Векторная проекция

Понятие линейной алгебры

Векторная проекция (также известная как векторная компонента или векторное разрешение ) вектора a на (или на) ненулевой вектор b является ортогональной проекцией a на прямую линию , параллельную b . Проекцию a на b часто записывают как или a _{∥ b} . ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

Компонент вектора или векторная резольта перпендикуляра к b , иногда также называемый вектором отклонения a от b (обозначается или a⊥ b ₎ , ^[1] является ортогональной проекцией a на плоскость (или, вообще, гиперплоскость ) _. это ортогонально b . _ Поскольку оба и являются векторами, а их сумма равна a , отклонение a от b определяется формулой: ${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

$${\displaystyle \operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\mathbf {a} -\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$$

Проекция a на b ( a ₁ ) и отторжение a от b ( a ₂ ).

Когда 90° < θ ≤ 180° , a ₁ имеет противоположное направление относительно b .

Для упрощения обозначений в этой статье определяются и Таким образом, вектор параллелен вектору , ортогональному и ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}:=\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}:=\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}.}$

Проекцию a на b можно разложить на направление и скалярную величину, записав ее как где — скаляр, называемый скалярной проекцией a на b , а b̂ — единичный вектор в направлении b . Скалярная проекция определяется как ^[2] ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} }$ ${\displaystyle a_{1}}$

$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} }$$

⋅скалярное произведениеaдлинаа θуголabнаправлению,

Векторную проекцию можно рассчитать с использованием скалярного произведения и как: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

Обозначения

В этой статье используется соглашение, согласно которому векторы обозначаются жирным шрифтом (например, 1 ₎ , а скаляры пишутся обычным шрифтом (например , ₁ ).

Скалярное произведение векторов a и b записывается как , норма a записывается ‖ a ‖, угол между a и b обозначается θ . ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

Определения, основанные на угле θ

Скалярная проекция

Скалярная проекция a на b является скаляром, равным

$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$

θab

Скалярную проекцию можно использовать в качестве масштабного коэффициента для вычисления соответствующей векторной проекции.

Векторная проекция

Векторная проекция a на b — это вектор, величина которого является скалярной проекцией a на b с тем же направлением, что и b . А именно, оно определяется как

$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$

единичный векторb ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

Векторный отказ

По определению, векторное отклонение a от b равно:

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Следовательно,

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

Определения с точки зрения a и b

Когда θ неизвестен, косинус θ можно вычислить через a и b с помощью следующего свойства скалярного произведения a ⋅ b

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }$$

Скалярная проекция

Благодаря вышеупомянутому свойству скалярного произведения определение скалярной проекции принимает вид: ^[2]

$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

В двух измерениях это становится

$${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Векторная проекция

Аналогично определение векторной проекции a на b принимает вид: ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$

^[3]

$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

Скалярное отклонение

В двух измерениях скалярное отклонение эквивалентно проекции a на , повернутой на 90° влево. Следовательно, ${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$

$${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Такое скалярное произведение называется «скалярным произведением преступника». ^[4]

Векторный отказ

По определению,

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Следовательно,

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

Используя скалярное отклонение с использованием скалярного произведения преступника, это дает

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

Характеристики

Если 0° ≤ θ ≤ 90°, как в этом случае, скалярная проекция a на b совпадает с длиной векторной проекции.

Скалярная проекция

Скалярная проекция a на b — это скаляр, имеющий отрицательный знак, если 90 градусов < θ ≤ 180 градусов . Она совпадает с длиной ‖ c ‖ векторной проекции, если угол меньше 90°. Точнее:

• а ₁ = ‖ а ₁ ‖ , если 0° ≤ θ ≤ 90° ,
• а ₁ знак равно −‖ а ₁ ‖ , если 90° < θ ≤ 180° .

Векторная проекция

Векторная проекция a на b — это вектор a ₁ , который либо равен нулю, либо параллелен b . Точнее:

• a ₁ = 0 , если θ = 90° ,
• a ₁ и b имеют одинаковое направление, если 0° ≤ θ < 90° ,
• a ₁ и b имеют противоположные направления, если 90° < θ ≤ 180° .

Векторный отказ

Отбрасывание вектора a на b представляет собой вектор a ₂ , который либо равен нулю, либо ортогонален b . Точнее:

• a ₂ = 0 , если θ = 0° или θ = 180° ,
• a2 ортогонален b _, если 0 < θ < 180° ,

Матричное представление

Ортогональная проекция может быть представлена ​​матрицей проекции. ^{[ нужна цитата ]} Чтобы спроецировать вектор на единичный вектор a = ( a _x , a _y , a _z ) , его необходимо будет умножить на эту матрицу проекции:

$${\displaystyle P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}$$

Использование

Векторная проекция является важной операцией в ортонормализации баз векторного пространства по Граму – Шмидту . Он также используется в теореме о разделяющей оси , чтобы определить, пересекаются ли две выпуклые формы.

Обобщения

Поскольку понятия длины вектора и угла между векторами можно обобщить на любое n -мерное пространство внутреннего произведения , это справедливо и для понятий ортогональной проекции вектора, проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого. .

В некоторых случаях внутренний продукт совпадает со скалярным произведением. Всякий раз, когда они не совпадают, в формальных определениях проекции и отклонения вместо скалярного произведения используется внутренний продукт. Для трехмерного пространства внутреннего продукта понятия проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого можно обобщить до понятий проекции вектора на плоскость и отклонения вектора от плоскости. ^[5] Проекция вектора на плоскость — это его ортогональная проекция на эту плоскость. Отбрасыванием вектора от плоскости называется его ортогональная проекция на прямую, ортогональную этой плоскости. Оба являются векторами. Первая параллельна плоскости, вторая ортогональна.

Для данного вектора и плоскости сумма проекции и отклонения равна исходному вектору. Аналогично, для пространств внутреннего продукта с более чем тремя измерениями понятия проекции на вектор и отклонения от вектора могут быть обобщены до понятий проекции на гиперплоскость и отклонения от гиперплоскости . В геометрической алгебре они могут быть дополнительно обобщены до понятий проецирования и отклонения общего мультивектора на/от любой обратимой k -лопасти.

Смотрите также

• Скалярная проекция
• Векторные обозначения

Рекомендации

1. Первасс, Г. (2009). Геометрическая алгебра с приложениями в технике. п. 83. ИСБН 9783540890676.
2. «Скалярные и векторные проекции». www.ck12.org . Проверено 7 сентября 2020 г.
3. «Скалярное произведение и прогнозы».
4. Хилл, Ф.С. младший (1994). Графические драгоценные камни IV . Сан-Диего: Академическая пресса. стр. 138–148.
5. MJ Бейкер, 2012. Проекция вектора на плоскость. Опубликовано на сайте euclideanspace.com.

Внешние ссылки

• Проекция вектора на плоскость