Тензорное исчисление

Распространение векторного исчисления на тензоры

В математике тензорное исчисление , тензорный анализ или исчисление Риччи представляет собой расширение векторного исчисления до тензорных полей ( тензоров , которые могут изменяться в многообразии , например, в пространстве-времени ).

Разработанная Грегорио Риччи-Курбастро и его учеником Туллио Леви-Чивита , ^[1] она была использована Альбертом Эйнштейном для разработки его общей теории относительности . В отличие от исчисления бесконечно малых , тензорное исчисление позволяет представлять физические уравнения в форме, не зависящей от выбора координат на многообразии .

Тензорное исчисление имеет множество применений в физике , технике и информатике , включая упругость , механику сплошной среды , электромагнетизм (см . математические описания электромагнитного поля ), общую теорию относительности (см. математику общей теории относительности ), квантовую теорию поля и машинное обучение .

Работая вместе с главным сторонником внешнего исчисления Эли Картаном , влиятельный геометр Шиинг-Шен Черн резюмирует роль тензорного исчисления: ^[2]

В нашем предмете дифференциальной геометрии, где вы говорите о многообразиях, одна трудность состоит в том, что геометрия описывается координатами, но координаты не имеют значения. Им позволено претерпеть трансформацию. И чтобы справиться с такого рода ситуациями, важным инструментом является так называемый тензорный анализ, или исчисление Риччи, которое было новым для математиков. В математике у вас есть функция, вы записываете функцию, вычисляете, или складываете, или умножаете, или можете дифференцировать. У вас есть что-то очень конкретное. В геометрии геометрическая ситуация описывается числами, но вы можете произвольно менять свои числа. Итак, чтобы справиться с этим, вам понадобится исчисление Риччи.

Синтаксис

В тензорной нотации используются верхние и нижние индексы объектов, которые используются для обозначения переменного объекта как ковариантного (нижний индекс), контравариантного (верхний индекс) или смешанного ковариантного и контравариантного (имеющего как верхний, так и нижний индексы). Фактически, в обычном математическом синтаксисе мы используем ковариантные индексы, когда имеем дело с декартовыми системами координат, часто не осознавая, что это ограниченное использование тензорного синтаксиса в качестве ковариантных индексированных компонентов. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$

Тензорная нотация позволяет использовать верхний индекс объекта, который можно спутать с обычными степенными операциями из обычного математического синтаксиса.

Ключевые идеи

Векторное разложение

Обозначение тензоров позволяет разложить вектор ( ) на суммирование Эйнштейна , представляющее тензорное сжатие базисного вектора ( или ) с вектором-компонентом ( или ). ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}^{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V^{i}}$

${\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}}$

Каждый вектор имеет два различных представления: одно называется контравариантным компонентом ( ) с ковариантным базисом ( ), а другое — ковариантным компонентом ( ) с контравариантным базисом ( ). Тензорные объекты со всеми верхними индексами называются контравариантными, а тензорные объекты со всеми нижними индексами — ковариантными. Необходимость различать контравариант и ковариант возникает из-за того, что когда мы расставляем точку над произвольным вектором с его базисным вектором, связанным с определенной системой координат, есть два способа интерпретации этого скалярного произведения : либо мы рассматриваем его как проекцию базиса вектор на произвольный вектор, или мы рассматриваем его как проекцию произвольного вектора на базисный вектор, оба представления скалярного произведения полностью эквивалентны, но имеют разные составные элементы и разные базисные векторы: ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}^{i}}$

$${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}_{i}=V_{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}_{i}={\vec {Z}}_{i}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}^{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}_{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}^{i})}\cdot {\vec {V}}}$$

$${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {Z}}^{i}=V^{i}={\vec {V}}^{T}{\vec {Z}}^{i}={{\vec {Z}}^{i}}^{T}{\vec {V}}={\mathrm {proj} _{{\vec {Z}}_{i}}({\vec {V}})}\cdot {\vec {Z}}^{i}={\mathrm {proj} _{\vec {V}}({\vec {Z}}_{i})}\cdot {\vec {V}}}$$

Например, в физике вы начинаете с векторного поля , разлагаете его по ковариантному базису и таким образом получаете контравариантные координаты. Для ортонормированных декартовых координат ковариантный и контравариантный базис идентичны, поскольку базисным набором в этом случае является просто единичная матрица, однако для неаффинной системы координат, такой как полярная или сферическая, необходимо различать разложение с помощью контравариантный или ковариантный базис для генерации компонентов системы координат.

Ковариантное векторное разложение

${\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {Z}}_{i}}$

Контравариантное векторное разложение

${\displaystyle {\vec {V}}=V_{i}{\vec {Z}}^{i}}$

Метрический тензор

Метрический тензор представляет собой матрицу со скалярными элементами ( или ) и представляет собой тензорный объект, который используется для повышения или понижения индекса другого тензорного объекта с помощью операции, называемой сжатием, что позволяет преобразовать ковариантный тензор в контравариантный тензор, и наоборот. ${\displaystyle Z_{ij}}$ ${\displaystyle Z^{ij}}$

Пример понижения индекса с использованием метрического тензора:

${\displaystyle T_{i}=Z_{ij}T^{j}}$

Пример повышения индекса с использованием метрического тензора:

${\displaystyle T^{i}=Z^{ij}T_{j}}$

Метрический тензор определяется как:

${\displaystyle Z_{ij}={\vec {Z}}_{i}\cdot {\vec {Z}}_{j}}$

${\displaystyle Z^{ij}={\vec {Z}}^{i}\cdot {\vec {Z}}^{j}}$

Это означает, что если мы возьмем каждую перестановку набора базисных векторов и расставим их точками друг относительно друга, а затем расположим их в квадратную матрицу, у нас будет метрический тензор. Предостережение здесь заключается в том, какой из двух векторов в перестановке используется для проецирования на другой вектор, что является отличительным свойством ковариантного метрического тензора по сравнению с контравариантным метрическим тензором.

Существуют две разновидности метрических тензоров: (1) контравариантный метрический тензор ( ) и (2) ковариантный метрический тензор ( ). Эти два варианта метрического тензора связаны тождеством: ${\displaystyle Z^{ij}}$ ${\displaystyle Z_{ij}}$

${\displaystyle Z_{ik}Z^{jk}=\delta _{i}^{j}}$

Для ортонормированной декартовой системы координат метрический тензор — это просто дельта Кронекера или , которая является просто тензорным эквивалентом единичной матрицы , и . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta ^{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{j}^{i}}$

якобиан

Кроме того, тензор можно легко преобразовать из системы координат без перемычки ( ) в систему координат ( ) с перемычкой, имеющую разные наборы базисных векторов: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$

$${\displaystyle f(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})=f{\bigg (}x^{1}({\bar {x}}),x^{2}({\bar {x}}),\dots ,x^{n}({\bar {x}}){\bigg )}={\bar {f}}({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\dots ,{\bar {x}}^{n})={\bar {f}}{\bigg (}{\bar {x}}^{1}(x),{\bar {x}}^{2}(x),\dots ,{\bar {x}}^{n}(x){\bigg )}}$$

с помощью отношений матрицы Якоби между системой координат с перемычкой и без перемычки ( ). Якобиан между системой с перемычкой и без нее играет важную роль в определении ковариантных и контравариантных базисных векторов, поскольку для существования этих векторов они должны удовлетворять следующему соотношению относительно системы с перемычкой и без перемычки: ${\displaystyle {\bar {J}}=J^{-1}}$

Контравариантные векторы должны подчиняться законам:

${\displaystyle v^{i}={\bar {v}}^{r}{\frac {\partial x^{i}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{r}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}^{i}=v^{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}}$

Ковариантные векторы должны подчиняться законам:

${\displaystyle v_{i}={\bar {v}}_{r}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}(x)}{\partial x^{r}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}_{i}=v_{r}{\frac {\partial x^{r}({\bar {x}})}{\partial {\bar {x}}^{i}}}}$

Существует два варианта матрицы Якобиана:

1. Матрица J, представляющая переход от незапрещенных координат к запрещенным. Чтобы найти J, мы берем «градиент с перемычкой», то есть частную производную по : ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$

${\displaystyle J={\bar {\nabla }}f(x({\bar {x}}))}$

2. Матрица, представляющая переход от запрещенных к незапрещенным координатам. Чтобы найти , мы берем «градиент без перемычки», т.е. частичный вывод по отношению к : ${\displaystyle {\bar {J}}}$ ${\displaystyle {\bar {J}}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

${\displaystyle {\bar {J}}=\nabla {\bar {f}}({\bar {x}}(x))}$

Вектор градиента

Тензорное исчисление обеспечивает обобщение формулы вектора градиента из стандартного исчисления, которая работает во всех системах координат:

${\displaystyle \nabla F=\nabla _{i}F{\vec {Z}}^{i}}$

Где:

${\displaystyle \nabla _{i}F={\frac {\partial F}{\partial Z^{i}}}}$

Напротив, для стандартного исчисления формула вектора градиента зависит от используемой системы координат (пример: формула декартова вектора градиента по сравнению с формулой вектора полярного градиента по сравнению с формулой вектора сферического градиента и т. д.). В стандартном исчислении каждая система координат имеет свою собственную формулу, в отличие от тензорного исчисления, которое имеет только одну формулу градиента, эквивалентную для всех систем координат. Это стало возможным благодаря пониманию метрического тензора, который использует тензорное исчисление.

Смотрите также

• Математический портал

• Векторный анализ
• Матричное исчисление
• исчисление Риччи
• Криволинейные координаты
  • Тензоры в криволинейных координатах
• Мультилинейное обучение подпространству
• Полилинейная алгебра
• Дифференциальная геометрия

Рекомендации

1. Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.). «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения». Mathematische Annalen (на французском языке). Спрингер. 54 (1–2): 125–201. дои : 10.1007/BF01454201. S2CID  120009332.
2. «Интервью с Шиинг Шэнь Черном» (PDF) . Уведомления АМС . 45 (7): 860–5. Август 1998 года.

дальнейшее чтение

• Дмитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции. Спрингер. ISBN 1-4020-1015-Х.
• Сокольников, Иван С (1951). Тензорный анализ: теория и приложения к геометрии и механике сплошных сред . Уайли. ISBN 0471810525.
• Борисенко А.И.; Тарапов, И.Э. ​​(1979). Векторный и тензорный анализ с приложениями (2-е изд.). Дувр. ISBN 0486638332.
• Ицков, Михаил (2015). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошных сред (2-е изд.). Спрингер. ISBN 9783319163420.
• Тилдесли, младший (1973). Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников . Лонгман. ISBN 0-582-44355-5.
• Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очерки Шаума. МакГроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6.
• Гринфельд, П. (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Спрингер. ISBN 978-1-4614-7866-9.

Внешние ссылки

• Даллемонд, Кес; Петерс, Каспер (1991–2010). «Введение в тензорное исчисление» (PDF) . Проверено 17 мая 2018 г.