Гиперболическое пространство

В математике гиперболическое пространство размерности n — это уникальное односвязное n-мерное риманово многообразие постоянной секционной кривизны , равной -1. Оно однородно и удовлетворяет более сильному свойству симметричности пространства . Есть много способов построить его как открытое подмножество с явно написанной римановой метрикой; такие конструкции называются моделями. Гиперболическое 2-пространство H ² , которое было изучено первым, также называется гиперболической плоскостью . $\mathbb {R} ^{n}$

Его также иногда называют пространством Лобачевского или пространством Бояи-Лобачевского по имени автора, впервые опубликовавшего публикацию на тему гиперболической геометрии . Иногда добавляется квалификационное слово «реальный», чтобы отличить его от комплексных гиперболических пространств , кватернионных гиперболических пространств и октононных гиперболических плоскостей, которые являются другими симметричными пространствами отрицательной кривизны.

Гиперболическое пространство служит прототипом гиперболического пространства Громова , которое представляет собой далеко идущую идею, включающую дифференциально-геометрические, а также более комбинаторные пространства посредством синтетического подхода к отрицательной кривизне. Другим обобщением является понятие пространства CAT(-1) .

Формальное определение и модели

Определение

-мерное гиперболическое пространство или гиперболическое -пространство , обычно обозначаемое , является единственным односвязным, -мерным полным римановым многообразием с постоянной отрицательной секционной кривизной, равной -1. Единственность означает, что любые два римановых многообразия, удовлетворяющие этим свойствам, изометричны друг другу. Это следствие теоремы Киллинга–Хопфа . $п$ $п$ $\mathbb {H} ^{n}$ $п$

Модели гиперболического пространства

Чтобы доказать существование такого пространства, как описано выше, его можно явно построить, например, как открытое подмножество с римановой метрикой, заданной простой формулой. Существует множество таких конструкций или моделей гиперболического пространства, каждая из которых подходит для разных аспектов его изучения. Они изометричны друг другу согласно предыдущему абзацу, и в каждом случае может быть явно задана явная изометрия. Вот список наиболее известных моделей, которые более подробно описаны в одноименных статьях: $\mathbb {R} ^{n}$

Модель полуплоскости Пуанкаре : это верхнее полупространство с метрикой $\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}$ ${\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}$
Модель диска Пуанкаре : это единичный шар с метрикой . Изометрия модели полупространства может быть реализована с помощью гомографии , отправляющей точку единичной сферы в бесконечность. $\mathbb {R} ^{n}$ $4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1- (x_{1}^{2}+\cdots +x_{n} ^{2}))^{2}}}$
Гиперболоидная модель : в отличие от двух предыдущих моделей, она реализует гиперболическое пространство как изометрически встроенное в -мерное пространство Минковского (которое является не римановым, а лоренцевым многообразием ). Точнее, глядя на квадратичную форму на , ее ограничение на касательные пространства верхнего листа гиперболоида, заданного выражением, определенно положительно, следовательно, они наделяют ее римановой метрикой, которая оказывается постоянной кривизны -1. Изометрия предыдущих моделей может быть реализована путем стереографической проекции гиперболоида на плоскость , взяв вершину, из которой нужно проецировать, для шара и точку на бесконечности в конусе внутри проективного пространства для полупространства. $п$ $(n+1)$ $q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $q(x)=-1$ $\{x_{n+1}=0\}$ $(0,\ldots,0,1)$ $q(x)=0$
Модель Бельтрами-Клейна : это еще одна модель, реализованная на единичном шаре ; вместо того, чтобы задаваться как явная метрика, ее обычно представляют как полученную с помощью стереографической проекции модели гиперболоида в пространстве Минковского на ее горизонтальную касательную плоскость (то есть ) от начала координат . $\mathbb {R} ^{n}$ $x_{n+1}=1$ $(0,\ldots,0)$
Симметричное пространство: Гиперболическое пространство может быть реализовано как симметрическое пространство простой группы Ли (группы изометрий квадратичной формы с положительным определителем); как множество последнее является смежным пространством . Изометрия модели гиперболоида происходит непосредственно за счет действия связной компоненты на гиперболоид. $п$ $\mathrm {SO} (n,1)$ $q$ $\mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)$ $\mathrm {SO} (n,1)$

Геометрические свойства

Параллельные линии

Гиперболическое пространство, разработанное независимо Николаем Лобачевским , Яношем Бойяи и Карлом Фридрихом Гауссом , представляет собой геометрическое пространство, аналогичное евклидову пространству , но такое, что постулат о параллельности Евклида больше не считается верным. Вместо этого постулат параллельности заменяется следующей альтернативой (в двух измерениях):

Для любой прямой L и точки P , не лежащей на L , через P проходят как минимум две различные прямые , которые не пересекают L.

Тогда теорема состоит в том, что таких прямых, проходящих через P , бесконечно много . Эта аксиома еще не характеризует однозначно гиперболическую плоскость с точностью до изометрии ; существует дополнительная константа, кривизна K < 0 , которую необходимо указать. Однако оно однозначно характеризует его с точностью до гомотети , то есть с точностью до биекций, которые меняют понятие расстояния только на общую константу. Таким образом, выбрав подходящий масштаб длины, можно без ограничения общности предположить, что K = −1 .

Евклидовы вложения

Гиперболическая плоскость не может быть изометрически вложена в евклидово 3-пространство по теореме Гильберта . С другой стороны, из теоремы вложения Нэша следует, что гиперболическое n-пространство может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство большей размерности (5 для гиперболической плоскости по теореме вложения Нэша).

При изометрическом вложении в евклидово пространство каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой .

Рост объема и изопериметрическое неравенство

Объем шаров в гиперболическом пространстве увеличивается экспоненциально по отношению к радиусу шара, а не полиномиально, как в евклидовом пространстве. А именно, если есть какой-либо шар радиуса, то : ${\ displaystyle B (r)}$ $г$ $\mathbb {H} ^{n}$

\mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t) дт

-сферы

S^{n-1}

(n-1)

Гиперболическое пространство также удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству , то есть существует такая константа, что любой вложенный диск, граница которого имеет длину, имеет площадь не более . Это следует противопоставить евклидову пространству, где изопериметрическое неравенство является квадратичным. $я$ $г$ $я\cdot r$

Другие свойства метрики

Есть еще много метрических свойств гиперболического пространства, которые отличают его от евклидова пространства. Некоторые из них можно обобщить на гиперболические пространства Громова, которые являются обобщением понятия отрицательной кривизны на общие метрические пространства, используя только крупномасштабные свойства. Более тонкое понятие — это CAT(-1)-пространство.

Гиперболические многообразия

Каждое полное связное односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны −1 изометрично вещественному гиперболическому пространству H ⁿ . В результате универсальное накрытие любого замкнутого многообразия M постоянной отрицательной кривизны −1, т. е. гиперболического многообразия , есть H ⁿ . Таким образом , каждое такое M можно записать как H ⁿ /Γ, где Γ — дискретная группа изометрий без кручения на H ⁿ . То есть Γ является решеткой в SO + ( n ,1) .

Римановы поверхности

Двумерные гиперболические поверхности также можно понимать на языке римановых поверхностей . Согласно теореме об униформизации , каждая риманова поверхность является эллиптической, параболической или гиперболической. Большинство гиперболических поверхностей имеют нетривиальную фундаментальную группу π ₁ =Γ; группы, возникающие таким образом, известны как фуксовы группы . Факторпространство H² / Γ верхней полуплоскости по модулю фундаментальной группы известно как фуксова модель гиперболической поверхности. Полуплоскость Пуанкаре также гиперболична, но односвязна и некомпактна . Это универсальное покрытие других гиперболических поверхностей.

Аналогичной конструкцией для трехмерных гиперболических поверхностей является модель Клейна .