Изображение прямоугольной сетки на квадрате при диффеоморфизме квадрата на себя.
Определение
Учитывая два многообразия и , дифференцируемое отображение называется диффеоморфизмом , если оно является биекцией и ее обратная также дифференцируема. Если эти функции являются временами непрерывно дифференцируемыми, то называется -диффеоморфизмом .
Два многообразия и диффеоморфны (обычно обозначаются ) , если существует диффеоморфизм от до . Они являются диффеоморфными , если между ними существует непрерывно дифференцируемое биективное отображение, обратное которому также непрерывно дифференцируемо.
Диффеоморфизмы подмножеств многообразий
Учитывая подмножество многообразия и подмножество многообразия , функция называется гладкой, если для всех существует окрестность и гладкая функция , такие что ограничения совпадают: (обратите внимание, что это расширение ). Функция называется диффеоморфизмом, если она биективна, гладка и обратная к ней гладка.
Для того чтобы функция была глобально обратимой, необходимо быть односвязным (при единственном условии, что ее производная является биективным отображением в каждой точке). Например, рассмотрим «реализацию» функции комплексного квадрата.
Тогда сюръективно и удовлетворяет
Таким образом, хотя он и биективен в каждой точке, он не обратим, поскольку не может быть инъективным (например, ).
Второе замечание
Поскольку дифференциал в точке (для дифференцируемой функции)
является линейным отображением , оно имеет четко определенное обратное тогда и только тогда, когда является биекцией. Матричное представление — это матрица частных производных первого порядка , запись которой в -й строке и -м столбце равна . Эта так называемая матрица Якоби часто используется для явных вычислений.
Третье замечание
Диффеоморфизмы обязательно возникают между многообразиями одной и той же размерности . Представьте себе, что вы перемещаетесь из измерения в измерение . If then никогда не могло быть сюръективным, и if then никогда не могло быть инъективным. Следовательно, в обоих случаях оно не является биекцией.
Четвертое замечание
Если является биекцией в , то говорят, что это локальный диффеоморфизм (поскольку по непрерывности он также будет биективным для всех достаточно близких к ).
Пятое замечание
Учитывая гладкое отображение из измерения в измерение , если (или, локально, ) сюръективно, говорят, что это погружение (или, локально, «локальное погружение»); и если (или, локально, ) инъективно, то говорят, что это погружение (или, локально, «локальное погружение»).
Шестое замечание
Дифференцируемая биекция не обязательно является диффеоморфизмом. , например, не является диффеоморфизмом из в себя, поскольку его производная обращается в нуль в точке 0 (и, следовательно, ее обратная функция не дифференцируема в точке 0). Это пример гомеоморфизма , который не является диффеоморфизмом.
Седьмое замечание
Когда есть отображение между дифференцируемыми многообразиями, диффеоморфное является более сильным условием, чем гомеоморфное . Для диффеоморфизма и обратного ему необходимо быть дифференцируемыми ; для гомеоморфизма, и его обратный должен быть только непрерывным . Каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, но не всякий гомеоморфизм является диффеоморфизмом.
называется диффеоморфизмом , если в координатных картах он удовлетворяет приведенному выше определению. Точнее: выберите любое покрытие по совместимым координатным картам и проделайте то же самое для . Пусть и – графики соответственно и , с и as соответственно изображениями и . Тогда отображение является диффеоморфизмом, как в приведенном выше определении, всякий раз, когда .
Примеры
Поскольку любое многообразие может быть локально параметризовано, мы можем рассмотреть некоторые явные отображения из в .
Позволять
Мы можем вычислить матрицу Якобиана:
Матрица Якобиана имеет нулевой определитель тогда и только тогда, когда . Мы видим, что это может быть только диффеоморфизм вдали от -оси и -оси. Однако не является биективным, так как и, следовательно, не может быть диффеоморфизмом.
Позволять
где и — произвольные действительные числа , а опущенные члены имеют степень не ниже двух по x и y . Мы можем вычислить матрицу Якобиана в 0 :
Мы видим, что g является локальным диффеоморфизмом в точке 0 тогда и только тогда, когда
т.е. линейные члены в компонентах g линейно независимы как полиномы .
Позволять
Мы можем вычислить матрицу Якобиана:
Матрица Якобиана везде имеет нулевой определитель! Фактически мы видим, что образ h — это единичный круг .
Деформации поверхности
В механике преобразование, вызванное напряжением, называется деформацией и может быть описано диффеоморфизмом. Диффеоморфизм между двумя поверхностями и имеет матрицу Якоби , которая является обратимой матрицей . Фактически требуется, чтобы при существовала окрестность , в которой якобиан оставался неособым . Предположим, что на карте поверхности
Тогда образ представляет собой линейное преобразование , фиксирующее начало координат и выражаемое как действие комплексного числа определенного типа. Когда ( dx , dy ) также интерпретируется как комплексное число этого типа, действие представляет собой комплексное умножение в соответствующей плоскости комплексных чисел. Таким образом, существует тип угла ( евклидов , гиперболический или наклонный ), который сохраняется при таком умножении. Поскольку Df обратим, тип комплексного числа однороден по всей поверхности. Следовательно, поверхностная деформация или диффеоморфизм поверхностей обладает конформным свойством сохранения (соответствующего типа) углов.
Группа диффеоморфизмов
Пусть – дифференцируемое многообразие, счетное по секундам и хаусдорфово . Группа диффеоморфизмов — это группа всех диффеоморфизмов самого себя, обозначаемая или, если это понимать, . Это «большая» группа в том смысле, что — если она не нульмерна — она не является локально компактной .
Топология
Группа диффеоморфизмов имеет две естественные топологии : слабую и сильную (Hirsch 1997). Когда многообразие компактно , эти две топологии согласуются. Слабая топология всегда метризуема . Когда многообразие некомпактно, сильная топология отражает поведение функций «на бесконечности» и не метризуема. Однако это все еще Бэр .
При фиксировании римановой метрики на слабой топологией называется топология, индуцированная семейством метрик
как изменяется по компактным подмножествам . Действительно, поскольку -компактно , существует последовательность компактных подмножеств , объединение которых равно . Затем:
Группа диффеоморфизмов, оснащенная своей слабой топологией, локально гомеоморфна пространству векторных полей (Лесли, 1967). Над компактным подмножеством это следует путем фиксации римановой метрики и использования экспоненциального отображения для этой метрики. Если конечно и многообразие компактно, то пространство векторных полей является банаховым пространством . Более того, отображения перехода от одной карты этого атласа к другой являются гладкими, что превращает группу диффеоморфизмов в банахово многообразие с гладкими правыми сдвигами; левые сдвиги и инверсии являются только непрерывными. Если , то пространство векторных полей является пространством Фреше . Более того, отображения перехода гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в многообразие Фреше и даже в регулярную группу Ли Фреше . Если многообразие -компактно и некомпактно, полная группа диффеоморфизмов не является локально стягиваемой ни для одной из двух топологий. Чтобы получить группу диффеоморфизмов, которая является многообразием, необходимо ограничить группу, контролируя отклонение от идентичности вблизи бесконечности; см. (Мичор и Мамфорд, 2013).
Алгебра Ли
Алгебра Ли группы диффеоморфизмов состоит из всех векторных полей , снабженных скобкой Ли векторных полей . Несколько формально это можно увидеть, внося небольшое изменение координаты в каждой точке пространства:
поэтому бесконечно малые генераторы - это векторные поля
Примеры
Когда группа Ли , существует естественное включение в ее собственную группу диффеоморфизмов посредством левого перевода. Пусть обозначает группу диффеоморфизмов , тогда существует расщепление , где – подгруппа , фиксирующая единицу группы.
Группа диффеоморфизмов евклидова пространства состоит из двух компонентов, состоящих из диффеоморфизмов, сохраняющих и обращающих ориентацию. Фактически, общая линейная группа является деформационным ретрактом подгруппы диффеоморфизмов, фиксирующих начало координат при отображении . В частности, общая линейная группа также является деформационным ретрактом полной группы диффеоморфизмов.
Для конечного набора точек группа диффеоморфизмов — это просто симметрическая группа . Аналогично, если есть какое-либо многообразие, то существует групповое расширение . Вот подгруппа , которая сохраняет все компоненты , и группа перестановок набора (компоненты ). Более того, образ отображения — это биекции, сохраняющие классы диффеоморфизма.
Транзитивность
Для связного многообразия группа диффеоморфизмов действует на нем транзитивно . В более общем смысле группа диффеоморфизмов действует транзитивно в конфигурационном пространстве . Если группа диффеоморфизмов хотя бы двумерна, она действует транзитивно в конфигурационном пространстве , а действие на многократно транзитивно (Баньяга 1997, стр. 29).
Расширения диффеоморфизмов
В 1926 году Тибор Радо спросил, дает ли гармоническое расширение любого гомеоморфизма или диффеоморфизма единичной окружности до единичного круга диффеоморфизм на открытом диске. Элегантное доказательство было вскоре предоставлено Хельмутом Кнезером . В 1945 году Гюстав Шоке , видимо, не зная об этом результате, привел совершенно другое доказательство.
Группа диффеоморфизмов окружности (сохраняющая ориентацию) линейно связна. В этом можно убедиться, заметив, что любой такой диффеоморфизм можно поднять до диффеоморфизма действительных чисел, удовлетворяющих ; это пространство выпукло и, следовательно, линейно связно. Гладкий, в конечном счете постоянный путь к тождеству дает второй, более элементарный способ расширения диффеоморфизма от круга до открытого единичного круга (частный случай трюка Александера ) . Более того, группа диффеоморфизмов окружности имеет гомотопический тип ортогональной группы .
Соответствующая проблема расширения диффеоморфизмов сфер более высокой размерности широко изучалась в 1950-х и 1960-х годах с заметным вкладом Рене Тома , Джона Милнора и Стивена Смейла . Препятствием таким расширениям является конечная абелева группа , « группа скрученных сфер », определяемая как факторгруппа абелевой компоненты группы диффеоморфизмов по подгруппе классов, расширяющихся до диффеоморфизмов шара .
Группа диффеоморфизмов имеет гомотопический тип подгруппы . Это доказал Стив Смейл. [2]
Группа диффеоморфизмов тора имеет гомотопический тип своих линейных автоморфизмов : .
Группы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей рода имеют гомотопический тип своих групп классов отображений (т. е. компоненты стягиваемы).
Гомотопический тип групп диффеоморфизмов 3-многообразий довольно хорошо понятен благодаря работам Иванова, Хэтчера, Габая и Рубинштейна, хотя есть несколько выдающихся открытых случаев (в первую очередь 3-многообразия с конечными фундаментальными группами ).
Гомотопический тип групп диффеоморфизмов -многообразий для мало изучен. Например, остается открытой проблема, имеет ли он более двух компонентов. Однако через Милнора, Кана и Антонелли известно, что при условии , не имеет гомотопического типа конечного CW-комплекса .
Гомеоморфизм и диффеоморфизм
Поскольку всякий диффеоморфизм является гомеоморфизмом, то для пары многообразий, диффеоморфных друг другу, они, в частности, гомеоморфны друг другу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Хотя найти гомеоморфизмы, не являющиеся диффеоморфизмами, легко, труднее найти пару гомеоморфных многообразий, которые не являются диффеоморфными. В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных гладких многообразий диффеоморфна. В размерности 4 и выше существуют примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных пар. Первый такой пример был построен Джоном Милнором в размерности 7. Он построил гладкое 7-мерное многообразие (называемое теперь сферой Милнора ), которое гомеоморфно стандартной 7-сфере, но не диффеоморфно ей. Фактически существует 28 классов ориентированных диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных 7-сфере (каждый из них представляет собой полное пространство расслоения над 4-сферой с 3-сферой в качестве слоя).
Более необычные явления происходят для 4-многообразий . В начале 1980-х годов комбинация результатов Саймона Дональдсона и Майкла Фридмана привела к открытию экзотики : существует несчетное множество попарно недиффеоморфных открытых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно , а также существует несчетное множество попарно недиффеоморфных открытых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно . диффеоморфные дифференцируемые многообразия, гомеоморфные этому, не вкладываются гладко в .
^ Стивен Г. Кранц; Гарольд Р. Паркс (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения . Спрингер. п. Теорема 6.2.4. ISBN 978-1-4614-5980-4.
Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения . Современная классика Биркхойзера. Бостон. ISBN 978-1-4614-5980-4.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Чаудхури, Шьямоли; Каваи, Хикару; Тай, С.-Х. Генри (15 августа 1987 г.). «Формулировка замкнутых струн, интегральная по траекториям» (PDF) . Физический обзор D . 36 (4): 1148–1168. Бибкод : 1987PhRvD..36.1148C. doi :10.1103/physrevd.36.1148. ISSN 0556-2821. PMID 9958280. S2CID 41709882. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.
Баньяга, Огюстен (1997), Структура классических групп диффеоморфизмов , Математика и ее приложения, том. 400, Клювер Академик, ISBN 0-7923-4475-8
Дюрен, Питер Л. (2004), Гармонические отображения на плоскости , Cambridge Mathematical Tracts, vol. 156, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-64121-7
Кригль, Андреас; Михор, Питер (1997), Удобная настройка глобального анализа , Математические обзоры и монографии, том. 53, Американское математическое общество, ISBN.0-8218-0780-3
Лесли, Дж. А. (1967), «О дифференциальной структуре группы диффеоморфизмов», Топология , 6 (2): 263–271, doi : 10.1016/0040-9383(67)90038-9 , ISSN 0040-9383, MR 0210147
Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (2013), «Зоопарк групп диффеоморфизмов на R n .», Annals of Global Analysis and Geometry , 44 (4): 529–540, arXiv : 1211.5704 , doi : 10.1007/s10455-013-9380-2 , S2CID 118624866
Милнор, Джон В. (2007), Собрание сочинений, том. III, Дифференциальная топология , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4230-0
Омори, Хидеки (1997), Бесконечномерные группы Ли , Переводы математических монографий, том. 158, Американское математическое общество, ISBN.0-8218-4575-6
Кнезер, Хельмут (1926), «Lösung der Aufgabe 41.», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 35 (2): 123