Огастес Де Морган — британский математик и логик . Он сформулировал законы Де Моргана и ввёл термин математической индукции , сделав его идею строгой. [1] Вклад Де Моргана в логику был важен в теории множеств , теории вероятностей , информатике и многих других областях.
Огастес Де Морган родился в Мадурае , в Карнатикском регионе Индии, в 1806 году. [2] [a] Его отцом был подполковник Джон Де Морган (1772–1816), который занимал различные должности на службе Ост- Индской компании. и его мать, Элизабет (урожденная Додсон, 1776–1856), была дочерью Джона Додсона и внучкой Джеймса Додсона , который вычислил таблицу антилогарифмов (обратных логарифмов ). [3] Огастес Де Морган ослеп на один глаз через месяц или два после рождения. Его семья переехала в Англию, когда Августу было семь месяцев. Поскольку его отец и дед родились в Индии, де Морган обычно говорил, что он не был ни англичанином, ни шотландцем, ни ирландцем, а «непривязанным» британцем, используя технический термин, применяемый к студенту Оксфорда или Кембриджа , который был не является членом ни одной из коллегий.
Когда Де Моргану было десять лет, умер его отец. [2] Миссис Де Морган жила в разных местах на юго-западе Англии, а ее сын получил начальное образование в различных малозначимых школах. [ нужна цитата ] Его математические таланты оставались незамеченными, пока ему не исполнилось четырнадцать, когда друг семьи обнаружил, что он делает тщательно продуманный рисунок фигуры из одной из работ Евклида с помощью линейки и циркуля. [2]
Среднее образование он получил у мистера Парсонса, студента Ориэл-колледжа в Оксфорде , который предпочитал классику математике. Мать Де Моргана была активным и страстным членом англиканской церкви и хотела, чтобы ее сын стал церковным чиновником, но к этому времени Де Морган начал проявлять свой нонконформный характер. Он стал атеистом. [4] [5]
В нашем языке есть слово, с которым я не буду путать этот предмет как из-за бесчестного использования этого слова в качестве обвинения, возлагаемого одной сектой на другую, так и из-за разнообразия значений, приписываемых ему. Я буду использовать слово «антидеизм» для обозначения мнения, что не существует Творца, который создал и поддерживает Вселенную.
- Де Морган 1838, с. 22
В 1823 году, в возрасте шестнадцати лет, он поступил в Тринити-колледж в Кембридже , [6] где познакомился с Джорджем Пикоком и Уильямом Уэвеллом , которые якобы стали его друзьями на всю жизнь. От Пикока он унаследовал интерес к обновлению алгебры, а от Уэвелла — к обновлению логики — двух предметов его будущей жизни. Его наставником в колледже был Джон Филипс Хигман , ФРС.
В колледже он в свободное время играл на флейте и занимал видное место в музыкальных клубах. Его любовь к знанию сама по себе мешала подготовке великой математической расы; в результате он вышел четвертым спорщиком . Это давало ему право на степень бакалавра гуманитарных наук , но чтобы получить более высокую степень магистра гуманитарных наук и тем самым получить право на стипендию, ему нужно было пройти богословский тест. Де Морган сильно возражал против подписания такого теста, хотя он вырос в англиканской церкви. Примерно в 1875 году требование теологических тестов для получения ученых степеней было отменено Законом об Оксфордском и Кембриджском университетах 1859 года .
Де Морган решил пойти в коллегию адвокатов и поселился в Лондоне, так как он больше не мог найти работу, но он предпочитал преподавать математику, а не читать право. Примерно в это же время оформилось движение за основание Лондонского университета (ныне Университетский колледж Лондона ). Два древних университета — Оксфорд и Кембридж — были настолько охраняемы теологическими тестами, что ни один еврей или инакомыслящий за пределами англиканской церкви не мог поступить в качестве студента, а тем более быть назначенным на какую-либо должность. Группа либерально настроенных людей решила основать университет в Лондоне на основе принципа религиозного нейтралитета. Де Морган, которому тогда было 22 года, был назначен профессором математики. Его вводная лекция «Об изучении математики» представляет собой рассуждение об умственном образовании, имеющее непреходящую ценность, и недавно была переиздана в Соединенных Штатах. [ нужна ссылка ] [7]
Лондонский университет был новым учреждением, и отношения Совета управления, Сената профессоров и студентов не были четко определены. Между профессором анатомии и его студентами возник спор, и из-за действий совета несколько профессоров ушли в отставку во главе с Де Морганом. Был назначен еще один профессор математики, который утонул через несколько лет. Де Моргану было предложено вернуться в свое кресло, где он пробыл тридцать лет.
Та же группа реформаторов, возглавляемая лордом Брумом , выдающимся шотландцем в науке и политике, основавшим Лондонский университет, примерно в то же время основала Общество распространения полезных знаний . Его целью было распространение научных знаний с помощью дешевых и ясно написанных трактатов лучших писателей того времени. Одним из наиболее объемных и эффективных авторов был Де Морган. Он написал «Дифференциальное и интегральное исчисление» , которое было опубликовано Обществом, и написал одну шестую часть статей в « Пенни-циклопедии» , изданной Обществом и выпущенной тиражом в копейки. Когда Де Морган переехал жить в Лондон, он нашел близкого друга в лице Уильяма Френда , несмотря на его математическую ересь относительно отрицательных величин. Оба были арифметиками и актуариями , и их религиозные взгляды были в чем-то схожи. Френд жил в тогдашнем пригороде Лондона, в загородном доме, который раньше занимал Даниэль Дефо и Исаак Уоттс . Де Морган со своей флейтой был желанным гостем.
Лондонский университет, профессором которого был Де Морган, отличался от Лондонского университета . Примерно десять лет спустя правительство основало Лондонский университет с целью присвоения ученых степеней после экзаменов без какого-либо требования к месту жительства. Лондонский университет был связан с Лондонским университетом в качестве педагогического колледжа, и его название было изменено на Университетский колледж. Лондонский университет не имел успеха как экзаменационная организация; требовался обучающий университет. Де Морган был весьма успешным учителем математики. Он планировал читать лекции в течение часа и в конце каждой лекции давать ряд задач и примеров, иллюстрирующих предмет лекции; его студенты должны были работать над ними и приносить ему результаты, которые он просматривал и возвращал исправленными перед следующей лекцией. По мнению де Моргана, тщательное понимание и умственное усвоение великих принципов намного перевешивало по важности любую чисто аналитическую ловкость в применении полупонятых принципов к конкретным случаям.
В этот период он также продвигал работы индийского математика-самоучки Рамчундры , которого называли Рамануджаном Де Моргана . Он руководил публикацией в Лондоне книги Рамчундры «Трактат о проблемах максимумов и минимумов» в 1859 году. В предисловии к этому изданию Де Морган писал:
Изучая эту работу, я увидел в ней не просто заслуги, достойные поощрения, но заслуги особого рода, поощрение которых, как мне казалось, могло способствовать усилиям туземцев, направленным на восстановление туземного разума в Индии.
В том же предисловии он признал свое знание индийской логической традиции, а позже, в 1860 году, снова написал о ее значении:
«Две расы, основавшие математику, представители санскрита и греческого языка, были двумя, которые независимо сформировали системы логики. [8]
Хотя сложность индийской логической мысли была доведена до сведения западных математиков рядом авторов, начиная с конца 18 века, неизвестно, оказало ли это какое-либо влияние на собственные работы Де Моргана. Мэри Буль , однако, заявила о глубоком влиянии – через своего дядю Джорджа Эвереста – на индийскую мысль в целом и индийскую логику, в частности, на Джорджа Буля , а также на Де Моргана и Чарльза Бэббиджа :
Подумайте, каким должен был быть эффект интенсивной индуизации трех таких людей, как Бэббидж , Де Морган и Джордж Буль, на математическую атмосферу 1830–1865 годов. Какую роль он сыграл в создании векторного анализа и математики, с помощью которой сейчас проводятся исследования в физической науке? [9]
Джонардон Ганери заметил, что именно в этот период середины девятнадцатого века, на который указывает Мэри Буль, Джордж Буль и Огастес Де Морган впервые применили алгебраические идеи к формулированию логики ( алгебраическая логика и булева логика ). предположил, что эти деятели, вероятно, были осведомлены об индийской системе логики и, в свою очередь, что их осознание недостатков пропозициональной логики в том виде, в котором она была тогда сформулирована, возможно, способствовало их готовности выйти за рамки своей собственной логической традиции. [10]
Август был одним из семи детей, четверо из которых дожили до взрослого возраста. Этими братьями и сестрами были Элиза (1801–1836), вышедшая замуж за Льюиса Хенсли, хирурга, жившего в Бате; Джордж (1808–1890), адвокат, женившийся на Жозефине, дочери вице-адмирала Джозайи Когхилла, 3-го баронета Когхилла; и Кэмпбелл Грейг (1811–1876), хирург из больницы Миддлсекса.
Осенью 1837 года Де Морган женился на Софии Элизабет Френд (1809–1892), старшей дочери Уильяма Френда (1757–1841) и Саре Блэкберн (1779–?), внучке Фрэнсиса Блэкберна (1705–1787), архидьякона Кливленд. [11]
У Де Моргана было три сына и четыре дочери, в том числе автор сказок Мэри Де Морган . Его старшим сыном был гончар Уильям Де Морган . Его второй сын Джордж получил отличие по математике в Университетском колледже и Лондонском университете. Он и другие его выпускники -единомышленники задумали основать математическое общество в Лондоне, где математические статьи будут не только приниматься (как в Королевском обществе ), но также читаться и обсуждаться. Первая встреча прошла в Университетском колледже; Де Морган был первым президентом, его сын — первым секретарем. Это было начало Лондонского математического общества .
В 1866 году освободилась кафедра ментальной философии в Университетском колледже. Джеймс Мартино , священнослужитель -унитарианец и профессор ментальной философии, был формально рекомендован Сенатом в совет, но в Совете были некоторые, кто возражал против священнослужителя-унитарианца, а другие возражали против теистической философии. Был назначен мирянин школы Бэйна и Спенсера . Де Морган посчитал, что старые стандарты религиозного нейтралитета были отменены, и немедленно подал в отставку. Ему было сейчас 60 лет. Его ученики обеспечили ему пенсию в размере 500 фунтов стерлингов в год, но последовали несчастья. Два года спустя его сын Джордж — «младший Бернулли», как Август любил слышать, как его называли, намекая на выдающихся отца и сына-математика с таким именем, — умер. За этим ударом последовала смерть дочери. Через пять лет после ухода из Университетского колледжа Де Морган умер от нервного истощения 18 марта 1871 года.
Де Морган был блестящим и остроумным писателем, как полемистом, так и корреспондентом. В его время процветали два сэра Уильяма Гамильтона, которых часто смешивали. Одним из них был сэр Уильям Гамильтон, девятый баронет , шотландец, профессор логики и метафизики Эдинбургского университета ; другой был рыцарем (то есть завоевавшим этот титул), ирландцем, профессором астрономии в Дублинском университете.
Да будет вам известно, что я обнаружил, что вы и другой сэр У.Х. являетесь по отношению ко мне противоположными полюсами (интеллектуально и морально, поскольку шотландский баронет — это белый медведь, а вы, я собирался сказать, — полярный джентльмен). ). Когда я отправляю небольшое расследование в Эдинбург, WH в этом роде говорит, что я взял его у него. Когда я посылаю вам одну, вы берете ее у меня, обобщаете ее с первого взгляда, даруете ее таким образом обществу в целом и делаете меня вторым открывателем известной теоремы.
Переписка Де Моргана с математиком Гамильтоном продолжалась более двадцати четырех лет; он содержит дискуссии не только по математическим вопросам, но и по темам, представляющим общий интерес. Оно отмечено сердечностью со стороны Гамильтона и остроумием со стороны Де Моргана. Ниже приведен образец:
Гамильтон писал:
Моя копия работы Беркли не моя; Как и Беркли, вы знаете, я ирландец.
Де Морган ответил:
Ваша фраза "моя копия не моя" - это не бык . В английском языке совершенно нормально использовать одно и то же слово в двух разных значениях в одном предложении, особенно когда оно употребляется. Несоответствие языка не является быком, поскольку оно выражает смысл. Но несоответствие идей (как в случае с ирландцем, который тянул веревку и, обнаружив, что она не дотянулась, закричал, что кто-то отрезал ее другой конец) — это настоящая бычья.
Де Морган был полон личных особенностей. По случаю назначения его друга лорда Брума на пост ректора Эдинбургского университета Сенат предложил присвоить ему почетную степень доктора права. Д.; он отказался от этой чести как неправильное название. Он с юмором описывал себя, используя латинскую фразу «Homo paucarum literarum» (малописьменный человек), отражая его скромность в отношении своего обширного вклада в математику и логику. [ нужна цитата ]
Он не любил провинцию за пределами Лондона, и пока его семья наслаждалась морским отдыхом, а люди науки развлекались на заседании Британской ассоциации в деревне, он оставался в жарких и пыльных библиотеках мегаполиса. Он говорил, что чувствует себя Сократом , который заявлял, что чем дальше он от Афин , тем дальше он от счастья. Он никогда не стремился стать членом Королевского общества и никогда не присутствовал на собраниях Общества; он сказал, что у него нет общих идей или симпатий с физическим философом. Его такое поведение, возможно, объяснялось его физической немощью, которая не позволяла ему быть ни наблюдателем, ни экспериментатором. Он никогда не голосовал на выборах и никогда не посещал Палату общин , Лондонский Тауэр или Вестминстерское аббатство .
Если бы сочинения Де Моргана, такие как его вклад в Общество полезных знаний, были опубликованы в виде собрания сочинений, они образовали бы небольшую библиотеку. Главным образом благодаря усилиям Пикока и Уэвелла в Кембридже было открыто Философское общество , и Де Морган внес в его состав четыре мемуара по основам алгебры и столько же по формальной логике. Лучшее изложение его взглядов на алгебру можно найти в книге под названием « Тригонометрия и двойная алгебра» , опубликованной в 1849 году, а его ранний взгляд на формальную логику можно найти в книге, опубликованной в 1847 году. Его самая выдающаяся работа называется « Бюджет парадоксов». ; первоначально оно появилось в виде писем в колонках журнала «Атенеум» ; он был переработан и расширен Де Морганом в последние годы его жизни и опубликован посмертно его вдовой.
Теория алгебры Джорджа Пикока была значительно усовершенствована Д. Ф. Грегори , младшим членом Кембриджской школы, который делал упор не на постоянстве эквивалентных форм, а на постоянстве некоторых формальных законов. Эта новая теория алгебры как науки о символах и законах их сочетания была доведена до логического завершения Де Морганом, и его учению по этому предмету до сих пор следуют английские алгебраисты в целом. Так, Джордж Кристал основывает свой «Учебник алгебры» на теории Де Моргана, хотя внимательный читатель может заметить, что он практически отказывается от нее, когда берется за тему бесконечных рядов. Теория де Моргана изложена в его книге « Тригонометрия и двойная алгебра» , где в книге II, глава II, озаглавленная «О символической алгебре», он пишет:
Отказываясь от значений символов, мы также отказываемся от значений слов, которые их описывают. Таким образом , сложение в настоящее время является звуком, лишенным смысла. Это режим комбинации, представленный ; когда получит свое значение, то же самое произойдет и со словом « сложение» . Очень важно, чтобы изучающий имел в виду, что, за одним исключением , ни одно слово или знак арифметики или алгебры не имеет ни одного атома значения во всей этой главе, предметом которой являются символы и законы их сочетания, дающие символическое значение. алгебра , которая впоследствии может стать грамматикой ста различных значимых алгебр . Если бы кто-нибудь утверждал это и мог бы означать награду и наказание, а , , и т. д. мог бы означать добродетели и пороки, читатель мог бы поверить ему или противоречить ему, как ему заблагорассудится, - но не за пределами этой главы.
Единственным отмеченным выше исключением, которое имеет определенное значение, является знак, помещенный между двумя символами, как в . Это указывает на то, что два символа имеют одно и то же результирующее значение, независимо от того, какие шаги были достигнуты. Это и , если количества, представляют собой одно и то же количество количества; что если операции, то они имеют одинаковый эффект и т. д.
Работа Де Моргана под названием «Тригонометрия и двойная алгебра» [12] состоит из двух частей; первый из которых представляет собой трактат по тригонометрии , а второй — трактат по обобщенной алгебре, которую он назвал «двойной алгеброй». Первым этапом развития алгебры является арифметика , где используются только натуральные числа и символы таких операций, как + , × и т. д. Следующий этап — универсальная арифметика , где вместо цифр появляются буквы, чтобы универсально обозначать числа, и процессы проводятся без знания значений символов. Пусть a и b обозначают любые натуральные числа. Выражение типа a − b все еще может быть невозможным, поэтому в универсальной арифметике всегда есть оговорка, если операция возможна . Третий этап — это одиночная алгебра , где символ может обозначать количество в прямом или обратном направлении и адекватно представлен отрезками прямой, проходящей через начало координат. Отрицательные величины тогда уже невозможны; они представлены обратным сегментом. Но во второй части такого выражения как a + b √ −1 , возникающего при решении квадратного уравнения, все же остается невозможность. Четвертый этап – двойная алгебра . Алгебраический символ обычно обозначает отрезок прямой в данной плоскости. Это двойной символ, поскольку он включает в себя две характеристики, а именно длину и направление; и √ −1 интерпретируется как обозначение квадранта. Тогда выражение a + b √ −1 представляет линию на плоскости, имеющую абсциссу a и ординату b . Арганд и Уоррен дошли до двойной алгебры, но им не удалось интерпретировать на основе этой теории такое выражение, как e a √ −1 . Де Морган попытался это сделать, приведя такое выражение к виду b + q √ −1 , и считал, что показал, что его всегда можно привести таким образом. Замечательным фактом является то, что эта двойная алгебра удовлетворяет всем перечисленным выше фундаментальным законам, и, поскольку каждая, казалось бы, невозможная комбинация символов была интерпретирована, она выглядит как полная форма алгебры. В главе 6 он ввел гиперболические функции и обсудил связь общей и гиперболической тригонометрии .
Если приведенная выше теория верна, то следующим этапом развития должна стать тройная алгебра, и если a + b √ −1 действительно представляет линию в данной плоскости, должно быть возможно найти третий член, который добавлен к вышесказанному. представляют собой линию в пространстве. Арган и некоторые другие догадались, что это было a + b √ −1 + c √ −1 √ −1 , хотя это противоречит истине, установленной Эйлером, что √ −1 √ −1 = e −π/2 . Де Морган и многие другие усердно работали над этой проблемой, но из этого ничего не вышло, пока проблемой не занялся Гамильтон. Теперь мы ясно видим причину: символ двойной алгебры обозначает не длину, а направление; но множитель и угол . В нем углы приурочены к одной плоскости. Следовательно, следующим этапом будет четверная алгебра , когда ось плоскости будет сделана переменной. И это дает ответ на первый вопрос; двойная алгебра — это не что иное, как аналитическая плоская тригонометрия, и именно поэтому она оказалась естественным анализом переменных токов. Но Де Морган никогда не заходил так далеко. Он умер с убеждением, что «двойная алгебра должна оставаться полным развитием концепций арифметики, поскольку речь идет о тех символах, которые арифметика непосредственно предполагает».
В главе II книги II, следуя цитированному выше отрывку о теории символической алгебры, Де Морган приступает к описанию основных символов алгебры, а также к описанию законов алгебры. Символами являются , , , , , , () и буквы; только они, все остальные являются производными. Как объясняет Де Морган, последний из этих символов представляет собой написание последнего выражения надстрочным индексом поверх и после первого. Его перечень фундаментальных законов разбит на четырнадцать разделов, но некоторые из них представляют собой просто определения. Предыдущий список символов относится к первой из этих глав. Собственно законы можно свести к следующим, которые, как он признает, не все независимы друг от друга, «но несимметричный характер показательной операции и отсутствие связующего процесса и ... делают необходимым изложите их отдельно":
Де Морган утверждает, что дал полный список законов, которым должны подчиняться символы алгебры, поскольку он говорит: «Любая система символов, которая подчиняется этим правилам и никаким другим, за исключением тех случаев, когда они образованы комбинацией этих правил, и которая использует предшествующие символы и никакие другие, за исключением новых символов, изобретенных в виде сокращений комбинаций этих символов, — это символическая алгебра ». С его точки зрения, ни один из вышеперечисленных принципов не является правилом; это формальные законы, то есть произвольно выбранные отношения, которым должны подчиняться алгебраические символы. Он не упоминает о законе, на который уже указал Григорий, а именно и которому впоследствии было дано название Закона ассоциации . Если коммутативный закон не работает, ассоциатив может оставаться в силе; но не наоборот . Символисту или формалисту прискорбно то, что в универсальной арифметике не равно ; ибо тогда коммутативный закон имел бы полную силу. Почему он не дает этому полную свободу? Потому что основы алгебры, в конце концов, реальны, а не формальны, материальны, а не символичны. Для формалистов индексные операции чрезвычайно упорны, вследствие чего некоторые не принимают их во внимание, а относят к прикладной математике. [ нужна цитата ] Дать перечень законов, которым должны подчиняться символы алгебры, является невыполнимой задачей и немало напоминает задачу тех философов, которые пытаются дать перечень априорных знаний разума . [ нужна ссылка ] [ оригинальное исследование? ]
Когда в Кембриджском университете возобновилось изучение математики, возобновилось и изучение логики. Движущим духом был Уэвелл, магистр Тринити-колледжа, чьими основными трудами были « История индуктивных наук » и «Философия индуктивных наук» . Несомненно, в своих логических исследованиях Де Морган находился под влиянием Уэвелла; но другими влиятельными современниками были сэр Уильям Роуэн Гамильтон в Дублине и Джордж Буль в Корке. Работа Де Моргана « Формальная логика» , опубликованная в 1847 году, принципиально примечательна разработкой численно определенного силлогизма . Последователи Аристотеля говорят, что из двух частных предложений, таких как «Некоторые М суть А» и «Некоторые М суть В», ничего не следует с необходимостью об отношении А и В. Но они идут дальше и говорят, что для того, чтобы любое отношение к А и В могло с необходимостью следовать, средний термин должен быть взят универсально в одной из посылок. Де Морган указал, что из того, что большинство М являются А и большинство М являются Б, с необходимостью следует, что некоторые А являются Б, и он сформулировал численно определенный силлогизм, который придает этому принципу точную количественную форму. Предположим, что число М равно , число М, являющихся А, равно , а количество М, являющихся В, равно ; тогда есть по крайней мере А, которые являются Б. Предположим, что число душ на борту парохода составило 1000, что 500 находились в салоне, а 700 погибли. Из этого следует, что погибло не менее 700 + 500 – 1000, то есть 200, пассажиров салона. Этого единственного принципа достаточно, чтобы доказать справедливость всех аристотелевских настроений. Следовательно, это фундаментальный принцип необходимых рассуждений.
И здесь Де Морган добился большого прогресса, введя количественную оценку членов . В то время сэр Уильям Гамильтон преподавал в Эдинбурге доктрину количественной оценки предиката, и между ними завязалась переписка. Однако вскоре де Морган понял, что количественная оценка Гамильтона носит другой характер; это означало, например, замену двух форм: «Все А есть целое Б» и «Все А есть часть Б» на аристотелевскую форму. «Все А есть Б» . Гамильтон думал, что он поместил краеугольный камень в аристотелевскую арку, как он это выразил. Хотя это, должно быть, была любопытная арка, которая могла простоять 2000 лет без замкового камня. Как следствие, у него не было места нововведениям Де Моргана. Он обвинил Де Моргана в плагиате, и споры бушевали в течение многих лет в колонках «Атенеума» и в публикациях двух писателей.
Мемуары по логике, которые Де Морган внес в журнал « Труды Кембриджского философского общества» после публикации его книги « Формальная логика» , безусловно, являются наиболее важным вкладом, который он внес в науку, особенно его четвертые мемуары, в которых он начинает работу в области логики. широкое поле «логики родственников».
Во введении к «Бюджету парадоксов» Де Морган объясняет, что он подразумевает под этим словом:
Очень многие люди, начиная с возникновения математического метода, каждый сам за себя критиковали его прямые и косвенные последствия. Я буду называть каждого из этих людей парадоксом , а его систему — парадоксом . Я использую это слово в старом смысле: парадокс — это нечто, отличающееся от общего мнения либо по предмету, либо по методу, либо по заключению. Многие из выдвинутых вещей теперь будут называться «вывертами» , что является самым близким словом к старому парадоксу . Но есть та разница, что, называя вещь крючком, мы имеем в виду относиться к ней легкомысленно; это не было необходимым ощущением парадокса. Так, в XVI веке многие говорили о движении Земли как о парадоксе Коперника и высоко ценили изобретательность этой теории, а некоторые, я думаю, даже склонялись к ней. В семнадцатом веке лишение смысла имело место, по крайней мере, в Англии.
Как отличить здравого парадокса от ложного парадокса? Де Морган предлагает следующий тест:
То, как парадоксатор проявит себя в смысле смысла или бессмыслицы, будет зависеть не от того, что он утверждает, а от того, получил ли он или не получил достаточные знания о том, что было сделано другими, особенно о способе делая это, предварительное изобретение знания для себя ... Новое знание, когда оно имеет какую-либо цель, должно прийти через созерцание старого знания во всем, что касается мышления; механическое приспособление иногда, но не очень часто, ускользает от этого правила. Все люди, которых теперь называют первооткрывателями, во всех вопросах, управляемых мыслью, были людьми, сведущими в умах своих предшественников и сведущими в том, что было до них. Нет ни одного исключения.
Бюджет состоит из обзора большой коллекции парадоксальных книг, которую Де Морган накопил в своей библиотеке, частично путем покупки на книжных прилавках, частично из книг, присланных ему на рецензию, частично из книг, присланных ему авторами . Он дает следующую классификацию: квадратуры круга, трисекторы угла, удвоители куба, конструкторы вечного двигателя, ниспровергатели гравитации, застойники земли, строители вселенной. Вы еще найдете экземпляры всех этих классов в Новом Свете и в новом веке. Де Морган делится своими личными знаниями о парадоксах.
Я подозреваю, что знаю об английском языке больше, чем любой мужчина в Британии. Я никогда не вел никакого счета: но я знаю, что год за годом? и меньше в последние годы, чем в более раннее время? – Ежегодно я беседовал более чем с пятью, приводя более ста пятидесяти образцов. В этом я уверен, что это моя вина, если их не было тысячи. Никто не знает, как они роятся, кроме тех, к кому они естественным образом прибегают. Они принадлежат ко всем рангам и профессиям, всех возрастов и характеров. Это очень серьезные люди, и их цель — добросовестное распространение своих парадоксов. Очень многие (а точнее, масса) неграмотны, многие растрачивают свои средства и находятся в нищете или приближаются к ней. Эти первооткрыватели презирают друг друга.
Парадоксом, которому Де Морган сделал комплимент, который Ахиллес сделал Гектору – снова и снова таскать его по стенам, – был Джеймс Смит, успешный торговец из Ливерпуля. Он нашел . Его способ рассуждения представлял собой любопытную карикатуру на доведение до абсурда Евклида. Он сказал пусть , а затем показал, что при таком предположении любое другое значение должно быть абсурдным. Следовательно, это истинная ценность. Ниже приводится пример того, как Де Морган тащился вдоль стен Трои:
Мистер Смит продолжает писать мне длинные письма, на которые намекает, что я должен ответить. В своей последней из 31 тщательно исписанной стороны бумаги он сообщает мне, ссылаясь на мое упрямое молчание, что, хотя я считаю себя и других считаю математическим Голиафом, я решил играть в математическую улитку и продолжать внутри моей оболочки. Математическая улитка ! Это не может быть так называемая вещь, регулирующая бой часов; ибо это означало бы, что я должен заставить мистера Смита определить истинное время суток, чего я ни в коем случае не стал бы делать с часами, которые в каждом часе отстают на 19 секунд с точностью до ложного квадратичного значения . Но он осмеливается сказать мне, что камешки из пращи простой истины и здравого смысла в конечном итоге расколют мою скорлупу и выведут меня из строя . Путаница образов забавна: Голиаф, чтобы избежать удара, превратился в улитку, а Джеймс Смит, эсквайр, из Совета доков Мерси: и вывел из строя гальку из пращи. Если бы Голиаф заполз в раковину улитки, Давид разбил бы филистимлянина ногой. Есть что-то вроде скромности в предположении, что камешек с трещинчатой раковиной еще не подействовал; можно было подумать, что пращник уже запел бы – И трижды [и на одну восьмую] я разгромил всех своих врагов, И трижды [и на одну восьмую] я убил убитых.
В области чистой математики Де Морган мог легко отличить ложное от истинного парадокса; но он не был столь опытен в области физики. Его тесть был парадоксом, и его жена была парадоксом; и, по мнению философов-физиков, сам Де Морган едва ли спасся. Его жена написала книгу, описывающую явления спиритизма, стукания по столу, столоверчения и т. д.; и де Морган написал предисловие, в котором сказал, что он знал некоторые из заявленных фактов, верил другим на основании показаний, но не претендовал на то, чтобы знать, были ли они вызваны духами или имели какое-то неизвестное и невообразимое происхождение. Из этой альтернативы он исключил обычные материальные причины. Фарадей прочитал лекцию о спиритуализме , в которой заявил, что в исследовании мы должны исходить из идеи того, что физически возможно, а что невозможно; Де Морган не поверил этому.
Де Морган разработал исчисление отношений в своей «Программе предложенной системы логики» (1966: 208–46), впервые опубликованной в 1860 году. Де Морган смог показать, что рассуждения с помощью силлогизмов можно заменить составлением отношений . [13] Исчисление было описано как логика родственников Чарльзом Сандерсом Пирсом , который восхищался Де Морганом и встретился с ним незадолго до его смерти. Дальнейшее исчисление было расширено в третьем томе книги Эрнста Шредера «Vorlesungen über die Algebra der Logik» . Бинарные отношения , особенно теория порядка , оказались критически важными для Principia Mathematica Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда . В свою очередь, это исчисление стало предметом многих дальнейших работ, начиная с 1940 года, Альфреда Тарского и его коллег и студентов из Калифорнийского университета .
Де Морган позже в своей жизни заинтересовался явлениями спиритизма . В 1849 году он исследовал ясновидение и был впечатлен этим предметом. Позже он проводил исследования паранормальных явлений в своем собственном доме вместе с американским медиумом Марией Хейден. Результаты этих расследований позже были опубликованы его женой Софией. Де Морган считал, что его карьера как ученого могла бы пострадать, если бы он обнаружил свой интерес к изучению спиритизма, поэтому он помог опубликовать книгу анонимно. [14] В 1863 году была опубликована книга под названием « От материи к духу: результат десятилетнего опыта духовных проявлений» .
По словам историка Джанет Оппенгейм , жена Де Моргана София была убежденной спиритуалисткой, но Де Морган разделял позицию третьего пути в отношении спиритуалистических явлений, которую Оппенгейм определил как «выжидательную позицию»; он не был ни верующим, ни скептиком. Вместо этого его точка зрения заключалась в том, что методология физических наук не исключает автоматически психические явления и что такие явления со временем можно объяснить возможным существованием природных сил, которые физики еще не определили. [15]
В предисловии к книге «От материи к духу» (1863 г.) Де Морган заявил:
Считая весьма вероятным, что Вселенная может содержать несколько агентов – скажем, полмиллиона – о которых никто ничего не знает, я не могу не подозревать, что небольшая часть этих агентов – скажем, пять тысяч – могут быть по-разному компетентны в производстве все [спиритуалистические] явления или может быть вполне подходящим среди них. Физические объяснения, которые я видел, просты, но совершенно недостаточны: спиритуалистическая гипотеза достаточна, но чрезвычайно трудна. Время и мысль решат, второй потребует от первого дополнительных результатов испытаний.
Психический исследователь Джон Белофф писал, что Де Морган был первым известным ученым в Великобритании, который проявил интерес к изучению спиритизма, и его исследования повлияли на решение Уильяма Крукса также изучать спиритизм. Белофф также утверждает, что Де Морган был атеистом и поэтому его отстранили от должности в Оксфорде или Кембридже. [16]
Помимо его математического наследия, штаб-квартира Лондонского математического общества называется Домом Де Моргана , а студенческое общество математического факультета Университетского колледжа Лондона называется Обществом Августа Де Моргана.
В его честь назван лунный кратер Де Морган .
В данную статью включен текст из этого источника, находящегося в свободном доступе . Макфарлейн, Александр (1916). Лекции о десяти британских математиках девятнадцатого века (PDF) . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.Он кажется маловероятным новообращенным, учитывая, что его атеистические взгляды лишили его возможности работать в Оксфорде или Кембридже, но его увлечение спиритизмом было отчасти связано с его женой Софией.
Итак, вы назвали меня бродягой-атеистом, воображая, что Вольтер был атеистом: на самом деле он был теистом до фанатизма и в такой же степени антиреволюционером.
Огастес Де Морган.
Кузен, Джон Уильям (1910), «Де Морган, Август», Краткий биографический словарь английской литературы , Лондон: JM Dent & Sons - через Wikisource
