательной скалярной кривизной». Дж. Дифференциальная геометрия . 62 (1): 79–125. arXiv : math/0301047 . дои : 10.4310/jdg/1090425530. S2CID  13841883.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-0541-8.
• Маньяни, Валентино; Тиберио, Даниэле (2020). «Замечание об исчезающих геодезических расстояниях в бесконечных измерениях». Учеб. амер. Математика. Соц . 148 (1): 3653–3656. arXiv : 1910.06430 . дои : 10.1090/proc/14986. S2CID  204578276.
• Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (2005). «Исчезновение геодезического расстояния на пространствах подмногообразий и диффеоморфизмов». Документа Математика . 10 : 217–245. arXiv : math/0409303 . дои : 10.4171/дм/187. S2CID  69260.

Внешние ссылки

• Л. А. Сидоров (2001) [1994], «Риманова метрика», Математическая энциклопедия , EMS Press