Теорема Гаусса Egregium (лат. «Замечательная теорема») — основной результат дифференциальной геометрии , доказанный Карлом Фридрихом Гауссом в 1827 году и касающийся кривизны поверхностей. Теорема гласит, что гауссова кривизна может быть полностью определена путем измерения углов, расстояний и их скоростей на поверхности, без ссылки на конкретный способ, которым поверхность встроена в окружающее трехмерное евклидово пространство. Другими словами, гауссова кривизна поверхности не изменится, если поверхность сгибать, не растягивая ее. Таким образом, гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности.
Гаусс представил теорему следующим образом (в переводе с латыни):
Теорема «замечательна», поскольку исходное определение гауссовой кривизны напрямую использует положение поверхности в пространстве. Поэтому весьма удивительно, что результат не зависит от его заделки, несмотря на все претерпеваемые деформации изгиба и скручивания.
В современной математической терминологии эту теорему можно сформулировать следующим образом:
Гауссова кривизна поверхности инвариантна относительно локальной изометрии .
Сфера радиуса R имеет постоянную гауссову кривизну , равную 1/ R 2 . В то же время плоскость имеет нулевую гауссову кривизну. Как следствие Теоремы Эгрегиум, лист бумаги нельзя согнуть в сферу, не смяв. И наоборот, поверхность сферы нельзя развернуть на плоскую плоскость без искажения расстояний. Если кто-то наступит на пустую яичную скорлупу, ее краям придется расколоться при расширении, прежде чем они станут плоскими. Математически сфера и плоскость не изометричны , даже локально. Этот факт важен для картографии : из него следует, что ни одна плоская (плоская) карта Земли не может быть идеальной, даже для части земной поверхности. Таким образом, каждая картографическая проекция обязательно искажает хотя бы некоторые расстояния. [1]
Катеноид и геликоид — две совершенно разные поверхности. Тем не менее, каждый из них может непрерывно изгибаться в другой: они локально изометричны. Из теоремы Эгрегиума следует, что при этом изгибании гауссова кривизна в любых двух соответствующих точках катеноида и геликоида всегда одинакова. Таким образом, изометрия — это просто изгиб и скручивание поверхности без внутреннего смятия или разрыва, другими словами, без дополнительного напряжения, сжатия или сдвига.
Применение теоремы наблюдается, когда плоский предмет несколько сгибают или изгибают по линии, создавая жесткость в перпендикулярном направлении. Это имеет практическое применение в строительстве, а также в обычной стратегии поедания пиццы : плоский кусок пиццы можно рассматривать как поверхность с постоянной гауссовой кривизной 0. Осторожно сгибая кусок, необходимо примерно сохранять эту кривизну (предполагая, что изгиб это примерно локальная изометрия). Если срезать срез горизонтально вдоль радиуса, вдоль изгиба создаются ненулевые главные кривизны , что означает, что другая главная кривизна в этих точках должна быть равна нулю. Это создает жесткость в направлении, перпендикулярном сгибу, что желательно для употребления в пищу пиццы, поскольку она сохраняет свою форму достаточно долго, чтобы ее можно было съесть без беспорядка. Тот же самый принцип используется для укрепления гофрированных материалов, наиболее известных гофрированного картона и гофрированного оцинкованного железа [2] , а также некоторых видов картофельных чипсов .