Скалярная проекция

Если 0° ≤ θ ≤ 90°, как в этом случае, скалярная проекция a на b совпадает с длиной векторной проекции .

Векторная проекция a на b ( a 1 ₎ и векторное отклонение a от b ( a ₂ ).

В математике скалярная проекция вектора на вектор (или на него), также известная как скалярная резольвента , в направлении определяется по формуле : ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,}$

где оператор обозначает скалярное произведение , — единичный вектор в направлении — длина и — угол между и . ^[1 ] ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Термин «скалярная составляющая» иногда относится к скалярной проекции, поскольку в декартовых координатах компоненты вектора являются скалярными проекциями в направлениях осей координат .

Скалярная проекция — это скаляр , равный длине ортогональной проекции на , со знаком минус, если проекция имеет противоположное направление по отношению к . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Умножение скалярной проекции на на преобразует ее в вышеупомянутую ортогональную проекцию, также называемую векторной проекцией на . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Определение на основе углаθ

Если угол между и известен, скалярную проекцию на можно вычислить с помощью ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .}$ ( на рисунке) ${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$

Формулу выше можно инвертировать, чтобы получить угол θ .

Определение в терминах a и b

Если неизвестно, косинус можно вычислить через и с помощью следующего свойства скалярного произведения : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta }$

Благодаря этому свойству определение скалярной проекции принимает вид: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,}$

Характеристики

Скалярная проекция имеет отрицательный знак, если . Она совпадает с длиной соответствующей векторной проекции , если угол меньше 90°. Точнее, если векторная проекция обозначена и ее длина : ${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$если ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ },}$

${\displaystyle s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$если ${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }.}$

Смотрите также

• Скалярное произведение
• Перекрестное произведение
• Векторная проекция

Источники

• Точечные произведения - www.mit.org
• Скалярная проекция - Flexbooks.ck12.org
• Скалярная проекция и векторная проекция - medium.com
• Объяснение урока: Скалярная проекция | Nagwa

Ссылки

1. Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (5-е изд.). Wellesley: Cambridge press. ISBN 978-0-9802327-7-6.