Кубические соты или кубическая ячеистость — единственная правильная регулярная заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве, состоящая из кубических ячеек. Она имеет 4 куба вокруг каждого ребра и 8 кубов вокруг каждой вершины. Ее вершинная фигура — правильный октаэдр . Это самодвойственная мозаика с символом Шлефли {4,3,4}. Джон Хортон Конвей назвал эти соты кубиллой .
Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными или более многомерными ячейками , так что нет никаких пробелов. Это пример более общей математической мозаики или тесселяции в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу , чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.
Он является частью многомерного семейства гиперкубических сот с символами Шлефли вида {4,3,...,3,4}, начиная с квадратной мозаики {4,4} на плоскости.
Это одна из 28 однородных сот, использующих выпуклые однородные многогранные ячейки.
Простые кубические решетки могут быть искажены до более низких симметрий, представленных низшими кристаллическими системами:
Существует большое количество однородных окрасок , полученных из различных симметрий. Они включают:
Кубические соты можно ортогонально спроектировать на евклидову плоскость с различными расположениями симметрии. Самая высокая (шестиугольная) форма симметрии проецируется в треугольную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует квадратную мозаику .
Он связан с правильным 4-многогранным тессерактом , символом Шлефли {4,3,3}, который существует в 4-пространстве и имеет только 3 куба вокруг каждого ребра. Он также связан с кубическими сотами порядка 5 , символом Шлефли {4,3,5}, гиперболического пространства с 5 кубами вокруг каждого ребра.
Он представляет собой последовательность полихор и сот с октаэдрическими вершинными фигурами .
Он представляет собой последовательность правильных многогранников и сот с кубическими ячейками .
Кубические соты имеют более низкую симметрию, как и струйчатые кубические соты, с двумя размерами кубов . Конструкция с двойной симметрией может быть построена путем помещения маленького куба в каждый большой куб, в результате чего получится неоднородная сота с кубами , квадратными призмами и прямоугольными трапециевидными призмами (куб с симметрией D 2d ). Его вершинная фигура — треугольная пирамида с боковыми гранями, дополненными тетраэдрами.
Полученные соты можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с правильными тетраэдрами , двумя видами тетрагональных дисфеноидов, треугольными пирамидами и клиновидными телами. Их вершинная фигура имеет симметрию C 3v и имеет 26 треугольных граней, 39 ребер и 15 вершин.
[4,3,4],
, Группа Коксетера генерирует 15 перестановок однородных мозаик, 9 с различной геометрией, включая чередующиеся кубические соты. Расширенные кубические соты (также известные как рунцинированные кубические соты) геометрически идентичны кубическим сотам.
[4,3 1,1 ],
Группа Коксетера генерирует 9 перестановок однородных мозаик, 4 из которых имеют различную геометрию, включая чередующиеся кубические соты.
Эти соты являются одними из пяти различных однородных сот [2], построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Коксетера–Дынкина :
Выпрямленные кубические соты или выпрямленная кубическая ячеистость — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из октаэдров и кубооктаэдров в соотношении 1:1, с вершинной фигурой в виде квадратной призмы .
Джон Хортон Конвей называет эту сотовую структуру кубооктаэдриллом , а ее двойник — сплющенным октаэдриллом .
Выпрямленные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Существует четыре однородных варианта окраски ячеек этой сотовой структуры с отражательной симметрией, перечисленных по группам Коксетера и названию конструкции Вайтхоффа , а также диаграмма Коксетера ниже.
Эти соты можно разделить на тригексагональные мозаичные плоскости, используя шестиугольные центры кубооктаэдров, создавая два треугольных купола . Эти чешуйчатые соты представлены диаграммой Коксетера
, и символ s 3 {2,6,3}, с симметрией обозначения Кокстера [2 + ,6,3].
.Двойную симметричную конструкцию можно создать, поместив октаэдры на кубооктаэдры, что приведет к неоднородным сотам с двумя типами октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы). Вершинная фигура — квадратный бифрустум . Дуал состоит из удлиненных квадратных бипирамид .
Усеченные кубические соты или усеченная кубическая ячеистость — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из усеченных кубов и октаэдров в соотношении 1:1, с вершиной в виде равнобедренной квадратной пирамиды .
Джон Хортон Конвей называет эти соты усеченным кубиллом , а их двойную пирамидиллу .
Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными схемами симметрии.
Существует вторая равномерная окраска, обусловленная отражательной симметрией групп Коксетера , вторая наблюдается при использовании попеременно окрашенных усеченных кубических ячеек.
Двойную симметричную конструкцию можно построить, поместив октаэдры на усеченные кубы, что приведет к неоднородным сотам с двумя видами октаэдров (правильные октаэдры и треугольные антипризмы) и двумя видами тетраэдров (тетрагональные двуклиноиды и двуугольные двуклиноиды). Вершинная фигура — октаэдры квадратного купола.
Битусечённые кубические соты — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве, состоящая из усечённых октаэдров (или, что эквивалентно, битусечённых кубов). Она имеет четыре усечённых октаэдра вокруг каждой вершины в тетрагональной двуклиновидной вершинной фигуре . Будучи полностью состоящей из усечённых октаэдров , она является ячейково-транзитивной . Она также является рёберно-транзитивной , с 2 шестиугольниками и одним квадратом на каждом ребре, и вершинно-транзитивной . Это одна из 28 однородных сот .
Джон Хортон Конвей называет эту сотовую ячейку усеченным октаэдриллом в своем списке Architectonic and catoptric tessellation , а ее двойственный элемент называется сплющенным тетраэдриллом , также называемым двуклиновидной тетраэдрической сотовой ячейкой . Хотя правильный тетраэдр не может сам по себе замостить пространство, этот двойственный элемент имеет идентичные ячейки двуклиновидного тетраэдра с равнобедренными треугольными гранями.
Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными расположениями симметрии. Самая высокая (гексагональная) форма симметрии проецируется в неоднородную ромботригексагональную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует две перекрывающиеся усеченные квадратные мозаики , которые объединяются вместе как скошенная квадратная мозаика .
Вершинная фигура для этих сот — двуклиновидный тетраэдр , а также тетраэдр Гурса ( фундаментальная область ) для группы Коксетера . Эти соты имеют четыре однородные конструкции, причем усеченные октаэдрические ячейки имеют различные группы Коксетера и конструкции Витхоффа . Эти однородные симметрии можно представить, раскрасив ячейки в каждой конструкции по-разному.
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных октаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных октаэдров, чтобы получить неоднородную сотовую структуру с усеченными октаэдрами и шестиугольными призмами (как дитригональными трапециями). Ее вершинная фигура — C 2v -симметричная треугольная бипирамида .
Эти соты затем можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с пиритоэдрическими икосаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тетраэдрами (как клиновидные). Их вершинная фигура имеет симметрию C2v и состоит из 2 пятиугольников , 4 прямоугольников , 4 равнобедренных треугольников (разделенных на два набора по 2) и 4 разносторонних треугольников .
Перемежающиеся битусечённые кубические соты или биснуб кубические соты неоднородны, с конструкцией с наивысшей симметрией, отражающей чередование однородных битусечённых кубических сот. Конструкция с более низкой симметрией включает правильные икосаэдры в паре с золотыми икосаэдрами (с 8 равносторонними треугольниками в паре с 12 золотыми треугольниками). Существует три конструкции из трёх связанных диаграмм Коксетера :,
, и
. Они имеют симметрию [4,3 + ,4], [4,(3 1,1 ) + ] и [3 [4] ] + соответственно. Первая и последняя симметрия могут быть удвоены как [[4,3 + ,4]] и [[3 [4] ]] + .
Эта сота представлена атомами бора α-ромбоэдрического кристалла . Центры икосаэдров расположены в позициях ГЦК решетки. [3]
Сотовые кубические соты или сотовые кубические ячейки — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из ромбокубооктаэдров , кубооктаэдров и кубов в соотношении 1:1:3 с клиновидной вершиной .
Джон Хортон Конвей называет эти соты 2-RCO-триллем , а их двухчетвертной сплюснутой октаэдрилой .
Скошенные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Существует вторая равномерная окраска, обусловленная отражательной симметрией групп Кокстера , вторая наблюдается при использовании попеременно окрашенных ромбокубооктаэдрических ячеек.
Двойную симметричную конструкцию можно сделать, поместив кубооктаэдры на ромбокубооктаэдры, что приведет к выпрямленным кубическим сотам, взяв треугольные антипризменные зазоры как правильные октаэдры , квадратные антипризменные пары и тетрагональные двуклиноиды нулевой высоты как компоненты кубооктаэдра . Другие варианты приводят к кубооктаэдрам , квадратным антипризмам , октаэдрам (как треугольным антиподиям) и тетраэдрам (как тетрагональным двуклиноидам), с вершинной фигурой, топологически эквивалентной кубу с треугольной призмой, прикрепленной к одной из его квадратных граней.
Двойственность кубических сот с кантеллированными углами называется четверть сплющенным октаэдром , катоптрической мозаикой с диаграммой Коксетера. 
, содержащий грани из двух из четырех гиперплоскостей кубической [4,3,4] фундаментальной области.
Он состоит из неправильных треугольных бипирамидальных ячеек, которые можно рассматривать как 1/12 куба, образованного центром куба, 2 центрами граней и 2 вершинами.
Усеченные кубические соты или усеченные кубические ячейки — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве, состоящая из усеченных кубооктаэдров , усеченных октаэдров и кубов в соотношении 1:1:3 с зеркально отраженной клиновидной вершиной .
Джон Хортон Конвей называет эти соты n-tCO-триллем , а их двойную треугольную пирамиду — пирамидой .
Вокруг каждой вершины существует четыре ячейки:
Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными схемами симметрии.
Ячейки могут быть показаны в двух различных симметриях. Линейная форма диаграммы Коксетера может быть нарисована одним цветом для каждого типа ячеек. Бифуркационная форма диаграммы может быть нарисована двумя типами (цветами) ячеек усеченного кубооктаэдра, чередующихся.
Двойственная кубическим сотам квадратная пирамида называется треугольной пирамидой с диаграммой Коксетера ,. Эти соты представляют собой фундаментальные области симметрии.
Ячейка может быть как 1/24 трансляционного куба с вершинами, расположенными: беря два угла, центр одной грани и центр куба. Цвета и метки ребер указывают, сколько ячеек существует вокруг ребра.
Он связан с косым апейроэдром с конфигурацией вершин 4.4.6.6, с удаленными восьмиугольниками и некоторыми квадратами. Его можно рассматривать как построенный путем увеличения усеченных кубооктаэдрических ячеек или путем увеличения чередующихся усеченных октаэдров и кубов.
Двойную симметричную конструкцию можно построить, поместив усеченные октаэдры на усеченные кубооктаэдры, что приведет к неоднородным сотам с усеченными октаэдрами , шестиугольными призмами (как дитригональными трапециями), кубами (как квадратными призмами), треугольными призмами (как C 2v -симметричными клиньями) и тетраэдрами (как тетрагональными двуклиноидами). Ее вершинная фигура топологически эквивалентна октаэдру .
Альтернативные усеченные кубические соты или усеченные кубические соты содержат три типа ячеек: усеченные кубы , икосаэдры (с симметрией T h ), тетраэдры (как тетрагональные двуклиноиды) и новые тетраэдрические ячейки, созданные в зазорах.
Хотя они не являются однородными, конструктивно их можно представить в виде диаграмм Коксетера или.
Несмотря на неоднородность, существует версия near-miss с двумя длинами ребер, показанными ниже, одна из которых примерно на 4,3% больше другой. Плосконосые кубы в этом случае однородны, но остальные ячейки — нет.
Плосконосые кубические соты строятся путем уплощения усеченных октаэдров таким образом, что из кубов (квадратных призм) остаются только прямоугольники . Они не являются однородными, но их можно представить в виде диаграммы Коксетера . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T h ), икосаэдры (с симметрией T h ) и треугольные призмы (как клинья с симметрией C 2v ), заполняющие промежутки. [4]
Двойную симметричную конструкцию можно создать, поместив икосаэдры на ромбокубооктаэдры, в результате чего получится неоднородная сотовая структура с икосаэдрами , октаэдрами (как треугольными антипризмами), треугольными призмами (как C2v - симметричными клиньями) и квадратными пирамидами .
Runciturcated cube honeycomb или runciturcated cube cellulation — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из ромбокубооктаэдров , усеченных кубов , восьмиугольных призм и кубов в соотношении 1:1:3:3, с вершиной в виде равнобедренной трапециевидной пирамиды .
Его название происходит от его диаграммы Коксетера ,с тремя кольцевыми узлами, представляющими собой 3 активных зеркала в конструкции Витхоффа по ее отношению к правильным кубическим сотам.
Джон Хортон Конвей называет эти соты 1-RCO-триллем , а их двойную квадратную четвертную пирамидку .
Усеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Существуют два связанных однородных косых апейроэдра с одинаковым расположением вершин , рассматриваемых как граничные ячейки из подмножества ячеек. Один имеет треугольники и квадраты, а другой — треугольники, квадраты и восьмиугольники.
Двойственная к усеченным кубическим сотам пирамидка называется квадратной четвертью пирамидиллы с диаграммой Коксетера Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей группы Коксетера [4,3,4].
Ячейки представляют собой неправильные пирамиды и могут рассматриваться как 1/24 куба, используя один угол, одну точку посередине, два центра граней и центр куба.
Двойную симметричную конструкцию можно построить, поместив ромбокубооктаэдры на усеченные кубы, что приведет к неоднородным сотам с ромбокубооктаэдрами , октаэдрами (как треугольными антипризмами), кубами (как квадратными призмами), двумя видами треугольных призм (оба C 2v -симметричные клинья) и тетраэдрами (как двуугольные двуклиноиды). Ее вершинная фигура топологически эквивалентна дополненной треугольной призме .
Усеченные кубические соты или усеченные кубические ячейки — это равномерно заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве. Она состоит из усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм в соотношении 1:3 с вершинной фигурой в виде филликового двуклиновидного треугольника .
Джон Хортон Конвей называет эти соты b-tCO-триллем , а их двойную восьмую пирамидиллем .
Всеусеченные кубические соты можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии.
Ячейки могут быть показаны в двух различных симметриях. Форма диаграммы Коксетера имеет два цвета усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм . Симметрию можно удвоить, связав первую и последнюю ветви диаграммы Коксетера, которую можно показать одним цветом для всех ячеек усеченных кубооктаэдров и восьмиугольных призм.
Существуют два связанных однородных косых апейроэдра с одинаковым расположением вершин . У первого удалены восьмиугольники, а конфигурация вершин 4.4.4.6. Его можно рассматривать как усеченные кубооктаэдры и восьмиугольные призмы, дополненные вместе. Второй можно рассматривать как дополненные восьмиугольные призмы, конфигурация вершин 4.8.4.8.
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных кубооктаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных кубооктаэдров друг на друга, чтобы получить неоднородную сотовую структуру с усеченными кубооктаэдрами , восьмиугольными призмами , шестиугольными призмами (как дитригональные трапеции) и двумя видами кубов (как прямоугольные трапеции и их C 2v -симметричные варианты). Ее вершинная фигура — неправильная треугольная бипирамида .
Затем эти соты можно чередовать, чтобы получить другие неоднородные соты с плосконосыми кубами , квадратными антипризмами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тремя видами тетраэдров (как тетрагональные двуклиноиды, филлитовые двуклиноиды и неправильные тетраэдры).
Перемежающиеся всеусеченные кубические соты или всесквозные кубические соты могут быть построены путем чередования всеусеченных кубических сот, хотя их нельзя сделать однородными, но им можно придать диаграмму Коксетера :и имеет симметрию [[4,3,4]] + . Он создает плосконосые кубы из усеченных кубооктаэдров , квадратные антипризмы из восьмиугольных призм и создает новые тетраэдрические ячейки из пробелов.
Двойные чередующиеся всеусеченные кубические соты — это заполняющие пространство соты, сконструированные как дуальные чередующимся всеусеченным кубическим сотам.
24 ячейки располагаются вокруг вершины, создавая хиральную октаэдрическую симметрию , которую можно сложить во всех трех измерениях:
Отдельные клетки имеют 2-кратную вращательную симметрию. В 2D-ортогональной проекции это выглядит как зеркальная симметрия.
Усеченные кубические соты Runcic или усеченные кубические ячейки Runcic строятся путем удаления чередующихся длинных прямоугольников из восьмиугольников и не являются однородными, но их можно представить в виде диаграммы Коксетера. . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T h ), плосконосые кубы , два вида кубов : квадратные призмы и прямоугольные трапециевидные призмы (топологически эквивалентные кубу , но с симметрией D 2d ), а также треугольные призмы (как клинья с симметрией C 2v ), заполняющие промежутки.
Биоортогнеобразные кубические соты построены путем удаления чередующихся длинных прямоугольников из восьмиугольников ортогонально и не являются однородными, но их можно представить в виде диаграммы Коксетера . Он имеет ромбокубооктаэдры (с симметрией T h ) и два вида кубов : квадратные призмы и прямоугольные трапециевидные призмы (топологически эквивалентные кубу , но с симметрией D 2d ).
Усеченные квадратные призматические соты или томо-квадратные призматические соты — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве . Она состоит из восьмиугольных призм и кубов в соотношении 1:1.
Он изготовлен из усеченной квадратной плитки, выдавленной в призмы.
Это одна из 28 выпуклых однородных сот .
Плосконосые квадратные призматические соты или симо-квадратные призматические соты — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом 3-мерном пространстве . Она состоит из кубов и треугольных призм в соотношении 1:2.
Он изготовлен из плоской квадратной плитки, выдавленной в призмы.
Это одна из 28 выпуклых однородных сот .
Плосконосые квадратные антипризматические соты могут быть построены путем чередования усеченных квадратных призматических сот, хотя их нельзя сделать однородными, но им можно придать диаграмму Коксетера :
и имеет симметрию [4,4,2,∞] + . Он делает квадратные антипризмы из восьмиугольных призм , тетраэдры (как тетрагональные двуклиноиды) из кубов и два тетраэдра из треугольных бипирамид .
