Евклидово пространство

Евклидово пространство — фундаментальное пространство геометрии , предназначенное для представления физического пространства . Первоначально в « Началах » Евклида это было трехмерное пространство евклидовой геометрии , но в современной математике существуют евклидовы пространства любой положительной целочисленной размерности n , которые называются евклидовыми n -пространствами , когда кто-то хочет указать их размерность. ^[1] Для n, равного одному или двум, их обычно называют соответственно евклидовыми линиями и евклидовыми плоскостями . Квалификатор «Евклидово» используется для отличия евклидовых пространств от других пространств , которые позже рассматривались в физике и современной математике.

Древнегреческие геометры представили евклидово пространство для моделирования физического пространства. Их работа была собрана древнегреческим математиком Евклидом в его «Началах» ^[2] с великим новаторством, состоящим в доказательстве всех свойств пространства в виде теорем , начиная с нескольких фундаментальных свойств, называемых постулатами , которые либо считались очевидными (т. например, существует ровно одна прямая, проходящая через две точки), или доказать это казалось невозможно ( постулат о параллельности ).

После введения в конце 19 века неевклидовой геометрии старые постулаты были реформализованы, чтобы определить евклидовы пространства посредством аксиоматической теории . Было показано , что другое определение евклидовых пространств с помощью векторных пространств и линейной алгебры эквивалентно аксиоматическому определению. Именно это определение чаще используется в современной математике и подробно описано в этой статье. ^[3] Во всех определениях евклидовы пространства состоят из точек, которые определяются только теми свойствами, которыми они должны обладать для формирования евклидова пространства.

По сути, существует только одно евклидово пространство каждого измерения; то есть все евклидовы пространства данной размерности изоморфны . Поэтому обычно можно работать с конкретным евклидовым пространством, обозначаемым или , которое можно представить с помощью декартовых координат как реальное n -пространство, оснащенное стандартным скалярным произведением . $\mathbf {E} ^{n}$ $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Определение

История определения

Евклидово пространство было введено древними греками как абстракция нашего физического пространства. Их великим нововведением, появившимся в « Началах » Евклида , было построение и доказательство всей геометрии, начиная с нескольких очень основных свойств, которые абстрагированы от физического мира и не могут быть доказаны математически из-за отсутствия более основных инструментов. Эти свойства называются постулатами , или аксиомами в современном языке. Этот способ определения евклидова пространства до сих пор используется под названием синтетической геометрии .

В 1637 году Рене Декарт ввёл декартовы координаты и показал, что они позволяют свести геометрические задачи к алгебраическим вычислениям с числами. Это сведение геометрии к алгебре стало серьезным изменением точки зрения, поскольку до этого действительные числа определялись через длины и расстояния.

Евклидова геометрия не применялась в пространствах размерностью более трех до XIX века. Людвиг Шлефли обобщил евклидову геометрию на пространства размерности $n$ , используя как синтетические, так и алгебраические методы, и открыл все правильные многогранники (аналоги платоновых тел более высокой размерности ), которые существуют в евклидовых пространствах любой размерности. ^[4]

Несмотря на широкое распространение подхода Декарта, получившего название аналитической геометрии , определение евклидова пространства оставалось неизменным до конца 19 века. Введение абстрактных векторных пространств позволило использовать их для определения евклидовых пространств с чисто алгебраическим определением. Было показано, что это новое определение эквивалентно классическому определению с точки зрения геометрических аксиом. Именно это алгебраическое определение сейчас чаще всего используется для введения евклидовых пространств.

Мотивация современного определения

Один из способов представить евклидову плоскость — это набор точек, удовлетворяющих определенным отношениям, выражаемым через расстояние и углы. Например, на плоскости есть две фундаментальные операции (называемые движениями ). Одним из них является перемещение , которое означает смещение плоскости так, что каждая точка смещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Другой — вращение вокруг фиксированной точки в плоскости, при котором все точки плоскости поворачиваются вокруг этой фиксированной точки на один и тот же угол. Один из основных принципов евклидовой геометрии заключается в том, что две фигуры (обычно рассматриваемые как подмножества ) плоскости следует считать эквивалентными ( конгруэнтными ), если одну можно преобразовать в другую посредством некоторой последовательности перемещений, вращений и отражений (см. ниже).

Чтобы сделать все это математически точным, теория должна четко определить, что такое евклидово пространство, и связанные с ним понятия расстояния, угла, перемещения и вращения. Даже при использовании в физических теориях евклидово пространство представляет собой абстракцию , отделенную от реальных физических мест, конкретных систем отсчета , инструментов измерения и т. д. Чисто математическое определение евклидова пространства также игнорирует вопросы единиц длины и других физических измерений : расстояние в «математическом» пространстве — это число , а не что-то, выраженное в дюймах или метрах.

Стандартный способ математического определения евклидова пространства, описанный в оставшейся части этой статьи, представляет собой набор точек, на которые действует реальное векторное пространство — пространство переводов , снабженное внутренним продуктом . ^[1] Действие переводов делает пространство аффинным пространством , и это позволяет определять линии, плоскости, подпространства, размерность и параллелизм . Внутренний продукт позволяет определять расстояние и углы.

Набор n -кортежей действительных чисел, снабженных скалярным произведением, $представляет$ собой евклидово пространство размерности $n$ . И наоборот, выбор точки, называемой началом координат , и ортонормированного базиса пространства сдвигов эквивалентен определению изоморфизма между евклидовым пространством размерности $n$ и рассматриваемым как евклидово пространство. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Отсюда следует, что все, что можно сказать о евклидовом пространстве, можно сказать и о нем . Поэтому многие авторы, особенно на элементарном уровне, называют стандартное евклидово пространство размерности $n$ , ^[5] или просто евклидовым пространством размерности $n$ . $\mathbb {R} ^{n}.$ $\mathbb {R} ^{n}$

Причина введения такого абстрактного определения евклидовых пространств и работы с ним вместо этого заключается в том, что часто предпочтительнее работать в бескоординатном и безначальном порядке (то есть без выбора предпочтительного базиса и предпочтительного начала координат). ). Другая причина в том, что в физическом мире нет ни происхождения, ни какой-либо основы. $\mathbb {R} ^{n}$

Техническое определение

АЕвклидово векторное пространство — это конечномерноепространство внутреннего произведениянаддействительными числами.^[6]

Евклидово пространство — это аффинное пространство над действительными числами , такое, что связанное векторное пространство является евклидовым векторным пространством. Евклидовы пространства иногда называют евклидовыми аффинными пространствами , чтобы отличить их от евклидовых векторных пространств. ^[6]

Если $E$ — евклидово пространство, часто обозначается связанное с ним векторное пространство (евклидово векторное пространство). Размерность евклидова пространства — это размерность связанного с ним векторного пространства . ${\overrightarrow {E}}.$

Элементы $E$ называются точками и обычно обозначаются заглавными буквами. Элементы называются евклидовыми векторами или свободными векторами . Их еще называют трансляциями , хотя, собственно говоря, трансляция — это геометрическое преобразование , возникающее в результате действия евклидова вектора на евклидово пространство. ${\overrightarrow {E}}$

Действие перевода $v$ на точку $P$ дает точку, обозначаемую $P + v$ . Это действие удовлетворяет

P+(v+w)=(P+v)+w.

Примечание. Второй $+$ в левой части — это сложение векторов; друг друга $+$ обозначает действие вектора на точку. Это обозначение не является двусмысленным, поскольку, чтобы различать два значения $+$ , достаточно взглянуть на природу его левого аргумента.

Тот факт, что действие является свободным и транзитивным, означает, что для каждой пары точек $(P, Q)$ существует ровно один вектор смещения $v$ такой, что $P + v = Q.$ Этот вектор $v$ обозначается $Q - P$ или ${\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {)}{}}}.$

Как объяснялось ранее, некоторые основные свойства евклидовых пространств вытекают из структуры аффинного пространства. Они описаны в § Аффинная структура и ее подразделах. Свойства, возникающие в результате внутреннего продукта, объясняются в § Метрическая структура и ее подразделы.

Прототипические примеры

Для любого векторного пространства сложение действует свободно и транзитивно на самом векторном пространстве. Таким образом, евклидово векторное пространство можно рассматривать как евклидово пространство, которое само является ассоциированным векторным пространством.

Типичный случай евклидова векторного пространства рассматривается как векторное пространство, снабженное скалярным произведением в качестве внутреннего продукта . Важность этого конкретного примера евклидова пространства заключается в том, что каждое евклидово пространство изоморфно ему . Точнее, для евклидова пространства $E$ размерности $n$ выбор точки, называемой началом координат , и ортонормированного базиса определяет изоморфизм евклидовых пространств из $E$ в $\mathbb {R} ^{n}$ ${\overrightarrow {E}}$ $\mathbb {R} ^{n}.$

Поскольку каждое евклидово пространство размерности $n$ изоморфно ему, евклидово пространство иногда называют стандартным евклидовым пространством размерности $n$ . ^[5] $\mathbb {R} ^{n}$

Аффинная структура

Некоторые основные свойства евклидовых пространств зависят только от того, что евклидово пространство является аффинным пространством . Они называются аффинными свойствами и включают в себя концепции линий, подпространств и параллелизма, которые подробно описаны в следующих подразделах.

Подпространства

Пусть $E$ — евклидово пространство и связанное с ним векторное пространство. ${\overrightarrow {E}}$

Плоское евклидово подпространство или аффинное подпространство в $E$ — это подмножество $F$ в $E$ такое, что

{\overrightarrow {F}}={\Bigl \{}{\overrightarrow {PQ}} \mathrel {\Big |} P\in F,Q\in F{\Bigr \}}{\vphantom { \frac {(}{}}}

поскольку ассоциированное векторное пространство $F$ является линейным подпространством (векторным подпространством) Евклидова подпространства $F$ является евклидовым пространством с ассоциированным векторным пространством. Это линейное подпространство $также$ называется направлением F . ${\overrightarrow {E}}.$ ${\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {F}}$

Если $P$ — точка $F$ , то

F={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {F}}{\Bigr \}}.

Обратно, если $P$ — точка $E$ и линейное подпространство этого пространства, то ${\overrightarrow {V}}$ ${\overrightarrow {E}},$

P+{\overrightarrow {V}}={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {V}}{\Bigr \}}

является евклидовым подпространством направления . (Связанное векторное пространство этого подпространства — .) ${\overrightarrow {V}}$ ${\overrightarrow {V}}$

Евклидово векторное пространство (то есть евклидово пространство, равное ) имеет два типа подпространств: евклидовы подпространства и линейные подпространства. Линейные подпространства являются евклидовыми подпространствами, а евклидово подпространство является линейным подпространством тогда и только тогда, когда оно содержит нулевой вектор. ${\overrightarrow {E}}$ ${\overrightarrow {E}}$

Линии и сегменты

В евклидовом пространстве линия — это евклидово подпространство размерности один. Поскольку векторное пространство размерности один натянуто на любой ненулевой вектор, линия представляет собой множество вида

{\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}} \mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {( }{}}}

где $P$ и $Q$ — две различные точки евклидова пространства как часть прямой.

Отсюда следует, что существует ровно одна прямая, которая проходит через две различные точки (содержит их). Это означает, что две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Более симметричное представление линии, проходящей через $P$ и $Q,$ — это

{\Bigl \{}O+(1-\lambda){\overrightarrow {OP}}+\lambda {\overrightarrow {OQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} { \Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}

где $O$ — произвольная точка (не обязательно на прямой).

В евклидовом векторном пространстве нулевой вектор обычно выбирается для $O$ ; это позволяет упростить предыдущую формулу до

{\bigl \{}(1-\lambda)P+\lambda Q\mathrel {\big |} \lambda \in \mathbb {R} {\bigr \}}.

Стандартное соглашение позволяет использовать эту формулу в каждом евклидовом пространстве, см. Аффинное пространство § Аффинные комбинации и барицентр .

Отрезок прямой или просто сегмент , соединяющий точки $P$ и $Q$ , представляет собой подмножество точек таких, что $0 \leq 𝜆 \leq 1$ в предыдущих формулах. Его обозначают $PQ$ или $QP$ ; то есть

PQ=QP={\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1 {\Bigr \}}.{\vphantom {\ фракционный {(}{}}}

Параллелизм

Два подпространства $S$ и $T$ одной и той же размерности в евклидовом пространстве параллельны , если они имеют одно и то же направление (т. е. одно и то же связанное векторное пространство). ^[a] Эквивалентно, они параллельны, если существует вектор перевода $v$ , который отображает один в другой:

T=S+v.

Учитывая точку $P$ и подпространство $S$ , существует ровно одно подпространство, которое содержит $P$ и параллельно $S$ , что является В случае, когда $S$ является линией (подпространство размерности один), это свойство является аксиомой Плейфэра . $P+{\overrightarrow {S}}.$

Отсюда следует, что на евклидовой плоскости две прямые либо встречаются в одной точке, либо параллельны.

Понятие параллельных подпространств было распространено на подпространства разных размерностей: два подпространства параллельны, если направление одного из них содержится в направлении к другому.

Метрическая структура

Векторное пространство , связанное с евклидовым пространством $E,$ является пространством внутреннего произведения . Отсюда следует симметричная билинейная форма ${\overrightarrow {E}}$

{\begin{aligned}{\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {E}} &\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto \langle x,y\rangle \end{выровнено}}

это положительно определенное значение (то есть всегда положительное при $x$ $\neq 0$ ). $\langle x,x\rangle$

Внутренний продукт евклидова пространства часто называют скалярным произведением и обозначают $x \cdot y$ . Это особенно актуально, когда была выбрана декартова система координат , поскольку в этом случае скалярное произведение двух векторов является скалярным произведением их координатных векторов . По этой причине, а также по историческим причинам, точечная запись используется чаще, чем скобочная запись для внутреннего произведения евклидовых пространств. Эта статья будет следовать этому использованию; то есть в оставшейся части статьи будет обозначаться $x$ $\cdot$ $y .$ $\langle x,y\rangle$

Евклидова норма вектора $x$ равна

\|x\|={\sqrt {x\cdot x}}.

Внутренний продукт и норма позволяют выразить и доказать метрические и топологические свойства евклидовой геометрии . В следующем подразделе описаны наиболее фундаментальные из них. В этих подразделах $E$ обозначает произвольное евклидово пространство и обозначает его векторное пространство сдвигов. ${\overrightarrow {E}}$

Расстояние и длина

Расстояние (точнее, евклидово расстояние ) между двумя точками евклидова пространства — это норма вектора перемещения, который отображает одну точку в другую; то есть

d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\Bigr \|}.{\vphantom {\frac {(}{}}}

Длина отрезка $PQ$ — это расстояние $d (P, Q)$ между его концами P и Q. Его часто обозначают . $|PQ|$

Расстояние является метрикой , поскольку оно положительно определено, симметрично и удовлетворяет неравенству треугольника.

{\ displaystyle d (P, Q) \ leq d (P, R) + d (R, Q).}

При этом равенство истинно тогда и только тогда, когда точка $R$ принадлежит отрезку $PQ$ . Это неравенство означает, что длина любого ребра треугольника меньше суммы длин остальных ребер. Отсюда и возник термин « неравенство треугольника» .

Благодаря евклидову расстоянию каждое евклидово пространство является полным метрическим пространством .

Ортогональность

Два ненулевых вектора $u$ и $v$ ( ассоциированного векторного пространства евклидова пространства $E$ ) перпендикулярны или ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю: ${\overrightarrow {E}}$

u\cdot v=0

Два линейных подпространства ортогональны, если каждый ненулевой вектор первого перпендикулярен каждому ненулевому вектору второго. Это означает, что пересечение линейных подпространств сводится к нулевому вектору. ${\overrightarrow {E}}$

Две линии и, в более общем смысле, два евклидовых подпространства (линию можно рассматривать как одно евклидово подпространство) ортогональны, если их направления (ассоциированные векторные пространства евклидовых подпространств) ортогональны. Две пересекающиеся ортогональные прямые называются перпендикулярными .

Два отрезка $AB$ и $AC$ , имеющие общую конечную точку $A,$ перпендикулярны или образуют прямой угол, если векторы и ортогональны. ${\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {)}{}}}$ ${\overrightarrow {AC}}{\vphantom {\frac {)}{}}}$

Если $AB$ и $AC$ образуют прямой угол, то

|BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.

Это теорема Пифагора . В этом контексте его доказательство легко, так как, выражая это через внутренний продукт, используя билинейность и симметрию внутреннего продукта, получим:

{\begin{aligned}|BC|^{2}&={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}{\vphantom {\frac {(}{}}}\\[ 2mu]&={\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC} }{\Bigr )}\\[4mu]&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}-2{\ overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}

Здесь используется, поскольку эти два вектора ортогональны. ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0{\vphantom {\frac {(}{}}}$

Угол

(Неориентированный) угол $θ$ между двумя ненулевыми векторами $x$ и $y$ в равен ${\overrightarrow {E}}$

\theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}\right)

где $arccos$ — главное значение функции арккосинус . По неравенству Коши–Шварца аргумент арккосинуса находится в интервале $[-1, 1]$ . Следовательно $, θ$ вещественно, и $0 \leq θ \leq π$ (или $0 \leq θ \leq 180$ , если углы измеряются в градусах).

Углы бесполезны в евклидовой прямой, поскольку они могут быть только 0 или $π$ .

В ориентированной евклидовой плоскости можно определить ориентированный угол двух векторов. Угол ориентации двух векторов $x$ и $y$ тогда противоположен углу ориентации $y$ и $x$ . В этом случае угол двух векторов может иметь любое значение по модулю целого числа, кратного $2 π$ . В частности, рефлекторный угол $π < θ < 2 π$ равен отрицательному углу $- π < θ - 2 π < 0$ .

Угол двух векторов не изменится, если их умножить на положительные числа. Точнее, если $x$ и $y$ — два вектора, а $λ$ и $μ$ — действительные числа, то

\operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{if }}\lambda {\text{ and }}\mu {\text{ have the same sign}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{otherwise}}.\end{cases}}

Если $A$ , $B$ и $C$ — три точки евклидова пространства, угол отрезков $AB$ и $AC$ — это угол векторов , а поскольку умножение векторов на положительные числа не меняет угол, то угол двух половинных линии с начальной точкой $А$ можно определить: это угол отрезков $AB$ и $AC$ , где $B$ и $C$ — произвольные точки, по одной на каждой полупрямой. Хотя это используется реже, аналогичным образом можно определить угол сегментов или полупрямых, которые не имеют общей начальной точки. ${\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {(}{}}}$ ${\overrightarrow {AC}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}$

Угол двух линий определяется следующим образом. Если $θ$ — угол двух сегментов, по одному на каждой прямой, угол любых двух других сегментов, по одному на каждой прямой, равен либо $θ$ , либо $π - θ$ . Один из этих углов находится в интервале $[0, π /2]$ , а другой — в $[π /2, π]$ . Неориентированный угол двух линий находится в интервале $[0, π /2]$ . В ориентированной евклидовой плоскости ориентированный угол двух прямых принадлежит интервалу $[- π /2, π /2]$ .

Декартовы координаты

Каждое евклидово векторное пространство имеет ортонормированный базис (фактически их бесконечно много в размерности выше единицы и два в размерности один), то есть базис из единичных векторов ( ), которые попарно ортогональны ( для $i$ $\neq$ $j$ ). Точнее, для любого базиса процесс Грама – Шмидта вычисляет ортонормированный базис такой, что для каждого $i$ линейные промежутки и равны . ^[7] $(e_{1},\dots ,e_{n})$ $\|e_{i}\|=1$ $e_{i}\cdot e_{j}=0$ $(b_{1},\dots ,b_{n}),$ $(e_{1},\dots ,e_{i})$ $(b_{1},\dots ,b_{i})$

Учитывая евклидово пространство $E$ , декартова система координат представляет собой набор данных , состоящий из ортонормированного базиса и точки $E$ , называемой началом координат и часто обозначаемой $O.$ Декартова система координат позволяет определить декартовы координаты как для $E$ , так и следующим образом. ${\overrightarrow {E}},$ $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$ ${\overrightarrow {E}}$

Декартовы координаты вектора $v$ являются коэффициентами $v$ на ортонормированном базисе. Например, декартовы координаты вектора на ортонормированном базисе (которые можно назвать соглашением) в трехмерном евклидовом пространстве — это if . Поскольку базис ортонормирован, $i$ -й коэффициент равен скалярному произведению ${\overrightarrow {E}}$ $e_{1},\dots ,e_{n}.$ $v$ $(e_{1},e_{2},e_{3})$ $(x,y,z)$ $(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})$ $v=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\alpha _{3}e_{3}$ $\alpha _{i}$ $v\cdot e_{i}.$

Декартовы координаты точки $P$ точки $E$ являются декартовыми координатами вектора ${\overrightarrow {OP}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}$

Другие координаты

Поскольку евклидово пространство является аффинным пространством , на нем можно рассмотреть аффинный фрейм , который аналогичен евклидову фрейму, за исключением того, что базис не обязан быть ортонормированным. Это определяет аффинные координаты , иногда называемые косыми координатами , чтобы подчеркнуть, что базисные векторы не попарно ортогональны.

Аффинным базисом евклидова пространства размерности $n$ называется множество из $n + 1$ точек, не содержащихся в гиперплоскости. Аффинный базис определяет барицентрические координаты для каждой точки.

Многие другие системы координат могут быть определены в евклидовом пространстве $E$ размерности $n$ следующим образом. Пусть $f$ — гомеоморфизм (или, чаще, диффеоморфизм ) плотного открытого подмножества E $в$ открытое подмножество $E.$ Координаты точки $x$ из E являются компонентами $f$ $($ $x$ $)$ . Таким образом определяются полярная система координат (размер 2), а также сферическая и цилиндрическая системы координат ( размер 3 ) . $\mathbb {R} ^{n}.$

Для точек, находящихся вне области определения $f$ , координаты иногда могут определяться как предел координат соседних точек, но эти координаты могут не определяться однозначно и не могут быть непрерывными в окрестности точки. Например, для сферической системы координат долгота не определена на полюсе, а на антимеридиане долгота проходит скачком от –180° до +180°.

Этот способ определения координат легко распространяется на другие математические структуры, в частности на многообразия .

Изометрии

Изометрия между двумя метрическими пространствами — это биекция , сохраняющая расстояние ^[b] , то есть

d(f(x),f(y))=d(x,y).

В случае евклидова векторного пространства изометрия, отображающая начало координат в начало координат, сохраняет норму

\|f(x)\|=\|x\|,

поскольку нормой вектора является его расстояние от нулевого вектора. Он также сохраняет внутренний продукт

f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,

x\cdot y={\tfrac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).

Изометрия евклидовых векторных пространств — это линейный изоморфизм . ^[с]^[8]

Изометрия евклидовых пространств определяет изометрию связанных евклидовых векторных пространств. Это означает, что два изометрических евклидовых пространства имеют одинаковую размерность. И наоборот, если $E$ и $F$ — евклидовы пространства, $O$ $\in$ $E$ , $O$ $'$ $\in$ $F$ и является изометрией, то отображение, определенное формулой $f\colon E\to F$ ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ ${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$ $f\colon E\to F$

f(P)=O'+{\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}{\vphantom {\frac {(}{}}}

является изометрией евклидовых пространств.

Из предыдущих результатов следует, что изометрия евклидовых пространств отображает линии в линии и, в более общем смысле, евклидовы подпространства в евклидовы подпространства той же размерности, и что ограничением изометрии на эти подпространства являются изометрии этих подпространств.

Изометрия с прототипными примерами

Если $E$ — евклидово пространство, связанное с ним векторное пространство можно рассматривать как евклидово пространство. Каждая точка $O$ $\in$ $E$ определяет изометрию евклидовых пространств ${\overrightarrow {E}}$

P\mapsto {\overrightarrow {OP}},{\vphantom {\frac {(}{}}}

который отображает $O$ в нулевой вектор и имеет идентичность связанной линейной карты. Обратная изометрия - это карта

v\mapsto O+v.

Евклидова рамка позволяет определить карту $(O,e_{1},\dots ,e_{n})$

{\begin{aligned}E&\to \mathbb {R} ^{n}\\P&\mapsto {\Bigl (}e_{1}\cdot {\overrightarrow {OP}},\dots ,e_{n}\cdot {\overrightarrow {OP}}{\Bigr )},{\vphantom {\frac {(}{}}}\end{aligned}}

которое является изометрией евклидовых пространств. Обратная изометрия – это

{\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to E\\(x_{1}\dots ,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end{aligned}}

Это означает, что с точностью до изоморфизма существует ровно одно евклидово пространство данной размерности.

Это оправдывает то, что многие авторы называют евклидовым пространством размерности $n$ . $\mathbb {R} ^{n}$

Евклидова группа

Изометрия евклидова пространства на себя называется евклидовой изометрией , евклидовым преобразованием или жестким преобразованием . Жесткие преобразования евклидова пространства образуют группу (при композиции ), называемую евклидовой группой и часто обозначаемую $E(n)$ из $ISO(n)$ .

Простейшие евклидовы преобразования — это переводы.

P\to P+v.

Они находятся в биективном соответствии с векторами. По этой причине пространством переводов называют векторное пространство, связанное с евклидовым пространством. Переводы образуют нормальную подгруппу евклидовой группы.

Евклидова изометрия $f$ евклидова пространства $E$ определяет линейную изометрию ассоциированного векторного пространства (под линейной изометрией понимают изометрию, которая также является линейным отображением ) следующим образом: обозначив через $Q$ $-$ $P$ вектор , если $O$ есть произвольную точку $E$ , имеем ${\overrightarrow {f}}$ ${\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {(}{}}}$

{\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}

Непосредственно доказывается, что это линейное отображение, не зависящее от выбора $O.$

Отображение представляет собой групповой гомоморфизм евклидовой группы на группу линейных изометрий, называемую ортогональной группой . Ядром этого гомоморфизма является группа трансляции, что показывает, что это нормальная подгруппа евклидовой группы. $f\to {\overrightarrow {f}}$

Изометрии, фиксирующие данную точку $P,$ образуют подгруппу стабилизатора евклидовой группы относительно $P$ . Ограничение на этот стабилизатор вышеуказанного группового гомоморфизма является изоморфизмом. Таким образом, изометрии, фиксирующие данную точку, образуют группу, изоморфную ортогональной группе.

Пусть $P$ — точка, $f$ — изометрия, а $t —$ сдвиг, который отображает $P$ в $f (P)$ . Изометрия фиксирует $P$ . Итак , евклидова группа является полупрямым произведением группы трансляции и ортогональной группы. $g=t^{-1}\circ f$ $f=t\circ g,$

Специальная ортогональная группа — это нормальная подгруппа ортогональной группы, сохраняющая направленность . Это подгруппа индекса два ортогональной группы. Ее прообраз по гомоморфизму группы — это нормальная подгруппа индекса два евклидовой группы, которая называется специальной евклидовой группой или группой смещения . Его элементы называются жесткими движениями или перемещениями . $f\to {\overrightarrow {f}}$

К жестким движениям относятся тождество , перемещения, вращения (жесткие движения, фиксирующие хотя бы точку), а также винтовые движения .

Типичными примерами жестких преобразований, которые не являются жесткими движениями, являются отражения , которые представляют собой жесткие преобразования, фиксирующие гиперплоскость и не являющиеся тождественными. Это также преобразования, заключающиеся в изменении знака одной координаты в некоторой евклидовой системе отсчёта.

Поскольку специальная евклидова группа является подгруппой индекса два евклидовой группы с учетом отражения $r$ , каждое жесткое преобразование, которое не является жестким движением, является продуктом $r$ и жесткого движения. Отражение скольжения — это пример жесткой трансформации, которая не является жестким движением или отражением.

Все группы, рассмотренные в этом разделе, являются группами Ли и алгебраическими группами .

Топология

Евклидово расстояние делает евклидово пространство метрическим пространством и, следовательно, топологическим пространством . Эта топология называется евклидовой топологией . В случае этой топологии также используется топология продукта . $\mathbb {R} ^{n},$

Открытые множества — это подмножества, которые содержат открытый шар вокруг каждой из своих точек. Другими словами, открытые шары составляют основу топологии .

Топологическая размерность евклидова пространства равна его размерности. Отсюда следует, что евклидовы пространства различных размерностей не гомеоморфны . Более того, теорема инвариантности области утверждает, что подмножество евклидова пространства открыто (для топологии подпространства ) тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно открытому подмножеству евклидова пространства той же размерности.

Евклидовы пространства полны и локально компактны . То есть замкнутое подмножество евклидова пространства компактно, если оно ограничено (т. е. содержится в шаре). В частности, закрытые шары компактны.

Аксиоматические определения

Определение евклидовых пространств, описанное в этой статье, принципиально отличается от определения Евклида . В действительности Евклид не давал формального определения пространства, поскольку оно мыслилось как описание физического мира, существующего независимо от человеческого разума. Необходимость формального определения появилась только в конце 19 века, с введением неевклидовой геометрии .

Были использованы два разных подхода. Феликс Кляйн предложил определять геометрию через ее симметрию . Представление евклидовых пространств, данное в этой статье, по существу взято из его программы Эрлангена с упором на группы сдвигов и изометрий.

С другой стороны, Давид Гильберт предложил набор аксиом , вдохновленный постулатами Евклида . Они принадлежат синтетической геометрии , так как не предполагают какого-либо определения действительных чисел . Позже Г. Д. Биркгоф и Альфред Тарский предложили более простые наборы аксиом, в которых используются действительные числа (см. Аксиомы Биркгофа и Аксиомы Тарского ).

В «Геометрической алгебре» Эмиль Артин доказал, что все эти определения евклидова пространства эквивалентны. ^[9] Довольно легко доказать, что все определения евклидовых пространств удовлетворяют аксиомам Гильберта и что определения, включающие действительные числа (включая данное выше определение), эквивалентны. Трудная часть доказательства Артина состоит в следующем. В аксиомах Гильберта конгруэнтность — это отношение эквивалентности на отрезках. Таким образом, можно определить длину отрезка как его класс эквивалентности. Таким образом, необходимо доказать, что эта длина удовлетворяет свойствам, характеризующим неотрицательные действительные числа. Артин доказал это с помощью аксиом, эквивалентных аксиомам Гильберта.

Применение

Со времен древних греков евклидово пространство использовалось для моделирования форм физического мира. Таким образом, он используется во многих науках , таких как физика , механика и астрономия . Он также широко используется во всех технических областях, связанных с формами, фигурами, местоположением и положением, таких как архитектура , геодезия , топография , навигация , промышленный дизайн или технический рисунок .

Пространство измерений выше трех встречается в нескольких современных теориях физики; см. Высшее измерение . Они встречаются также в конфигурационных пространствах физических систем .

Помимо евклидовой геометрии , евклидовы пространства также широко используются в других областях математики. Касательные пространства дифференцируемых многообразий являются евклидовыми векторными пространствами. В более общем смысле многообразие — это пространство, локально аппроксимируемое евклидовыми пространствами. Большинство неевклидовых геометрий можно смоделировать с помощью многообразия и внедрить в евклидово пространство более высокой размерности. Например, эллиптическое пространство можно смоделировать эллипсоидом . В евклидовом пространстве принято представлять математические объекты, априори не имеющие геометрической природы. Примером среди многих является обычное представление графов .

Другие геометрические пространства

С момента появления в конце XIX века неевклидовых геометрий было рассмотрено множество видов пространств, о которых можно делать геометрические рассуждения так же, как и о евклидовых пространствах. В целом они имеют некоторые общие свойства с евклидовыми пространствами, но могут также иметь свойства, которые могут показаться довольно странными. Некоторые из этих пространств используют для своего определения евклидову геометрию или могут быть смоделированы как подпространства евклидова пространства более высокой размерности. Когда такое пространство определяется геометрическими аксиомами , вложение пространства в евклидово пространство является стандартным способом доказательства непротиворечивости его определения или, точнее, доказательства непротиворечивости его теории, если евклидова геометрия непротиворечива (что невозможно доказать). ).

Аффинное пространство

Евклидово пространство — это аффинное пространство, снабженное метрикой . Аффинные пространства имеют множество других применений в математике. В частности, поскольку они определены для любого поля , они позволяют выполнять геометрию в других контекстах.

При рассмотрении нелинейных вопросов обычно полезно рассматривать аффинные пространства над комплексными числами как расширение евклидовых пространств. Например, окружность и прямая всегда имеют две точки пересечения (возможно, не разные) в комплексном аффинном пространстве. Поэтому большая часть алгебраической геометрии построена в комплексных аффинных пространствах и аффинных пространствах над алгебраически замкнутыми полями . Поэтому формы, изучаемые в алгебраической геометрии в этих аффинных пространствах, называются аффинными алгебраическими многообразиями .

Аффинные пространства над рациональными числами и, в более общем плане, над полями алгебраических чисел обеспечивают связь между (алгебраической) геометрией и теорией чисел . Например, Великую теорему Ферма можно сформулировать: « Кривая Ферма степени выше двух не имеет точки в аффинной плоскости над рациональными числами».

Геометрия в аффинных пространствах над конечными полями также широко изучается. Например, в криптографии широко используются эллиптические кривые над конечными полями .

Проективное пространство

Первоначально проективные пространства были введены путем добавления « бесконечных точек » к евклидовым пространствам и, в более общем плане, к аффинным пространствам, чтобы сделать утверждение «две копланарные прямые пересекаются ровно в одной точке». Проективное пространство разделяет с евклидовым и аффинным пространствами свойство изотропности , то есть у пространства нет свойства, позволяющего различать две точки или две прямые. Поэтому обычно используется более изотропное определение, которое заключается в определении проективного пространства как набора векторных линий в векторном пространстве размерности на единицу больше.

Что касается аффинных пространств, проективные пространства определены над любым полем и являются фундаментальными пространствами алгебраической геометрии .

Неевклидовы геометрии

Неевклидова геометрия обычно относится к геометрическим пространствам, в которых постулат о параллельности неверен. К ним относятся эллиптическая геометрия , где сумма углов треугольника больше 180°, и гиперболическая геометрия , где эта сумма меньше 180°. Их введение во второй половине XIX века и доказательство непротиворечивости их теории ( если евклидова геометрия не противоречива) представляет собой один из парадоксов, лежащих в основе фундаментального кризиса математики начала XX века. мотивировал систематизацию аксиоматических теорий в математике.

Изогнутые пространства

Многообразие — это пространство , которое в окрестности каждой точки напоминает евклидово пространство. Говоря техническим языком, многообразие — это топологическое пространство , в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную открытому подмножеству евклидова пространства. Многообразия можно классифицировать по возрастанию степени этого «сходства» на топологические многообразия , дифференцируемые многообразия , гладкие многообразия и аналитические многообразия . Однако ни один из этих типов «сходства» не учитывает расстояния и углы, даже приблизительно.

Расстояния и углы могут быть определены на гладком многообразии, предоставив плавно меняющуюся евклидову метрику на касательных пространствах в точках многообразия (таким образом, эти касательные пространства являются евклидовыми векторными пространствами). В результате получается риманово многообразие . Вообще говоря, в римановом многообразии прямых линий не существует, но их роль играют геодезические , которые представляют собой «кратчайшие пути» между двумя точками. Это позволяет определить расстояния, измеряемые вдоль геодезических, и углы между геодезическими, которые представляют собой углы их касательных в касательном пространстве при их пересечении. Итак, римановы многообразия локально ведут себя как изогнутое евклидово пространство.

Евклидовы пространства являются тривиально римановыми многообразиями. Примером, хорошо иллюстрирующим это, является поверхность сферы . В данном случае геодезические представляют собой дуги большого круга , которые в контексте навигации называются ортодромами . В более общем смысле пространства неевклидовой геометрии можно реализовать как римановы многообразия.

Псевдоевклидово пространство

Внутренний продукт вещественного векторного пространства представляет собой положительно определенную билинейную форму и поэтому характеризуется положительно определенной квадратичной формой . Псевдоевклидово пространство — это аффинное пространство с соответствующим вещественным векторным пространством, снабженным невырожденной квадратичной формой (которая может быть неопределенной ).

Фундаментальным примером такого пространства является пространство Минковского , которое является пространством-временем специальной теории относительности Эйнштейна . Это четырехмерное пространство, метрика которого определяется квадратичной формой

x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},

где последняя координата ( t ) является временной, а остальные три ( x , y , z ) — пространственными.

Чтобы принять во внимание гравитацию , общая теория относительности использует псевдориманово многообразие , касательное пространство которого имеет пространства Минковского . Кривизна этого многообразия в точке является функцией величины гравитационного поля в этой точке.

Смотрите также

Гильбертово пространство , обобщение на бесконечную размерность , используемое в функциональном анализе.
Позиционное пространство , приложение в физике.

Сноски

^ От контекста или автора может зависеть, параллельно ли подпространство самому себе.
^ Если условие биекции удалено, функция, сохраняющая расстояние, обязательно будет инъективной и представляет собой изометрию от своей области определения к ее образу.
^ Доказательство: это нужно доказать . Для этого достаточно доказать, что квадрат нормы левой части равен нулю. Используя билинейность внутреннего продукта, этот квадрат нормы можно разложить в линейную комбинацию и Поскольку $f$ является изометрией, это дает линейную комбинацию и , которая упрощается до нуля. $f(\lambda x+\mu y)-\lambda f(x)-\mu f(y)=0$ $\|f(x)\|^{2},$ $\|f(y)\|^{2},$ $f(x)\cdot f(y).$ $\|x\|^{2},\|y\|^{2},$ $x\cdot y,$