Оператор (математика)

Функция, действующая в функциональных пространствах

В математике оператор обычно представляет собой отображение или функцию , которая воздействует на элементы пространства для создания элементов другого пространства (возможно , а иногда и необходимо, чтобы это было то же самое пространство). Общего определения оператора не существует , но этот термин часто используется вместо функции , когда предметная область представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область определения оператора часто трудно охарактеризовать явно (например, в случае интегрального оператора ), и его можно расширить, чтобы действовать на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может действовать также на дифференциальные уравнения , чьи решения — это функции, удовлетворяющие уравнению). Другие примеры см. в разделе «Оператор (физика)» .

Самыми основными операторами являются линейные отображения , которые действуют в векторных пространствах . Линейные операторы относятся к линейным картам, область определения и диапазон которых находятся в одном и том же пространстве, например от до ^{[1] [2] [a].} Такие операторы часто сохраняют такие свойства, как непрерывность . Например, дифференцирование и неопределенное интегрирование являются линейными операторами; операторы, построенные из них, называются дифференциальными операторами , интегральными операторами или интегро-дифференциальными операторами. ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

Оператор также используется для обозначения символа математической операции . Это связано со значением слова «оператор» в компьютерном программировании ; см. Оператор (компьютерное программирование) .

Линейные операторы

Наиболее распространенный вид операторов — это линейные операторы . Пусть U и V — векторные пространства  над некоторым полем K. Отображение является линейным , если ${\displaystyle \ \operatorname {A} :U\to V\ }$

$${\displaystyle \ \operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \ }$$

xyUα , βK.морфизмыматрицамиK—KUVсоглашения Эйнштейна ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ \operatorname {A} :U\to V\ }$

$${\displaystyle \ \operatorname {A} \mathbf {x} =x^{i}\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}=x^{i}\left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\mathbf {v} _{j}~.}$$

nmбиективном ${\displaystyle \ a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{i}^{j}\in K\ ,}$ ${\displaystyle \operatorname {A} }$ ${\displaystyle \ \{\mathbf {u} _{i}\}_{i=1}^{n}~.}$ ${\displaystyle \ a_{i}^{j}\ }$ ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \;\operatorname {A} \mathbf {x} =\mathbf {y} \;}$ ${\displaystyle \ a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}~.}$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ V~.}$

Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются понятия ранга , определителя , обратного оператора и собственного пространства .

Линейные операторы играют большую роль и в бесконечномерном случае. Понятия ранга и определителя нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов вообще) в бесконечномерном случае применяются совсем другие методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (названный так потому, что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).

Пространство последовательностей действительных чисел или, в более общем смысле, последовательностей векторов в любом векторном пространстве сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пространства последовательностей . Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательностей .

Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектра , элегантно обобщающую теорию собственных пространств.

Ограниченные операторы

Пусть U и V — два векторных пространства над одним и тем же упорядоченным полем (например, ) и они снабжены нормами . Тогда линейный оператор из U в V называется ограниченным, если существует c > 0 такое, что ${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$

$${\displaystyle \ \|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\ }$$

xU.UV

$${\displaystyle \ \|\operatorname {A} \|=\inf\{\ c:\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}~.}$$

U

${\textstyle \ \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|~.}$ ^[б]

Любая нормированная алгебра с единицей, обладающая этим свойством, называется банаховой алгеброй . На такие алгебры можно обобщить спектральную теорию . С*-алгебры , являющиеся банаховыми алгебрами с некоторой дополнительной структурой, играют важную роль в квантовой механике .

Примеры

Анализ (исчисление)

С точки зрения функционального анализа , исчисление — это изучение двух линейных операторов: дифференциального оператора и оператора Вольтерра. ${\displaystyle {\frac {\ \mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle \ \int _{0}^{t}~.}$

Операторы фундаментального анализа скалярных и векторных полей

Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :

• Grad ( gradient ) (с символом оператора ) присваивает вектор в каждой точке скалярного поля, который указывает в направлении наибольшей скорости изменения этого поля и норма которого измеряет абсолютное значение этой наибольшей скорости изменения. ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\nabla }}\ }$
• Div ( дивергенция ) (с символом оператора ) — векторный оператор, который измеряет расхождение векторного поля или сходимость к заданной точке. ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\nabla \cdot }}\ }$
• Curl (с символом оператора ) — это векторный оператор, который измеряет тенденцию закручивания (обкручивания, вращения вокруг) векторного поля вокруг заданной точки. ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\nabla \!\times }}\ }$

Являясь расширением операторов векторного исчисления в физике, инженерном и тензорном пространствах, операторы grad, div и curl также часто связаны с тензорным исчислением , а также с векторным исчислением. ^[3]

Геометрия

В геометрии иногда изучаются дополнительные структуры на векторных пространствах . Операторы, которые биективно отображают такие векторные пространства сами в себя, очень полезны в этих исследованиях. Они естественным образом образуют группы по композиции.

Например, биективные операторы, сохраняющие структуру векторного пространства, — это в точности обратимые линейные операторы . Они образуют общую линейную группу по композиции. Однако они не образуют векторное пространство при добавлении операторов; поскольку, например, и тождество, и -идентичность обратимы ( биективны), а их сумма 0 - нет.

Операторы, сохраняющие евклидову метрику в таком пространстве, образуют группу изометрий , а операторы, фиксирующие начало координат, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа . Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных кортежей, образуют специальную ортогональную группу или группу вращений.

Теория вероятности

В теории вероятностей также участвуют операторы, такие как ожидание , дисперсия и ковариация , которые используются для обозначения как числовой статистики, так и операторов, которые ее производят. Действительно, каждая ковариация по сути представляет собой скалярное произведение : каждая дисперсия представляет собой скалярное произведение вектора с самим собой и, таким образом, является квадратичной нормой ; каждое стандартное отклонение является нормой (квадратный корень из квадратичной нормы); соответствующий косинус этому скалярному произведению является коэффициентом корреляции Пирсона ; ожидаемое значение — это, по сути, интегральный оператор (используемый для измерения взвешенных фигур в пространстве).

Ряд Фурье и преобразование Фурье

Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; он полезен главным образом потому, что преобразует функцию в одной (временной) области в функцию в другой (частотной) области эффективно обратимым образом . Никакая информация не теряется, так как имеется оператор обратного преобразования. В простом случае периодических функций этот результат основан на теореме о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно представить в виде суммы ряда синусоидов и косинусоид:

$${\displaystyle \ f(t)={\frac {\ a_{0}\ }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\ a_{n}\cos(\omega \ n\ t)+b_{n}\sin(\omega \ n\ t)\ }$$

( a ₀ , a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , ... )ℓ 2

При работе с общей функцией преобразование принимает целочисленный вид: ${\displaystyle \ \mathbb {R} \to \mathbb {C} \ ,}$

$${\displaystyle \ f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\ g(\omega )\ e^{i\ \omega \ t}\ \mathrm {d} \ \omega }~.}$$

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа — еще один интегральный оператор, который упрощает процесс решения дифференциальных уравнений.

Учитывая f = f ( s ) , оно определяется следующим образом:

$${\displaystyle \ F(s)=\operatorname {\mathcal {L}} \{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-s\ t}\ f(t)\ \mathrm {d} \ t~.}$$

Сноски

1. : (1) Линейное преобразование из V в V называется линейным оператором на V . Множество всех линейных операторов на V обозначается ℒ ( V )  . Линейный оператор в вещественном векторном пространстве называется вещественным оператором , а линейный оператор в комплексном векторном пространстве называется комплексным оператором . ... Следует также упомянуть , что некоторые авторы используют термин «линейный оператор» для любого линейного преобразования из V в W. ...
   Определение: Также используются следующие термины:

   (2) эндоморфизм линейного оператора...

   (6) автоморфизм биективного линейного оператора.

   - Роман (2008) ^[2]

2. В этом выражении поднятая точка просто представляет собой умножение в любом скалярном поле, используемом с V  .

Смотрите также

• Функция
• Операторная алгебра
• Список операторов

Рекомендации

1. Рудин, Уолтер (1976). «Глава 9: Функции нескольких переменных». Принципы математического анализа (3-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 207. ИСБН 0-07-054235-Х. Линейные преобразования X в X  часто называют линейными операторами на X.
2. Роман, Стивен (2008). «Глава 2: Линейные преобразования». Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Спрингер. п. 59. ИСБН 978-0-387-72828-5.
3. Шей, HM (2005). Див, Град, Керл и все такое . Нью-Йорк, Нью-Йорк: WW Нортон. ISBN 0-393-92516-1.