В геометрии равномерная мозаика — это разбиение плоскости на правильные многоугольные грани с ограничением, что они должны быть вершинно-транзитивными .
Однородные мозаики могут существовать как в евклидовой плоскости , так и в гиперболической плоскости . Однородные мозаики связаны с конечными однородными многогранниками ; их можно считать однородными мозаиками сферы .
Большинство равномерных мозаик можно сделать из конструкции Витхоффа , начиная с группы симметрии и особой точки-генератора внутри фундаментальной области . Плоская группа симметрии имеет полигональную фундаментальную область и может быть представлена ее групповой нотацией: последовательностью порядков отражения вершин фундаментальной области.
Треугольник фундаментальной области обозначается ( pqr ), где p , q , r — целые числа > 1, т. е. ≥ 2; прямоугольный треугольник фундаментальной области обозначается ( pq 2). Треугольник может существовать как сферический треугольник , евклидов треугольник на плоскости или гиперболический треугольник на плоскости в зависимости от значений p , q и r .
Существует несколько символических схем обозначения этих фигур:
Все равномерные мозаики могут быть построены с помощью различных операций, применяемых к правильным мозаикам . Эти операции, как их назвал Норман Джонсон , называются усечением (отрезанием вершин), ректификацией (отрезанием вершин до исчезновения ребер) и кантелляцией (отрезанием ребер и вершин). Омнитрукцией является операция, которая объединяет усечение и кантелляцию. Снаббингом является операция поочередного усечения омнитрукцированной формы. (См. Uniform polyhedron#Wythoff construction operations для получения более подробной информации.)
Группы Коксетера для плоскости определяют конструкцию Витхоффа и могут быть представлены диаграммами Коксетера-Дынкина :
Для групп с целочисленными порядками отражения, в том числе:
На евклидовой плоскости существуют группы симметрии, построенные из фундаментальных треугольников: (4 4 2), (6 3 2) и (3 3 3). Каждая из них представлена набором линий отражения, которые делят плоскость на фундаментальные треугольники.
Эти группы симметрии создают 3 правильных мозаики и 7 полуправильных. Ряд полуправильных мозаик повторяются из разных конструкторов симметрии.
Группа призматической симметрии (2 2 2 2) представлена двумя наборами параллельных зеркал, которые в общем случае могут образовывать прямоугольную фундаментальную область. Она не генерирует новых мозаик.
Еще одна призматическая группа симметрии (∞ 2 2) имеет бесконечную фундаментальную область. Она строит две равномерные мозаики: апейрогональную призму и апейрогональную антипризму .
Складывание конечных граней этих двух призматических мозаик создает одну не-Витхоффову однородную мозаику плоскости. Она называется удлиненной треугольной мозаикой , состоящей из чередующихся слоев квадратов и треугольников.
Прямоугольные фундаментальные треугольники: ( pq 2)
Общие фундаментальные треугольники: ( pqr )
Несимпликативные фундаментальные домены
Единственная возможная фундаментальная область в евклидовом 2-пространстве, которая не является симплексом, — это прямоугольник (∞ 2 ∞ 2) с диаграммой Кокстера :
. Все формы, полученные из него, становятся квадратной мозаикой .
На гиперболической плоскости существует бесконечно много однородных мозаик, состоящих из выпуклых правильных многоугольников , каждая из которых основана на своей группе отражательной симметрии ( pqr ).
Здесь показана выборка с проекцией диска Пуанкаре .
Диаграмма Коксетера-Дынкина представлена в линейной форме, хотя на самом деле это треугольник, в котором конечный сегмент r соединяется с первым узлом.
Дальнейшие группы симметрии существуют в гиперболической плоскости с четырехугольными фундаментальными областями — начиная с (2 2 2 3) и т. д. — которые могут генерировать новые формы. Также существуют фундаментальные области, которые размещают вершины в бесконечности, такие как (∞ 2 3) и т. д.
Прямоугольные фундаментальные треугольники: ( pq 2)
Общие фундаментальные треугольники: ( pqr )
Список однородных мозаик можно расширить несколькими способами:
Группа симметрии треугольников с ретроградными движениями включает:
Треугольники группы симметрии с бесконечностью включают:
Бранко Грюнбаум и GC Шепард в книге 1987 года «Мозаики и узоры» , раздел 12.3, перечисляют список из 25 однородных мозаик, включая 11 выпуклых форм, и добавляют еще 14, которые они называют полыми мозаиками , используя первые два расширения выше: грани звездчатых многоугольников и обобщенные вершинные фигуры. [1]
HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins и JCP Miller в статье 1954 года «Однородные многогранники», Таблица 8: Однородные мозаики , используют первые три расширения и перечисляют в общей сложности 38 однородных мозаик. Если также подсчитать мозаику, сделанную из 2 апейрогонов, то общее количество можно считать равным 39 однородным мозаикам.
В 1981 году Грюнбаум, Миллер и Шепард в своей статье « Однородные плитки с полыми плитками» перечисляют 25 плиток, используя первые два расширения, и еще 28, когда добавляется третья (что составляет 53, используя определение Коксетера и др .). Когда добавляется четвертая, они перечисляют еще 23 однородных плитки и 10 семейств (8 в зависимости от непрерывных параметров и 2 от дискретных параметров). [2]
Помимо 11 выпуклых решений, ниже показаны 28 однородных звездных мозаик, перечисленных Коксетером и др. , сгруппированных по графам общих ребер, а также еще 15, перечисленных Грюнбаумом и др., которые соответствуют определению Коксетера и др ., но были ими пропущены.
Этот набор не доказан как полный. Под "2.25" подразумевается мозаика 25 в таблице 2 Грюнбаума и др . от 1981 года.
Следующие три мозаики являются исключительными, поскольку в них содержится только конечное число граней одного типа: два апейрогона в каждой. Иногда мозаика апейрогона порядка 2 не включена, поскольку ее две грани встречаются более чем на одном ребре.
Для ясности мозаики не раскрашены с этого момента и далее (из-за перекрытий). Выделен набор многоугольников вокруг одной вершины. Макнил перечисляет только мозаики, данные Коксетером и др . (1954). Одиннадцать выпуклых однородных мозаик были повторены для справки.
Существуют две равномерные мозаики для конфигурации вершин 4.8.-4.8.-4.∞ (Grünbaum et al. , 2.10 и 2.11), а также две равномерные мозаики для конфигурации вершин 4.8/3.4.8/3.-4.∞ (Grünbaum et al. , 2.12 и 2.13) с различными симметриями. Существует также третья мозаика для каждой конфигурации вершин, которая является только псевдооднородной (вершины находятся в двух орбитах симметрии). Они используют различные наборы квадратных граней. Следовательно, для звездных евклидовых мозаик конфигурация вершин не обязательно определяет мозаику. [2]
На рисунках ниже, включенные квадраты с горизонтальными и вертикальными краями отмечены центральной точкой. У одного квадрата края выделены. [2]
Ниже перечислены мозаики с зигзагами. {∞ 𝛼 } обозначает зигзаг с углом 0 < 𝛼 < π. Апейрогон можно считать частным случаем 𝛼 = π. Симметрии даны для общего случая, но иногда существуют специальные значения 𝛼, которые увеличивают симметрию. Мозаики 3.1 и 3.12 могут даже стать правильными; 3.32 уже является таковым (у него нет свободных параметров). Иногда существуют специальные значения 𝛼, которые вызывают вырождение мозаики. [2]
Пары мозаик 3.17 и 3.18, а также 3.19 и 3.20 имеют идентичные конфигурации вершин, но разные симметрии. [2]
Плитки с 3.7 по 3.10 имеют то же расположение рёбер, что и 2.1 и 2.2; плитки с 3.17 по 3.20 имеют то же расположение рёбер, что и 2.10 по 2.13; плитки с 3.21 по 3.24 имеют то же расположение рёбер, что и 2.18 по 2.23; и плитки с 3.25 по 3.33 имеют то же расположение рёбер, что и 1.25 (правильная треугольная плитка). [2]
Мозаика также может быть самодвойственной . Квадратная мозаика с символом Шлефли {4,4} является самодвойственной; здесь показаны две квадратные мозаики (красная и черная), двойственные друг другу.
Рассмотрение правильного звездчатого многоугольника как невыпуклого изотоксального простого многоугольника с вдвое большим количеством (более короткими) сторон, но чередующимися одинаковыми внешними и «внутренними» внутренними углами позволяет использовать правильные звездчатые многоугольники в мозаике, а рассмотрение изотоксальных простых многоугольников как «правильных» позволяет использовать правильные звездчатые многоугольники (но не все из них) в «однородной» мозаике.
Кроме того, контуры некоторых нерегулярных изотоксальных звездчатых многоугольников являются невыпуклыми изотоксальными (простыми) многоугольниками с таким же количеством (более коротких) сторон и чередующимися одинаковыми внешними и «внутренними» внутренними углами; рассмотрение такого рода изотоксальных звездчатых многоугольников в качестве их контуров позволяет использовать их в мозаике, а рассмотрение изотоксальных простых многоугольников в качестве «правильных» позволяет использовать этот вид изотоксальных звездчатых многоугольников (но не все из них могут) в «однородной» мозаике.
Изотоксальный простой 2 n -угольник с внешним внутренним углом 𝛼 обозначается как { n 𝛼 }; его внешние вершины помечены как n*
𝛼, а внутренние как n**
𝛼.
Эти расширения определения для мозаики требуют, чтобы углы с двумя полигонами не считались вершинами — поскольку конфигурация вершин для вершин с тремя полигонами как минимум достаточна для определения такой «однородной» мозаики, и чтобы последняя имела одну конфигурацию вершин (иначе у нее было бы две) —. Существует 4 таких однородных мозаики с регулируемыми углами 𝛼 и 18 таких однородных мозаик, которые работают только с определенными углами, что дает в общей сложности 22 однородных мозаики, которые используют звездные полигоны. [4]
Все эти мозаики, в которых игнорируются возможные вершины порядка 2, а возможные двойные и тройные ребра сводятся к одинарным, топологически связаны с обычными однородными мозаиками (использующими только выпуклые правильные многоугольники).
Неправильные изотоксальные звездчатые или простые 2 n -угольники всегда чередуют два угла. Изотоксальные простые 2 n -угольники, { n 𝛼 }, могут быть выпуклыми ; простейшими из них являются ромбы (2×2-угольники), {2 𝛼 }. Рассмотрение этих выпуклых { n 𝛼 } как "правильных" многоугольников позволяет большему количеству мозаик считаться "однородными".
