Скалярное произведение

Алгебраическая операция над координатными векторами

В математике скалярное произведение или скалярное произведение ^{[примечание 1]} — это алгебраическая операция , которая принимает две последовательности чисел одинаковой длины (обычно координатные векторы ) и возвращает одно число. В евклидовой геометрии широко используется скалярное произведение декартовых координат двух векторов . Его часто называют внутренним продуктом (или реже проекционным продуктом ) евклидова пространства, хотя это не единственный внутренний продукт, который можно определить в евклидовом пространстве ( подробнее см . Пространство внутреннего продукта ).

Алгебраически скалярное произведение представляет собой сумму произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел. Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат. В современной геометрии евклидовы пространства часто определяются с помощью векторных пространств . В этом случае скалярное произведение используется для определения длин (длина вектора — это квадратный корень скалярного произведения самого вектора) и углов (косинус угла между двумя векторами — это частное их скалярного произведения). произведением их длин).

Название «скалярное произведение» происходит от точечного оператора «  ·  », который часто используется для обозначения этой операции; ^[1] альтернативное название «скалярное произведение» подчеркивает, что результатом является скаляр , а не вектор (как в случае векторного произведения в трехмерном пространстве).

Определение

Скалярное произведение может быть определено алгебраически или геометрически. Геометрическое определение основано на понятиях угла и расстояния (величины) векторов. Эквивалентность этих двух определений основана на наличии декартовой системы координат для евклидова пространства.

В современных представлениях евклидовой геометрии точки пространства определяются в терминах их декартовых координат , а само евклидово пространство обычно отождествляется с реальным координатным пространством . В таком представлении понятия длины и угла определяются посредством скалярного произведения. Длина вектора определяется как квадратный корень скалярного произведения вектора самого по себе, а косинус ( неориентированного) угла между двумя векторами длины один определяется как их скалярное произведение. Таким образом, эквивалентность двух определений скалярного произведения является частью эквивалентности классической и современной формулировок евклидовой геометрии. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Определение координат

Скалярное произведение двух векторов и , заданное относительно ортонормированного базиса , определяется как: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

где обозначает суммирование и является размерностью векторного пространства . Например, в трехмерном пространстве скалярное произведение векторов и равно: ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [1,3,-5]}$ ${\displaystyle [4,-2,-1]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

Аналогично, скалярное произведение вектора на самого себя равно: ${\displaystyle [1,3,-5]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

Если векторы отождествляются с векторами-столбцами , скалярное произведение также можно записать как матричное произведение.

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$

транспонирование ${\displaystyle a{^{\mathsf {T}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Выражая приведенный выше пример таким образом, матрица 1 × 3 ( вектор-строка ) умножается на матрицу 3 × 1 ( вектор-столбец ), чтобы получить матрицу 1 × 1, которая идентифицируется своей уникальной записью:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

Геометрическое определение

Иллюстрация, показывающая, как найти угол между векторами с помощью скалярного произведения

Расчет валентных углов симметричной тетраэдрической молекулярной геометрии с использованием скалярного произведения

В евклидовом пространстве евклидов вектор — это геометрический объект, обладающий как величиной, так и направлением. Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина — это его длина, а его направление — это направление, куда указывает стрелка. Величина вектора обозначается . _ Скалярное произведение двух евклидовых векторов определяется формулой ^{[3] [4] [1]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

_ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

В частности, если векторы и ортогональны (т.е. их угол равен или ), то , откуда следует, что ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$

сонаправлены ${\displaystyle \cos 0=1}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$

${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$

длины

Скалярная проекция и первые свойства

Скалярная проекция

Скалярная проекция (или скалярная компонента) евклидова вектора в направлении евклидова вектора определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

$${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

С точки зрения геометрического определения скалярного произведения это можно переписать как

$${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$

единичный вектор ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Распределительный закон для скалярного произведения

Таким образом, скалярное произведение характеризуется геометрически ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$$

однородным ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$

распределительному закону

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

Эти свойства можно резюмировать, сказав, что скалярное произведение представляет собой билинейную форму . Более того, эта билинейная форма положительно определена , что означает, что она никогда не бывает отрицательной и равна нулю тогда и только тогда , когда нулевой вектор. ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$

Эквивалентность определений

Если – стандартные базисные векторы в , то мы можем написать ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$

ортонормированным базисом ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$

${\displaystyle i\neq j}$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$

дельта Кронекера ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Векторные компоненты в ортонормированном базисе

Также по геометрическому определению для любого вектора и вектора заметим, что ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$

${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Теперь применение распределительности геометрической версии скалярного произведения дает

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$

Характеристики

Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам, если , и являются действительными векторами и , и являются скалярами . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

коммутативный

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$

что следует из определения ( – угол между и ): ^[6] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$$

Дистрибутивное сложение по векторам

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

Билинейный

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$$

Скалярное умножение

$${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$$

Не ассоциативный

поскольку скалярное произведение между скаляром и вектором не определено, а это означает, что выражения, участвующие в ассоциативном свойстве, или оба неопределенны. ^[7] Однако обратите внимание, что ранее упомянутое свойство скалярного умножения иногда называют «законом ассоциативности для скалярного и скалярного произведения» ^[8] или можно сказать, что «скалярное произведение ассоциативно по отношению к скалярному умножению», потому что . ^[9] ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$ ${\displaystyle c(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(c\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (c\mathbf {b} )}$

ортогональный

Два ненулевых вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$

Без отмены

В отличие от умножения обычных чисел, где if , then всегда равно , если не равно нулю, скалярное произведение не подчиняется закону сокращения : ${\displaystyle ab=ac}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

Если и , то можно написать: по распределительному закону ; результат выше говорит, что это просто означает, что перпендикулярно , что все еще позволяет , и, следовательно, позволяет . ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )\neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {c} }$

Правило продукта

Если и являются векторнозначными дифференцируемыми функциями , то производная ( обозначается штрихом ) определяется по правилу ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {}'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

$${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )'=\mathbf {a} '\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '.}$$

Приложение к закону косинусов

Треугольник с векторными краями a и b , разделенными углом θ .

Учитывая два вектора , разделенные углом (см. изображение справа), они образуют треугольник с третьей стороной . Пусть , и обозначают длины , , и соответственно. Скалярное произведение этого самого себя: ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

что такое закон косинусов .

Тройной продукт

Есть две троичные операции , включающие скалярное произведение и перекрестное произведение .

Скалярное тройное произведение трех векторов определяется как

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

определителемдекартовы координатыобъемсопроизведения

Тройное векторное произведение определяется формулой ^{[2] [3]}

$${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}$$

формула Лагранжаможно запомнитьфизике

Физика

В физике векторная величина — это скаляр в физическом смысле (т. е. физическая величина, независимая от системы координат), выражаемая как произведение числового значения и физической единицы , а не просто числа. Скалярное произведение также является скаляром в этом смысле, заданным формулой, независимой от системы координат. Например: ^{[10] [11]}

• Механическая работа – это скалярное произведение векторов силы и перемещения .
• Мощность — это скалярное произведение силы и скорости .

Обобщения

Сложные векторы

Для векторов со сложными элементами использование данного определения скалярного произведения приведет к совершенно другим свойствам. Например, скалярное произведение вектора с самим собой может быть нулевым, при этом вектор не является нулевым вектором (например, это произошло бы с вектором ). Это, в свою очередь, будет иметь последствия для таких понятий, как длина и угол. Такие свойства, как положительно определенная норма, можно спасти ценой отказа от симметричных и билинейных свойств скалярного произведения с помощью альтернативного определения ^{[12] [2]} ${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$

комплексно-сопряженноевекторами-столбцамиматричное произведениесопряженное транспонирование ${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

В случае векторов с вещественными компонентами это определение такое же, как и в вещественном случае. Скалярное произведение любого вектора с самим собой представляет собой неотрицательное действительное число и не равно нулю, за исключением нулевого вектора. Однако комплексное скалярное произведение является полуторалинейным , а не билинейным, поскольку оно сопряжено линейно , а не линейно по . Скалярное произведение не симметрично, поскольку ${\displaystyle \mathbf {a} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Комплексное скалярное произведение приводит к понятиям эрмитовых форм и общих пространств внутреннего произведения , которые широко используются в математике и физике .

Скалярное произведение комплексного вектора , включающее сопряженное транспонирование вектора-строки, также известно как квадрат нормы , после евклидовой нормы ; это векторное обобщение абсолютного квадрата комплексного скаляра (см. также: квадрат евклидова расстояния ). ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$ ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$

Внутренний продукт

Внутренний продукт обобщает скалярное произведение на абстрактные векторные пространства над полем скаляров , являющимся либо полем действительных чисел , либо полем комплексных чисел . Обычно его обозначают угловыми скобками . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$

Внутреннее произведение двух векторов по полю комплексных чисел, как правило, является комплексным числом и является полуторалинейным , а не билинейным. Пространство внутреннего продукта — это нормированное векторное пространство , а внутреннее произведение вектора на самого себя является действительным и положительно определенным.

Функции

Скалярное произведение определяется для векторов, которые имеют конечное число элементов . Таким образом, эти векторы можно рассматривать как дискретные функции : тогда вектор длины представляет собой функцию с областью определения и является обозначением образа функции/вектора . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u}$

Это понятие можно обобщить на непрерывные функции : точно так же, как внутренний продукт векторов использует сумму по соответствующим компонентам, внутренний продукт функций определяется как интеграл на некотором интервале [ a ,  b ] : ^[2]

$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}u(x)v(x)\,dx.}$$

Обобщая далее на комплексные функции и , по аналогии с приведенным выше комплексным скалярным произведением, дает ^[2] ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x)}$

$${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {\chi (x)}}\,dx.}$$

Весовая функция

Внутренние продукты могут иметь весовую функцию (т. е. функцию, которая присваивает каждому члену внутреннего продукта определенное значение). Явно скалярный продукт функций и по весовой функции равен ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle r(x)>0}$

$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

Диадики и матрицы

Двойное скалярное произведение для матриц — это внутреннее произведение Фробениуса , которое аналогично скалярному произведению векторов. Он определяется как сумма произведений соответствующих компонентов двух матриц одинакового размера: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).}$$

Записав матрицу как диадическую , мы можем определить другое произведение с двойной точкой (см. Диадические элементы § Продукт диадного и диадического ), однако это не внутренний продукт.

Тензоры

Внутренний продукт между тензором порядка и тензором порядка — это тензор порядка , подробности см. в разделе «Сжатие тензора» . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n+m-2}$

Вычисление

Алгоритмы

Простой алгоритм вычисления скалярного произведения векторов с плавающей запятой может пострадать от катастрофической отмены . Чтобы избежать этого, используются такие подходы, как алгоритм суммирования Кахана .

Библиотеки

Функция скалярного произведения включена в:

• BLAS уровень 1 реальный SDOT, DDOT; сложный CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC,ZDOTC = X^H * Y
• Фортран как dot_product(A,B)илиsum(conjg(A) * B)
• Julia as   A' * Bили стандартная библиотека LinearAlgebra asdot(A, B)
• R (язык программирования) для sum(A * B)векторов или, в более общем плане, для матриц, какA %*% B
• Matlab как   A' * B  или   conj(transpose(A)) * B  или   sum(conj(A) .* B)  или  dot(A, B)
• Python (пакет NumPy ) как   numpy.dot(A, B)  или  numpy.inner(A, B)
• GNU Octave как   sum(conj(X) .* Y, dim)и код, аналогичный Matlab.
• Библиотека математических ядер Intel oneAPI real p?dot dot = sub(x)'*sub(y); сложный p?dotcdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)

Смотрите также

• Неравенство Коши – Шварца
• Перекрестное произведение
• Представление скалярного произведения графика
• Евклидова норма , квадратный корень из собственного скалярного произведения
• Умножение матрицы
• Метрический тензор
• Умножение векторов
• Внешний продукт

Примечания

1. Термин скалярное произведение буквально означает «произведение со скаляром в результате». Он также иногда используется для других симметричных билинейных форм , например в псевдоевклидовом пространстве .

Рекомендации

1. «Скалярное произведение». www.mathsisfun.com . Проверено 6 сентября 2020 г.
2. С. Липшуц; М. Липсон (2009). Линейная алгебра (Очерки Шаума) (4-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1.
3. М.Р. Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (Очерки Шаума) (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
4. А.И. Борисенко; И. Е. Тапаров (1968). Векторный и тензорный анализ с приложениями . Перевод Ричарда Сильвермана. Дувр. п. 14.
5. Арфкен, Великобритания; Вебер, HJ (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Бостон, Массачусетс: Академическая пресса . стр. 14–15. ISBN 978-0-12-059825-0.
6. Никамп, Дуэйн. «Скалярное произведение». Математическое понимание . Проверено 6 сентября 2020 г.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Скалярный продукт». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
8. Т. Банчофф; Дж. Вермер (1983). Линейная алгебра через геометрию. Springer Science & Business Media. п. 12. ISBN 978-1-4684-0161-5.
9. А. Бедфорд; Уоллес Л. Фаулер (2008). Инженерная механика: Статика (5-е изд.). Прентис Холл. п. 60. ИСБН 978-0-13-612915-8.
10. К. Ф. Райли; член парламента Хобсон; С. Дж. Бенс (2010). Математические методы в физике и технике (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
11. М. Мэнсфилд; К. О'Салливан (2011). Понимание физики (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-47-0746370.
12. Бербериан, Стерлинг К. (2014) [1992]. Линейная алгебра . Дувр. п. 287. ИСБН 978-0-486-78055-9.

Внешние ссылки

• «Внутренний продукт», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Объяснение скалярного произведения, в том числе со сложными векторами
• «Скалярный продукт» Брюса Торренса, Демонстрационный проект Wolfram , 2007 г.