Круговой сектор

Часть диска, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Второстепенный сектор закрашен зеленым цветом, а основной сектор закрашен белым.

Круглый сектор , также известный как сектор круга или сектор диска или просто сектор (символ: ⌔ ), представляет собой часть диска ( замкнутая область, ограниченная кругом), окруженную двумя радиусами и дугой , при этом меньшая площадь равна известен как малый сектор , а более крупный — как основной сектор . ^[1] На диаграмме θ — это центральный угол , радиус круга и длина дуги малого сектора. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$

Угол, образованный соединением концов дуги с любой точкой окружности, не входящей в сектор, равен половине центрального угла. ^[2]

Типы

Сектор с центральным углом 180° называется полукругом и ограничен диаметром и полукругом . Секторам с другими центральными углами иногда дают специальные названия, такие как квадранты (90°), секстанты (60°) и октанты (45°), которые происходят от того, что сектор представляет собой одну 4-ю, 6-ю или 8-ю часть полного круга. соответственно. Как ни странно, дугу квадранта ( дугу окружности ) также можно назвать квадрантом.

Компас

8-точечная роза ветров

Традиционно направления ветра на розе компаса задаются в виде одного из 8 октантов (север, северо-восток, восток, юго-восток, юг, юго-запад, запад, северо-запад), поскольку это более точно, чем просто указание одного из 4 квадрантов и флюгера . обычно не имеет достаточной точности для более точной индикации.

Название инструмента « октант » происходит от того, что он основан на 1/8 окружности. Чаще всего октанты встречаются на компасной розе .

Область

Общая площадь круга равна πr ² . Площадь сектора можно получить, умножив площадь круга на отношение угла θ (выраженного в радианах) и 2 π (поскольку площадь сектора прямо пропорциональна его углу, а 2 π — это угол для весь круг, в радианах):

$${\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$$

Площадь сектора в единицах L можно получить, умножив общую площадь π r ² на отношение L к общему периметру 2 π r .

$${\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}}$$

Другой подход состоит в том, чтобы рассматривать эту площадь как результат следующего интеграла:

$${\displaystyle A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$$

Преобразование центрального угла в градусы дает ^[3]

$${\displaystyle A=\pi r^{2}{\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}}$$

Периметр

Длина периметра сектора равна сумме длины дуги и двух радиусов:

$${\displaystyle P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)}$$

θ

Длина дуги

Формула длины дуги: ^[4]

$${\displaystyle L=r\theta }$$

L^[5]

Если значение угла задано в градусах, то мы также можем использовать следующую формулу: ^[3]

$${\displaystyle L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}}$$

Длина хорды

Длина хорды , образованной крайними точками дуги, определяется выражением

$${\displaystyle C=2R\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

CRθ

Смотрите также

• Круговой сегмент – часть сектора, которая остается после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
• Коническое сечение
• Земной квадрант
• Сектор (математика)
• Сферический сектор – аналогичная трехмерная фигура.

Рекомендации

1. Деван, Раджеш К. (2016). Сарасвати Математика. Нью-Дели: New Saraswati House India Pvt Ltd. 234. ИСБН 978-8173358371.
2. Ахац, Томас; Андерсон, Джон Г. (2005). Технический цех математики. Кэтлин Маккензи (3-е изд.). Нью-Йорк: Промышленная пресса. п. 376. ИСБН 978-0831130862. ОСЛК  56559272.
3. Уппал, Швета (2019). Математика: Учебник для Х класса . Нью-Дели : Национальный совет образовательных исследований и обучения . стр. 226, 227. ISBN. 978-81-7450-634-4. ОСЛК  1145113954.
4. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2002). Исчисление I с Precalculus (3-е изд.). Бостон, Массачусетс: Брукс/Коул . п. 570. ИСБН 978-0-8400-6833-0. ОСЛК  706621772.
5. Уикс, Алан (2004). Стандартный уровень математики для Международного бакалавриата: текст новой учебной программы. Вест-Коншохокен, Пенсильвания : Infinity Publishing.com. п. 79. ИСБН 0-7414-2141-0. OCLC  58869667.

Источники

• Джерард, LJV, «Элементы геометрии» в восьми книгах; или «Первый шаг в прикладной логике» (Лондон, Лонгманс, Грин, Ридер и Дайер , 1874), с. 285.
• Лежандр, AM , Элементы геометрии и тригонометрии , Чарльз Дэвис , изд. (Нью-Йорк: AS Barnes & Co. , 1858), с. 119.