Диаграмма Коксетера–Дынкина

Наглядное представление симметрии

Диаграммы Коксетера–Дынкина для фундаментальных конечных групп Коксетера

Диаграммы Коксетера–Дынкина для фундаментальных аффинных групп Коксетера

В геометрии диаграмма Коксетера – Дынкина (или диаграмма Коксетера , граф Коксетера ) — это граф с численно помеченными рёбрами (называемыми ветвями ), представляющий группу Коксетера или иногда однородный многогранник или однородную мозаику, построенную из группы.

Класс близкородственных объектов — диаграммы Дынкина , которые отличаются от диаграмм Коксетера в двух отношениях: во-первых, ветви, помеченные « 4 » или больше, являются направленными , в то время как диаграммы Коксетера ненаправленные ; во-вторых, диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ( кристаллографическому ) ограничению, а именно, что единственными допустимыми метками ветвей являются 2, 3, 4 и 6. Диаграммы Дынкина соответствуют и используются для классификации корневых систем и, следовательно, полупростых алгебр Ли . ^[1]

Описание

Группа Коксетера — это группа, допускающая представление: где m _i,j — элементы некоторой симметричной матрицы M , на диагонали которой стоят единицы . ^[a] Эта матрица M , матрица Коксетера , полностью определяет группу Коксетера. $${\displaystyle \langle r_{0},r_{1},\dots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}}=1\rangle }$$

Поскольку матрица Коксетера симметрична, ее можно рассматривать как матрицу смежности графа с ребрами , вершины которого соответствуют генераторам r _i , а ребра помечены m _i,j между вершинами, соответствующими r _i и r _j . Для упрощения этих диаграмм можно внести два изменения:

• Ребра, помеченные как 2, могут быть опущены, при этом отсутствующие ребра подразумеваются как 2 s. Метка 2 указывает, что соответствующие два генератора коммутируют; 2 — это наименьшее число, которое может быть использовано для маркировки ребра.
• Ребра, помеченные как 3, можно оставить непомеченными, подразумевая, что непомеченное ребро действует как 3 .

Полученный граф представляет собой диаграмму Коксетера-Дынкина, описывающую рассматриваемую группу Коксетера.

Матрица Шлефли

Каждая диаграмма Коксетера имеет соответствующую матрицу Шлефли (названную так в честь Людвига Шлефли ), A , с матричными элементами a _i,j = a _j,i = −2 cos( π / p _i,j ) , где p _i,j — порядок ветвления между зеркалами i и j ; то есть π / p _i,j — двугранный угол между зеркалами i и j. Как матрица косинусов , A также называется матрицей Грама . Все матрицы Шлефли группы Коксетера симметричны, поскольку их корневые векторы нормализованы. A тесно связана с матрицей Картана , используемой в похожем, но направленном графе: диаграмме Дынкина , в ограниченных случаях p = 2,3,4 и 6, которые, как правило, не являются симметричными.

Определитель матрицы Шлефли называется шлефлианом ; [ ^{требуется ссылка ]} шлефлиан и его знак определяют, является ли группа конечной (положительной), аффинной (нулевой) или неопределенной (отрицательной). ^[2] Это правило называется критерием Шлефли . ^{[3] [ неудачная проверка ]}

Собственные значения матрицы Шлефли определяют, является ли группа Коксетера конечного типа (все положительные), аффинного типа (все неотрицательные, по крайней мере одно равно нулю) или неопределенного типа (в противном случае). Неопределенный тип иногда подразделяется далее, например, на гиперболические и другие группы Коксетера. Однако существует несколько неэквивалентных определений для гиперболических групп Коксетера. Мы используем следующие определения:

• Группа Коксетера со связной диаграммой является гиперболической , если она не является ни группой конечного, ни группой аффинного типа, но каждая ее правильная связная поддиаграмма имеет конечный или аффинный тип.
• Гиперболическая группа Коксетера компактна , если все ее подгруппы конечны (т.е. имеют положительные определители), и паракомпактна, если все ее подгруппы конечны или аффинны (т.е. имеют неотрицательные определители).

Конечные и аффинные группы также называются эллиптическими и параболическими соответственно. Гиперболические группы также называются Ланнеровскими, в честь Ф. Ланнера, который перечислил компактные гиперболические группы в 1950 году ^[4] , и Кошуля (или квази-Ланнера) для паракомпактных групп.

Группы Коксетера 2 ранга

Тип группы Коксетера ранга 2 , т.е. порожденной двумя различными зеркалами, полностью определяется определителем матрицы Шлефли, поскольку этот определитель является просто произведением собственных значений: конечного (положительный определитель), аффинного (нулевой определитель) или гиперболического (отрицательный определитель) типа. Коксетер использует эквивалентную скобочную нотацию , которая перечисляет последовательности порядков ветвей в качестве замены графическим диаграммам узел-ветвь. Рациональные решения [ p / q ], , также существуют, с gcd ( p , q ) = 1; они определяют перекрывающиеся фундаментальные домены. Например, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4 и 6/5.

Геометрические визуализации

Диаграмму Коксетера–Дынкина можно рассматривать как графическое описание фундаментальной области зеркал. Зеркало представляет собой гиперплоскость в сферическом, евклидовом или гиперболическом пространстве заданной размерности. (В двумерных пространствах зеркало — это линия; в трехмерных — это плоскость.)

Эти визуализации показывают фундаментальные домены для 2D и 3D евклидовых групп, а также для 2D сферических групп. Для каждой диаграмма Коксетера может быть выведена путем идентификации гиперплоских зеркал и маркировки их связности, игнорируя 90 -градусные двугранные углы (порядок 2; см. сноску [a] ниже).

Применение к однородным многогранникам

Диаграммы Коксетера–Дынкина могут явно перечислить почти все классы однородных многогранников и однородных мозаик . Каждый однородный многогранник с чистой отражательной симметрией (все, кроме нескольких особых случаев, имеют чистую отражательную симметрию) может быть представлен диаграммой Коксетера–Дынкина с перестановками разметок . Каждый однородный многогранник может быть сгенерирован с использованием таких зеркал и одной точки-генератора: зеркальные изображения создают новые точки как отражения, затем ребра многогранника могут быть определены между точками и точкой зеркального изображения. Грани генерируются повторным отражением ребра, в конечном итоге обертывающего исходный генератор; окончательная форма, а также любые многомерные грани, аналогичным образом создаются гранью, отражающейся для ограничения области.

Чтобы указать порождающую вершину, один или несколько узлов помечаются кольцами, что означает, что вершина не находится на зеркале(ах), представленном кольцевым узлом(ами). (Если помечены два или более зеркала, вершина равноудалена от них.) Зеркало активно (создает отражения) только относительно точек, не находящихся на нем. Диаграмме нужен по крайней мере один активный узел для представления многогранника. Несвязанная диаграмма (подгруппы, разделенные ветвями порядка 2, или ортогональные зеркала) требует по крайней мере одного активного узла в каждом подграфе.

Все правильные многогранники , представленные символом Шлефли { p , q , r , ...} , могут иметь свои фундаментальные области, представленные набором n зеркал с соответствующей диаграммой Коксетера–Дынкина из линии узлов и ветвей, помеченных p , q , r , ..., с первым узлом, окруженным кольцом.

Однородные многогранники с одним кольцом соответствуют точкам-генераторам в углах фундаментального доменного симплекса. Два кольца соответствуют ребрам симплекса и имеют степень свободы, и только средняя точка является однородным решением для равных длин ребер. В общем случае k -кольцевые точки-генераторы находятся на (k-1) -гранях симплекса, и если все узлы окольцованы, то точка-генератор находится внутри симплекса.

Частный случай однородных многогранников с неотражательной симметрией представлен вторичной разметкой, в которой центральная точка кольцевого узла удалена (называется отверстием ) . Эти формы являются чередованиями многогранников с отражательной симметрией, подразумевающими, что каждая вторая вершина удалена. Полученный многогранник будет иметь подсимметрию исходной группы Коксетера . Усеченное чередование называется сутулым .

• Один узел представляет собой одно зеркало. Это называется группой A ₁ . Если замкнуть, то получится отрезок линии , перпендикулярный зеркалу, представленный как {}.
• Два неприсоединенных узла представляют два перпендикулярных зеркала. Если оба узла замкнуты, можно создать прямоугольник или квадрат , если точка находится на одинаковом расстоянии от обоих зеркал.
• Два узла, соединенные ветвью порядка n, могут создать n -угольник , если точка находится на одном зеркале, и 2 n -угольник, если точка находится вне обоих зеркал. Это образует группу I ₁ (n) .
• Два параллельных зеркала могут представлять бесконечную группу многоугольников I ₁ (∞) , также называемую Ĩ ₁ .
• Три зеркала в треугольнике формируют изображения, которые можно увидеть в традиционном калейдоскопе , и могут быть представлены тремя узлами, соединенными в треугольник. Повторяющиеся примеры будут иметь ветви, обозначенные как (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), хотя последние две можно нарисовать как линию ( игнорируя 2 ветви). Это создаст однородные мозаики .
• Три зеркала могут образовывать однородные многогранники ; включение рациональных чисел дает множество треугольников Шварца .
• Три зеркала, одно из которых перпендикулярно двум другим, могут образовать однородные призмы .

Дуалы однородных многогранников иногда помечаются перпендикулярной косой чертой, заменяющей кольцевые узлы, и косой чертой-дыркой для дырочных узлов плосконосых многогранников. Например,представляет собой прямоугольник (как два активных ортогональных зеркала), ипредставляет собой его двойной многоугольник — ромб .

Примеры с многогранниками и мозаиками

Например, группа Коксетера B ₃ имеет диаграмму:. Это также называется октаэдрической симметрией .

Существует 7 выпуклых однородных многогранников , которые можно построить из этой группы симметрии и 3 из ее подсимметрий чередования , каждый из которых имеет уникально размеченную диаграмму Коксетера–Дынкина. Символ Витхоффа представляет собой особый случай диаграммы Коксетера для графов ранга 3, в котором все 3 порядка ветвей названы, а не подавляются ветви порядка 2. Символ Витхоффа способен обрабатывать курносую форму, но не общие чередования без всех узлов, окольцованных.

Те же конструкции можно выполнить на непересекающихся (ортогональных) группах Коксетера, таких как однородные призмы , и их можно более наглядно рассматривать как мозаики диэдров и осоэдров на сфере, например, как это семейство [6]×[] или [6,2]:

Для сравнения, [6,3],семейство производит параллельный набор из 7 однородных мозаик евклидовой плоскости и их двойственные мозаики. Снова есть 3 чередования и некоторая версия с половинной симметрией.

В гиперболической плоскости [7,3],семейство производит параллельный набор однородных мозаик и их двойственные мозаики. Существует только 1 чередование ( отрывистое ), поскольку все порядки ветвей нечетные. Многие другие гиперболические семейства однородных мозаик можно увидеть в однородных мозаиках в гиперболической плоскости .

Очень расширенные диаграммы Коксетера

Одно использование включает в себя очень расширенное определение из прямого использования диаграммы Дынкина , которое рассматривает аффинные группы как расширенные , гиперболические группы как сверхрасширенные , а третий узел как очень расширенные простые группы. Эти расширения обычно отмечаются показателем степени 1, 2 или 3 + символы для числа расширенных узлов. Этот расширяющийся ряд может быть расширен назад, путем последовательного удаления узлов из той же позиции в графе, хотя процесс останавливается после удаления узла ветвления. Расширенное семейство E 8 является наиболее часто показываемым примером расширения назад от E ₃ и вперед до E ₁₁ .

Процесс расширения может определить ограниченную серию графов Кокстера, которые прогрессируют от конечного к аффинному, гиперболическому и лоренцеву. Определитель матриц Картана определяет, где серия изменяется от конечного (положительного) к аффинному (нулю) к гиперболическому (отрицательному) и заканчивается как лоренцева группа, содержащая по крайней мере одну гиперболическую подгруппу. ^[5] Некристаллографические группы H _n образуют расширенную серию, где H ₄ расширяется как компактная гиперболическая и сверхрасширенная в лоренцеву группу.

Определитель матрицы Шлефли по рангу имеет вид: ^[6]

• det( A ₁ ⁿ = [2 ^{n −1} ]) = 2 ⁿ (Конечно для всех n )
• det( A _n = [3 ^{n −1} ]) = n + 1 (конечно для всех n )
• det( B _n = [4,3 ^{n −2} ]) = 2 (конечный для всех n )
• det( D _n = [3 ^{n −3,1,1} ]) = 4 (конечный для всех n )

Определители матрицы Шлефли в исключительных рядах:

• det( E n = [3 ^{n −3,2,1} ]) = 9 − n (конечный для E ₃ (= A ₂ A ₁ ), E ₄ (= A ₄ ​​), E ₅ (= D ₅ ), E 6 , E 7 и E 8 , аффинный в E 9 ( ), гиперболический в E ₁₀ ) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$
• det([3 ^{n −4,3,1} ]) = 2(8 − n ) (конечный для n = 4 до 7, аффинный ( ) и гиперболический при n = 8.) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$
• det([3 ^{n −4,2,2} ]) = 3(7 − n ) (конечный для n = 4 до 6, аффинный ( ) и гиперболический при n = 7.) ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$
• det( F _n = [3,4,3 ^{n −3} ]) = 5 − n (конечный для F ₃ (= B ₃ ) до F 4 , аффинный в F 5 ( ), гиперболический в F ₆ ) ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$
• det( G _n = [6,3 ^{n −2} ]) = 3 − n (конечный для G 2 , аффинный в G ₃ ( ), гиперболический в G ₄ ) ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$

Геометрическое складывание

(Просто зашитая) диаграмма Коксетера–Дынкина (конечная, аффинная или гиперболическая), имеющая симметрию (удовлетворяющую одному условию, приведенному ниже), может быть факторизована по симметрии, давая новую, как правило, многократно зашитую диаграмму, с помощью процесса, называемого «сворачиванием». ^{[8] [9]}

Например, в D _{4 ,} складывающемся в G ₂ , ребро в G ₂ указывает из класса 3 внешних узлов (валентность 1) в класс центрального узла (валентность 3). А E ₈ складывается в 2 копии H ₄ , вторая копия масштабируется на τ . ^[10]

Геометрически это соответствует ортогональным проекциям однородных многогранников и мозаик. Примечательно, что любая конечная просто-сшитая диаграмма Коксетера–Дынкина может быть свернута в I ₂ ( h ), где h — число Коксетера , что геометрически соответствует проекции на плоскость Коксетера .

Сложные размышления

Диаграммы Коксетера–Дынкина были расширены до комплексного пространства , C ⁿ , где узлы являются унитарными отражениями периода больше 2. Узлы помечены индексом, который предполагается равным 2 для обычного действительного отражения, если оно подавлено. Коксетер записывает комплексную группу, p[q]r, как диаграмму. ^[11]

Одномерный правильный комплексный многогранник в представляется как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, имеющий p вершин. Его реальное представление — правильный многоугольник , { p }. Его симметрия — _p [] или, порядок p . Генератор унитарного оператора длярассматривается как вращение на 2π / p радиан против часовой стрелки , и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ребро создается путем последовательного применения одного унитарного отражения. Генератор унитарного отражения для 1-политопа с p вершинами — это e ^{2 π i / p} = cos(2 π / p ) + i sin(2 π / p ) . Когда p = 2, генератор — это e ^{π i} = –1, то же самое, что и точечное отражение в действительной плоскости.

В более высоком многограннике _p {} илипредставляет собой p -образный элемент с 2-образным ребром, {} или, представляющий собой обычное действительное ребро между двумя вершинами.

Правильный комплексный многоугольник в имеет вид _p { q } _r или диаграмму Кокстера ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$Группа симметрии правильного комплексного многоугольникане называется группой Коксетера , а вместо этого группой Шепарда , типом группы комплексного отражения . Порядок _p [ q ] _r равен . ^[13] ${\displaystyle 8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

Группы Шепарда ранга 2: ₂ [ q ] ₂ , _p [4] ₂ , ₃ [3] ₃ , ₃ [6] ₂ , ₃ [4] ₃ , ₄ [3] ₄ , ₃ [8] ₂ , ₄ [6] ₂ , ₄ [4] ₃ , ₃ [5] ₃ , ₅ [3] ₅ , ₃ [10] ₂ , ₅ [6] ₂ и ₅ [4] ₃ или,,,,,,,,,,,,,порядка 2 q , 2 p ² , 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 и 1800 соответственно.

Группа симметрии _{p 1} [ q ] _{p 2} представлена ​​2 генераторами R ₁ , R ₂ , где:

Р ₁ ^{п ₁} = Р ₂ ^{п ₂} = Я .

Если q четное, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . Если q нечетное, (R ₂ R ₁ ) ^(q-1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q -1)/2} R ₁ . Когда q нечетное, p ₁ = p ₂ .

Группа​ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$или [1 1 1] ^p определяется 3 периодами 2 унитарных отражений {R ₁ , R ₂ , R ₃ }:

Р ₁ ² = Р ₁ ² = Р ₃ ² = (Р ₁ Р ₂ ) ³ = (Р ₂ Р ₃ ) ³ = (Р ₃ Р ₁ ) ³ = (Р ₁ Р ₂ Р ₃ Р ₁ ) ^р = 1.

Период p можно рассматривать как двойной поворот в реальном времени . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Похожая группа ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$или [1 1 1] ^(p) определяется 3 периодами 2 унитарных отражений {R ₁ , R ₂ , R ₃ }:

Р ₁ ² = Р ₁ ² = Р ₃ ² = (Р ₁ Р ₂ ) ³ = (Р ₂ Р ₃ ) ³ = (Р ₃ Р ₁ ) ³ = (Р ₁ Р ₂ Р ₃ Р ₂ ) ^р = 1.

Смотрите также

• Группа Коксетера
• Треугольник Шварца
• Тетраэдр Гурса
• Диаграмма Дынкина
• Однородный многогранник
  • Символ Витхоффа
  • Однородный многогранник
  • Список однородных многогранников
  • Список однородных плоских мозаик
  • Однородный 4-многогранник
  • Выпуклые однородные соты
  • Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Конструкция Wythoff и символ Wythoff

Ссылки

1. Холл, Брайан С. (2003), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
2. Боровик, Александр; Боровик, Анна (2010). Зеркала и отражения . Springer. С. 118–119.
3. Коксетер, Правильные многогранники , (3-е издание, 1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , сек. 7.7, с. 133, Критерий Шлефли. 
4. Ланнер Ф., О комплексах с транзитивными группами автоморфизмов , Медд. Лундсский университет. Мат. Сем. [Комм. Сем. Математика. унив. Лунд], 11 (1950), 1–71.
5. Де Бюйль, Софи (2006). «Алгебры Каца-Муди в М-теории». arXiv : hep-th/0608161 .
6. Определители Картана–Грама для простых групп Ли, Ву, Альфред К. Т., Американский институт физики, ноябрь 1982 г.
7. Джон Крисп , « Инъективные отображения между группами Артина », в работе «Теория групп в Даун-Андере», Труды Специального года по геометрической теории групп (Австралийский национальный университет, Канберра, Австралия, 1996), Постскриптум, архивировано 16 октября 2005 г. в Wayback Machine , стр. 13–14, и в googlebook, Геометрическая теория групп в Даун-Андере, стр. 131.
8. Зубер, Жан-Бернард (1998). «Обобщенные диаграммы Дынкина и корневые системы и их складывание». Топологическая теория поля : 28–30. arXiv : hep-th/9707046 . Bibcode :1998tftp.conf..453Z. CiteSeerX 10.1.1.54.3122 . 
9. Дешант, Пьер-Филипп; Бём, Селин; Тварок, Рейдан (2013). «Аффинные расширения некристаллографических групп Коксетера, индуцированные проекцией». Журнал математической физики . 54 (9): 093508. arXiv : 1110.5228 . Bibcode : 2013JMP....54i3508D. doi : 10.1063/1.4820441. S2CID  59469917.
10. Дешант, Пьер-Филипп (2017). «Геометрия E 8 с точки зрения Клиффорда». Advances in Applied Clifford Algebras . 27 : 397–421. doi : 10.1007/s00006-016-0675-9 .
11. Коксетер, Комплексные правильные многогранники , второе издание, (1991)
12. Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр. 177, Таблица III
13. Унитарные рефлексивные группы , стр.87

1. ${\displaystyle (R_{i}\circ R_{i})^{1}={\rm {Id}}.}$
2. Если тогда так и ${\displaystyle R\perp R',}$ ${\displaystyle R'\circ R={\rm {sym}}_{R\cap R'}=R\circ R',}$ ${\displaystyle R\circ R'\circ R=R\circ R\circ R'={\rm {Id}}\circ R'=R'}$ ${\displaystyle R'\circ R\circ R'=R'\circ R'\circ R={\rm {Id}}\circ R=R.}$

Дальнейшее чтение

• Джеймс Э. Хамфрис , Группы отражения и группы Коксетера , Кембриджские исследования по высшей математике, 29 (1990)
• Калейдоскопы: избранные произведения Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1], Googlebooks [2]  
  • (Документ 17) Коксетер , Эволюция диаграмм Кокстера-Динкина , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
• Коксетер , Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников) 
• Коксетер , Правильные многогранники (1963), Macmillan Company
  • Правильные многогранники , Третье издание, (1973), издание Дувра, ISBN 0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп и Раздел 11.3 Представление графами) 
• HSM Coxeter и WOJ Moser, Генераторы и отношения для дискретных групп, 4-е изд., Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1980 г.
• Норман Джонсон , Геометрия и преобразования , Главы 11,12,13, препринт 2011 г.
• NW Johnson , R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Размер гиперболического симплекса Коксетера , Transformation Groups, 1999, том 4, выпуск 4, стр. 329–353 [3] [4]
• Норман В. Джонсон и Азия Айвик Вайс Квадратичные целые числа и группы Коксетера Архивировано 26.03.2023 в Wayback Machine PDF Can. J. Math. Том 51 (6), 1999, стр. 1307–1336

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Диаграмма Коксетера–Дынкина». MathWorld .
• Дискуссия по истории диаграмм Коксетера, проведенная Коксетером и Дынкиным в Торонто , Канада , октябрь 1978 г.; Коллекция интервью с математиками Юджина Дынкина, Библиотека Корнелльского университета .