Гиперболический угол

Аргумент гиперболических функций

Кривая представляет xy = 1. Гиперболический угол имеет величину, равную площади соответствующего гиперболического сектора , который находится в стандартном положении, если a = 1.

В геометрии гиперболический угол — это действительное число , определяемое площадью соответствующего гиперболического сектора xy = 1 в квадранте I декартовой плоскости . Гиперболический угол параметризует единичную гиперболу , которая имеет гиперболические функции в качестве координат. В математике гиперболический угол — это инвариантная мера , поскольку она сохраняется при гиперболическом вращении .

Гипербола xy = 1 является прямоугольником с большой полуосью , аналогичной углу окружности, равному площади кругового сектора в окружности с радиусом . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Гиперболический угол используется в качестве независимой переменной для гиперболических функций sinh, cosh и tanh, поскольку эти функции могут быть основаны на гиперболических аналогиях с соответствующими круговыми (тригонометрическими) функциями, рассматривая гиперболический угол как определяющий гиперболический треугольник . Таким образом, параметр становится одним из самых полезных в исчислении действительных переменных .

Определение

Рассмотрим прямоугольную гиперболу и (по соглашению) обратим особое внимание на ветвь . ${\displaystyle \textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}}$ ${\displaystyle x>1}$

Сначала определите:

• Гиперболический угол в стандартном положении — это угол между лучом к и лучом к , где . ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$ ${\displaystyle x>1}$
• Величина этого угла равна площади соответствующего гиперболического сектора , которая оказывается равной . ${\displaystyle \operatorname {ln} x}$

Обратите внимание, что из-за роли, которую играет натуральный логарифм :

• В отличие от кругового угла гиперболический угол неограничен (потому что неограничен); это связано с тем, что гармонический ряд неограничен. ${\displaystyle \operatorname {ln} x}$
• Формула для величины угла предполагает, что для гиперболический угол должен быть отрицательным. Это отражает тот факт, что, как определено, угол направлен . ${\displaystyle 0<x<1}$

Наконец, расширим определение гиперболического угла до угла, охватываемого любым интервалом на гиперболе. Предположим, что являются положительными действительными числами, такими что и , так что и являются точками на гиперболе и определяют интервал на ней. Тогда отображение сжатия отображает угол в стандартный позиционный угол . Согласно результату Грегуара де Сен-Венсана , гиперболические секторы, определяемые этими углами, имеют одинаковую площадь, которая принимается за величину угла. Эта величина равна . ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle ab=cd=1}$ ${\displaystyle c>a>1}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (c,d)}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$ ${\displaystyle \angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)}$ ${\displaystyle \angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a}$

Сравнение с круговым углом

Единичная гипербола имеет сектор с площадью, равной половине гиперболического угла.

Круговой и гиперболический угол

Единичная окружность имеет круговой сектор с площадью в половину кругового угла в радианах. Аналогично, единичная гипербола имеет гиперболический сектор с площадью в половину гиперболического угла. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

Существует также проективное разрешение между круговыми и гиперболическими случаями: обе кривые являются коническими сечениями , и, следовательно, рассматриваются как проективные диапазоны в проективной геометрии . При наличии начальной точки на одном из этих диапазонов другие точки соответствуют углам. Идея сложения углов, базовая для науки, соответствует сложению точек на одном из этих диапазонов следующим образом:

Круговые углы можно геометрически охарактеризовать следующим свойством: если две хорды P ₀ P ₁ и P ₀ P ₂ стягивают углы L ₁ и L ₂ в центре окружности, то их сумма L ₁ + L ₂ представляет собой угол, стягиваемый хордой P ₀ Q , где P ₀ Q должна быть параллельна P ₁ P ₂ .

То же построение можно применить и к гиперболе. Если P ₀ взять как точку (1, 1) , P ₁ как точку ( x ₁ , 1/ x ₁ ) и P ₂ как точку ( x ₂ , 1/ x ₂ ) , то условие параллельности требует, чтобы Q была точкой ( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ ) . Таким образом, имеет смысл определить гиперболический угол от P _{0 до произвольной точки на кривой как логарифмическую функцию значения} x в этой точке . ^{[1] [2]}

В то время как в евклидовой геометрии постоянное движение в ортогональном направлении к лучу из начала координат вычерчивает окружность, в псевдоевклидовой плоскости постоянное движение ортогонально к лучу из начала координат вычерчивает гиперболу. В евклидовом пространстве кратное данному углу вычерчивает равные расстояния по окружности, в то время как на гиперболической прямой оно вычерчивает экспоненциальные расстояния. ^[3]

Как круговой, так и гиперболический угол предоставляют примеры инвариантной меры . Дуги с угловой величиной на окружности порождают меру на определенных измеримых множествах на окружности, величина которой не меняется при повороте или вращении окружности . Для гиперболы поворот осуществляется с помощью отображения сжатия , а величины гиперболических углов остаются прежними, когда плоскость сжимается отображением

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), где r > 0.

Отношение к элементу линии Минковского

Существует также любопытная связь между гиперболическим углом и метрикой, определенной на пространстве Минковского. Так же, как двумерная евклидова геометрия определяет свой линейный элемент как

${\displaystyle ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},}$

линейный элемент в пространстве Минковского равен ^[4]

${\displaystyle ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.}$

Рассмотрим кривую, встроенную в двумерное евклидово пространство,

${\displaystyle x=f(t),y=g(t).}$

Где параметр — это действительное число, лежащее в пределах от и ( ). Длина дуги этой кривой в евклидовом пространстве вычисляется как: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leqslant t<b}$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.}$

Если определяет единичную окружность, единственным параметризованным решением этого уравнения является и . Полагая , вычисляя длину дуги, получаем . Теперь выполняем ту же процедуру, за исключением замены евклидова элемента на элемент линии Минковского, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x=\cos t}$ ${\displaystyle y=\sin t}$ ${\displaystyle 0\leqslant t<\theta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\theta }$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,}$

и определяя единичную гиперболу как с соответствующим ей параметризованным набором решений и , и допуская (гиперболический угол), мы приходим к результату . Так же, как круговой угол является длиной дуги окружности с использованием евклидовой метрики, гиперболический угол является длиной гиперболической дуги с использованием метрики Минковского. ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$ ${\displaystyle y=\cosh t}$ ${\displaystyle x=\sinh t}$ ${\displaystyle 0\leqslant t<\eta }$ ${\displaystyle S=\eta }$

История

Квадратура гиперболы — это оценка площади гиперболического сектора . Можно показать, что она равна соответствующей площади против асимптоты . Квадратура была впервые выполнена Грегуаром де Сен-Венсаном в 1647 году в Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni . Как выразился историк ,

[Он] сделал квадратуру гиперболы по ее асимптотам и показал, что по мере того, как площадь увеличивается в арифметической прогрессии, абсциссы увеличиваются в геометрической прогрессии . ^[5]

AA de Sarasa интерпретировал квадратуру как логарифм , и, таким образом, геометрически определенный натуральный логарифм (или «гиперболический логарифм») понимается как площадь под y = 1/ x справа от x = 1. Как пример трансцендентной функции , логарифм более знаком, чем его мотиватор, гиперболический угол. Тем не менее, гиперболический угол играет роль, когда теорема Сен-Венсана продвигается с помощью отображения сжатия .

Круговая тригонометрия была распространена на гиперболу Августом Де Морганом в его учебнике «Тригонометрия и двойная алгебра» . ^[6] В 1878 году У. К. Клиффорд использовал гиперболический угол для параметризации единичной гиперболы , описав ее как «квазигармоническое движение ».

В 1894 году Александр Макфарлейн распространил свое эссе «Мнимое в алгебре», в котором гиперболические углы использовались для создания гиперболических версоров , в своей книге «Документы по анализу пространства» . ^[7] В следующем году Бюллетень Американского математического общества опубликовал обзор гиперболических функций Меллена В. Хаскелла . ^[8]

Когда Людвик Зильберштейн написал свой популярный учебник 1914 года по новой теории относительности , он использовал концепцию быстроты, основанную на гиперболическом угле a , где tanh a = v / c , отношение скорости v к скорости света . Он писал:

Стоит отметить, что единице быстроты соответствует огромная скорость, составляющая 3/4 скорости света; точнее, v = (.7616) c при a = 1 .

[...] быстрота a = 1 , [...] следовательно, будет представлять скорость 0,76  с , что немного превышает скорость света в воде.

Зильберштейн также использует концепцию угла параллельности Лобачевского Π( a ), чтобы получить cos Π( a ) = v / c . ^[9]

Воображаемый круговой угол

Гиперболический угол часто представляется как мнимое число , и так что гиперболические функции cosh и sinh могут быть представлены через круговые функции. Но в евклидовой плоскости мы могли бы попеременно считать меры кругового угла мнимыми, а меры гиперболического угла — действительными скалярами, и ${\textstyle \cos ix=\cosh x}$ ${\textstyle \sin ix=i\sinh x,}$ ${\textstyle \cosh ix=\cos x}$ ${\textstyle \sinh ix=i\sin x.}$

Эти отношения можно понять в терминах показательной функции , которую для комплексного аргумента можно разбить на четную и нечетную части и соответственно. Тогда ${\textstyle z}$ ${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$ ${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$

$${\displaystyle e^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),}$$

или если аргумент разделен на действительную и мнимую части, то экспоненту можно разбить на произведение масштабирования и вращения ${\textstyle z=x+iy,}$ ${\textstyle e^{x}}$ ${\textstyle e^{iy},}$

$${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y).}$$

Как бесконечный ряд ,

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}}$$

Бесконечный ряд для косинуса получается из cosh путем превращения его в знакопеременный ряд , а ряд для синуса получается путем превращения sinh в знакопеременный ряд.

Смотрите также

• Трансцендентный угол

Примечания

1. Бьёрн Фельсагер, Сквозь зеркало – Взгляд на геометрию-близнеца Евклида, геометрию Минковского Архивировано 16 июля 2011 г. на Wayback Machine , ICME-10 Копенгаген 2004; стр. 14. См. также примеры листов [1] Архивировано 06 января 2009 г. на Wayback Machine [2] Архивировано 21 ноября 2008 г. на Wayback Machine, исследуя параллели Минковского некоторых стандартных евклидовых результатов
2. Виктор Прасолов и Юрий Соловьев (1997) Эллиптические функции и эллиптические интегралы , стр. 1, Переводы математических монографий, том 170, Американское математическое общество
3. Гиперболическая геометрия, стр. 5–6, рис. 15.1
4. Вайсштейн, Эрик В. «Метрика Минковского». mathworld.wolfram.com .
5. Дэвид Юджин Смит (1925) История математики , стр. 424,5 т. 1
6. Август Де Морган (1849) Тригонометрия и двойная алгебра, Глава VI: «О связи общей и гиперболической тригонометрии»
7. Александр Макфарлейн (1894) Статьи по анализу пространства, Б. Вестерман, Нью-Йорк
8. Меллен В. Хаскелл (1895) О введении понятия гиперболических функций Бюллетень Американского математического общества 1(6):155–9
9. Людвик Зильберштейн (1914) Теория относительности, стр. 180–1 через Интернет-архив

Ссылки

• Джанет Хайне Барнетт (2004) «Вход, центр сцены: ранняя драма гиперболических функций», доступно в (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 или (b) глава 7 книги Euler at 300 , редакторы RE Bradley, LA D'Antonio, CE Sandifer, Mathematical Association of America ISBN 0-88385-565-8 . 
• Артур Кеннелли (1912) Применение гиперболических функций к задачам электротехники
• Уильям Мюллер, Изучение предвычислений , § Число e, Гиперболическая тригонометрия.
• Джон Стиллвелл (1998) Числа и геометрия , упражнение 9.5.3, стр. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2 .