Перевод (геометрия)

Плоское движение в евклидовом пространстве без вращения.

При переносе каждая точка фигуры или пространства перемещается на одинаковую величину в заданном направлении.

В евклидовой геометрии перенос — это геометрическое преобразование , которое перемещает каждую точку фигуры, формы или пространства на одинаковое расстояние в заданном направлении. Перевод также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как сдвиг начала системы координат . В евклидовом пространстве любой сдвиг является изометрией .

Как функция

Если — фиксированный вектор, известный как вектор перемещения , и является начальным положением какого-либо объекта, то функция перевода будет работать как . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Если это перевод, то изображение подмножества функции является переводом by . Часто пишут перевод by . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle A+\mathbf {v} }$

Горизонтальные и вертикальные переводы

В геометрии вертикальный сдвиг (также известный как вертикальный сдвиг ) — это сдвиг геометрического объекта в направлении, параллельном вертикальной оси декартовой системы координат . ^{[1] [2] [3]}

Графики различных первообразных F _n ( x ) =  x ³  − 2x + c функции f ( x ) = 3 x ²  − 2. Все графики представляют собой вертикальный сдвиг друг друга.

Часто для графика функции рассматривают вертикальные перемещения . Если f — любая функция от  x , то график функции f ( x ) +  c (значения которого задаются добавлением константы c к значениям f ) может быть получен вертикальным переносом графика f ( x ) по расстоянию c . По этой причине функцию f ( x ) +  c иногда называют вертикальным сдвигом f ( x ) . ^[4] Например, все первообразные функции отличаются друг от друга константой интегрирования и, следовательно, являются вертикальными сдвигами друг друга. ^[5]

В построении графиков функций горизонтальный сдвиг — это преобразование , в результате которого получается график, эквивалентный сдвигу базового графика влево или вправо в направлении оси X. График перемещается на k единиц по горизонтали путем перемещения каждой точки графика на k единиц по горизонтали.

Для базовой функции f ( x ) и константы k функция, заданная формулой g ( x ) =  f ( x  −  k ), может быть изображена f ( x ) со смещением k единиц по горизонтали.

Если бы о преобразовании функций говорили в терминах геометрических преобразований, возможно, было бы яснее, почему функции перемещаются по горизонтали именно так, как они это делают. При рассмотрении переводов в декартовой плоскости естественно вводить переводы в таком виде обозначений:

${\displaystyle (x,y)\rightarrow (x+a,y+b)}$

или

${\displaystyle T(x,y)=(x+a,y+b)}$

где и – горизонтальные и вертикальные изменения соответственно. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Пример

Если взять параболу y  =  x ² , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет представлен как T ( x ,  y ) = ( x + 5, y ). Теперь мы должны связать это обозначение преобразования с алгебраическим обозначением. Рассмотрим точку ( a ,  b ) исходной параболы, которая перемещается в точку ( c ,  d ) переведенной параболы. Согласно нашему переводу, c  = a + 5 и d  = b . Точка исходной параболы была b  = a ² . Нашу новую точку можно описать, связав d и c в одном уравнении. b  = d и a  = c  - 5. Итак, d  = b  = a ²  знак равно ( c  - 5) ² . Поскольку это верно для всех точек нашей новой параболы, новое уравнение имеет вид y  = ( x  − 5) ² .

Применение в классической физике

В классической физике поступательное движение — это движение, изменяющее положение объекта, в отличие от вращения . Например, по словам Уиттакера: ^[6]

Если тело перемещается из одного положения в другое и если линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых длиной ℓ , так что ориентация тела в пространстве равна в неизмененном виде перемещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .

-  Э. Т. Уиттакер , Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел , с. 1

Трансляция – это операция, изменяющая положения всех точек объекта по формуле ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}$

где – один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор перемещения, общий для всех точек объекта, описывает особый тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями. ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$

При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.

Как оператор

Оператор перевода превращает функцию исходной позиции , в функцию конечной позиции . Другими словами, определяется так, что Этот оператор является более абстрактным, чем функция, поскольку определяет связь между двумя функциями, а не самими базовыми векторами. Оператор перевода может действовать на многие виды функций, например, когда оператор перевода действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики. ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$

Как группа

Совокупность всех переводов образует группу переводов , изоморфную самому пространству, и нормальную подгруппу евклидовой группы . Факторгруппа by изоморфна ортогональной группе : _ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$

Поскольку перевод коммутативен , группа перевода абелева . Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов является бесконечной группой .

В теории относительности , в связи с трактовкой пространства и времени как единого пространства-времени , переводы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают сдвиги по времени.

Решетчатые группы

Одним из видов подгрупп трехмерной группы трансляции являются группы решетки , которые являются бесконечными группами , но в отличие от групп трансляции конечно порождены . То есть конечный порождающий набор порождает всю группу.

Матричное представление

Перевод — это аффинное преобразование без фиксированных точек . Умножения матриц всегда имеют начало координат в виде фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь , использующий однородные координаты для представления перевода векторного пространства с умножением матриц : запишите трехмерный вектор, используя 4 однородных координаты, как . ^[7] ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$

Чтобы перевести объект на вектор , каждый однородный вектор (записанный в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Обратная матрица перевода может быть получена путем изменения направления вектора:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

Аналогично, произведение матриц перевода определяется сложением векторов:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц перевода также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

Перевод осей

Хотя геометрическое перемещение часто рассматривается как активный процесс, изменяющий положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического перемещения известна как перемещение осей .

Трансляционная симметрия

Говорят, что объект, который выглядит одинаково до и после перевода, обладает трансляционной симметрией . Типичным примером является периодическая функция , которая является собственной функцией оператора перевода.

Приложения

Динамика автомобиля

Для описания динамики транспортного средства (или движения любого твердого тела ), включая динамику корабля и динамику самолета , обычно используется механическая модель, состоящая из шести степеней свободы , которая включает перемещения по трем опорным осям, а также вращения вокруг этих трех. топоры.

Эти переводы часто называют:

• Помпаж , перемещение вдоль продольной оси (вперед или назад)
• Раскачивание , перевод вдоль поперечной оси (из стороны в сторону)
• Heave , перевод по вертикальной оси (для перемещения вверх или вниз).

Соответствующие вращения часто называют:

• крен , вокруг продольной оси
• шаг , относительно поперечной оси
• рыскание , относительно вертикальной оси.

Смотрите также

• 2D компьютерная графика#Перевод
• Адвекция
• Параллельная транспортировка
• Матрица вращения
• Масштабирование (геометрия)
• Матрица трансформации
• Трансляционная симметрия

Рекомендации

1. Де Берг, Марк; Чеонг, Отфрид; Ван Кревелд, Марк; Овермарс, Марк (2008), Алгоритмы и приложения вычислительной геометрии, Берлин: Springer , стр. 91, номер домена : 10.1007/978-3-540-77974-2, ISBN 978-3-540-77973-5.
2. Смит, Джеймс Т. (2011), Методы геометрии, John Wiley & Sons, стр. 356, ISBN 9781118031032.
3. Фолкнер, Джон Р. (2014), Роль неассоциативной алгебры в проективной геометрии, Аспирантура по математике , том. 159, Американское математическое общество, с. 13, ISBN 9781470418496.
4. Догерти, Эдвард Р.; Астол, Яакко (1999), Нелинейные фильтры для обработки изображений, серия SPIE/IEEE по науке и технике обработки изображений, том. 59, SPIE Press, с. 169, ISBN 9780819430335.
5. Зилл, Деннис; Райт, Уоррен С. (2009), Исчисление с одной переменной: ранние трансцендентальные теории, Jones & Bartlett Learning, стр. 269, ISBN 9780763749651.
6. Эдмунд Тейлор Уиттакер (1988). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел (перепечатка четвертого издания 1936 года с предисловием под ред. Уильяма МакКри). Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 0-521-35883-3.
7. Ричард Пол, 1981, Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.

дальнейшее чтение

• Зазкис Р., Лильедал П. и Гадовски К. Концепции функционального перевода: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Журнал математического поведения, 22, 437–450. Получено 29 апреля 2014 г. с сайта www.elsevier.com/locate/jmathb.
• Преобразования графов: горизонтальные трансляции. (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графов. Проверено 29 апреля 2014 г.

Внешние ссылки

• Преобразование перевода в кратчайшие сроки
• Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
• Понимание 2D-перевода и Понимание 3D-перевода, Роджер Гермундссон, Демонстрационный проект Wolfram .