.jpg/1280px-Street_Musicians_at_the_Door_-_Jacob_Octhtervelt_(edit).jpg)
Пифагорейская мозаика или мозаика из двух квадратов — это мозаика евклидовой плоскости квадратами двух разных размеров, в которой каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера четырьмя своими сторонами. Многие доказательства теоремы Пифагора основаны на ней, [2] что объясняет ее название. [ 1 ] Она обычно используется в качестве узора для напольной плитки . При использовании для этого она также известна как узор «классики» [3] или узор «вертушка» [4] , но ее не следует путать с математической мозаикой «вертушка» — неродственным узором. [5]
Эта мозаика имеет четырехстороннюю вращательную симметрию вокруг каждого из ее квадратов. Когда отношение длин сторон двух квадратов является иррациональным числом, таким как золотое сечение , ее поперечные сечения образуют апериодические последовательности с рекурсивной структурой, похожей на слово Фибоначчи . Обобщения этой мозаики на три измерения также были изучены.
Пифагорова мозаика — уникальная мозаика из квадратов двух разных размеров, которая является как односторонней (никакие два квадрата не имеют общей стороны), так и эквитранзитивной (каждые два квадрата одинакового размера могут быть отображены друг в друга с помощью симметрии мозаики). [6]
Топологически, мозаика Пифагора имеет ту же структуру, что и мозаика усеченного квадрата, квадратами и правильными восьмиугольниками . [7] Меньшие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с четырьмя большими плитками, как и квадраты в мозаике усеченного квадрата, в то время как большие квадраты в мозаике Пифагора соседствуют с восемью соседями, которые чередуются между большими и маленькими, так же как восьмиугольники в мозаике усеченного квадрата. Однако эти две мозаики имеют разные наборы симметрий, потому что мозаика усеченного квадрата симметрична относительно зеркальных отражений, тогда как мозаика Пифагора — нет. Математически это можно объяснить, сказав, что мозаика усеченного квадрата имеет двугранную симметрию вокруг центра каждой плитки, в то время как мозаика Пифагора имеет меньший циклический набор симметрий вокруг соответствующих точек, что дает ей симметрию p4 . [8] Это хиральный узор, то есть его невозможно наложить на его зеркальное отражение, используя только переносы и вращения.
Однородная мозаика — это мозаика, в которой каждая плитка является правильным многоугольником и в которой каждая вершина может быть отображена на любую другую вершину с помощью симметрии мозаики. Обычно однородные мозаики дополнительно требуют, чтобы плитки соответствовали ребру к ребру, но если это требование смягчить, то будет восемь дополнительных однородных мозаик. Четыре образованы из бесконечных полос квадратов или равносторонних треугольников, а три образованы из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Оставшаяся — это пифагорейская мозаика. [9]
Эта мозаика называется мозаикой Пифагора, потому что она использовалась в качестве основы для доказательства теоремы Пифагора исламскими математиками девятого века Аль-Найризи и Сабитом ибн Куррой , а также британским математиком-любителем девятого века Генри Перигалом . [1] [10] [11] [12] Если стороны двух квадратов, образующих мозаику, являются числами a и b , то ближайшее расстояние между соответствующими точками на конгруэнтных квадратах равно c , где c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами a и b . [13] Например, на иллюстрации слева два квадрата в мозаике Пифагора имеют длины сторон 5 и 12 единиц, а длина стороны плиток в наложенной квадратной мозаике равна 13, основываясь на пифагоровой тройке (5,12,13).
Накладывая квадратную сетку со стороной c на пифагорейскую мозаику, ее можно использовать для создания пятичастного разрезания двух неравных квадратов со сторонами a и b в один квадрат со стороной c , показывая, что два меньших квадрата имеют ту же площадь, что и больший. Аналогично, наложение двух пифагорейских мозаик может быть использовано для создания шестичастного разрезания двух неравных квадратов в другие два неравных квадрата. [10]
Хотя пифагорейская мозаика сама по себе периодична (она имеет квадратную решетку трансляционных симметрий), ее поперечные сечения можно использовать для генерации одномерных апериодических последовательностей. [14]
В «конструкции Клотца» для апериодических последовательностей (Klotz — немецкое слово, обозначающее блок) формируется пифагорейская мозаика из двух квадратов, размеры которых выбраны так, чтобы соотношение между длинами двух сторон было иррациональным числом x . Затем выбирается линия, параллельная сторонам квадратов, и формируется последовательность двоичных значений из размеров квадратов, пересекаемых линией: 0 соответствует пересечению большого квадрата, а 1 соответствует пересечению маленького квадрата. В этой последовательности относительная пропорция нулей и единиц будет находиться в соотношении x : 1. Эта пропорция не может быть достигнута периодической последовательностью нулей и единиц, потому что она иррациональна, поэтому последовательность является апериодической. [14]
Если x выбрано в качестве золотого сечения , то последовательность нулей и единиц, сгенерированная таким образом, имеет ту же рекурсивную структуру, что и слово Фибоначчи : ее можно разбить на подстроки вида «01» и «0» (то есть нет двух последовательных), и если эти две подстроки последовательно заменить более короткими строками «0» и «1», то получится еще одна строка с той же структурой. [14]
Согласно гипотезе Келлера , любая мозаика плоскости конгруэнтными квадратами должна включать два квадрата, которые сходятся ребром к ребру. [15] Ни один из квадратов в пифагорейской мозаике не сходится ребром к ребру, [6] но этот факт не нарушает гипотезу Келлера, поскольку плитки имеют разные размеры, поэтому не все они конгруэнтны друг другу.
Пифагорейская мозаика может быть обобщена до трехмерной мозаики евклидова пространства кубами двух разных размеров, которая также является односторонней и эквитранзитивной. Аттила Бёльчкей называет эту трехмерную мозаику заполнением Роджерса . Он предполагает, что в любом измерении больше трех снова существует уникальный односторонний и эквитранзитивный способ мозаики пространства гиперкубами двух разных размеров. [16]
Бернс и Ригби нашли несколько протоплиток , включая снежинку Коха , которые можно использовать для замощения плоскости, используя только копии протоплитки двух или более разных размеров. [17] Более ранняя статья Данцера, Грюнбаума и Шепарда приводит другой пример — выпуклый пятиугольник, который замощает плоскость, только если его объединить в двух размерах. [18] Хотя в пифагорейской мозаике используются квадраты двух разных размеров, квадрат не обладает тем же свойством, что и эти протоплитки, а именно замощением только по подобию, поскольку также можно замощать плоскость, используя только квадраты одного размера.
Раннее структурное применение пифагорейской плитки появляется в работах Леонардо да Винчи , который рассматривал ее среди нескольких других потенциальных образцов для балок пола . [19] Эта плитка также долгое время использовалась в декоративных целях, для напольной плитки или других подобных образцов, как можно видеть, например, на картине Якоба Охтервельта «Уличные музыканты у двери » (1665). [1] Было высказано предположение, что наблюдение за похожей плиткой во дворце Поликрата могло послужить Пифагору первоначальным вдохновением для его теоремы. [13]
