Евклидова плоскость

Геометрическая модель плоской проекции физической вселенной

Двумерная декартова система координат

В математике евклидова плоскость — это евклидово пространство размерности два , ^{обозначаемое} E2 . Это геометрическое пространство , в котором для определения положения каждой точки требуются два действительных числа . Это аффинное пространство , включающее, в частности, понятие параллельных линий . Он также имеет метрические свойства , обусловленные расстоянием , что позволяет определять круги и измерять углы .

Евклидова плоскость с выбранной декартовой системой координат называется декартовой плоскостью . Множество упорядоченных пар действительных чисел ( действительная координатная плоскость ), снабженное скалярным произведением , часто называют евклидовой плоскостью , поскольку каждая евклидова плоскость изоморфна ей. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

История

Книги с I по IV и VI « Начал» Евклида посвящены двумерной геометрии, развивая такие понятия, как подобие форм, теорема Пифагора (предложение 47), равенство углов и площадей , параллельность, сумма углов в треугольнике и три случая, когда треугольники «равны» (имеют одинаковую площадь), среди многих других тем.

Позже плоскость была описана в так называемой декартовой системе координат , системе координат , которая однозначно определяет каждую точку на плоскости парой числовых координат , которые представляют собой знаковые расстояния от точки до двух фиксированных перпендикулярных направленных линий, измеренные в одна и та же единица длины . Каждая опорная линия называется осью координат или просто осью системы, а точка, где они встречаются, является ее началом , обычно в упорядоченной паре (0, 0). Координаты также можно определить как положения перпендикулярных проекций точки на две оси, выраженные как расстояния со знаком от начала координат.

Идея этой системы была развита в 1637 году в трудах Декарта и независимо Пьера Ферма , хотя Ферма также работал в трех измерениях, и не опубликовал свое открытие. ^[1] Оба автора использовали одну ось в своих методах лечения ^{[ нужна ссылка ]} и имели переменную длину, измеренную относительно этой оси. Концепция использования пары топоров была введена позже, после того как « Геометрия » Декарта была переведена на латынь в 1649 году Франсом ван Скутеном и его учениками. Эти комментаторы представили несколько концепций, пытаясь прояснить идеи, содержащиеся в работах Декарта. ^[2]

Позже плоскость стали мыслить как поле , где любые две точки можно было перемножить и, кроме 0, разделить. Это было известно как сложный самолет . Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана, поскольку она используется в диаграммах Аргана. Они названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые были описаны датско-норвежским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). ^[3] Диаграммы Аргана часто используются для построения положений полюсов и нулей функции на комплексной плоскости.

В геометрии

Системы координат

В математике аналитическая геометрия (также называемая декартовой геометрией) описывает каждую точку двумерного пространства с помощью двух координат. Даны две перпендикулярные оси координат , пересекающие друг друга в начале координат . Обычно они обозначаются x и y . Относительно этих осей положение любой точки в двумерном пространстве задается упорядоченной парой действительных чисел, каждое число определяет расстояние этой точки от начала координат, измеренное вдоль данной оси, которое равно расстоянию этой точки от начала координат, измеренному вдоль данной оси. точку от другой оси.

Другой широко используемой системой координат является полярная система координат , которая определяет точку с точки зрения ее расстояния от начала координат и ее угла относительно правого опорного луча.

• 
  Декартова система координат
• 
  Полярная система координат

Встраивание в трехмерное пространство

Плоское уравнение в нормальной форме

В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная поверхность , простирающаяся до бесконечности . Евклидовы плоскости часто возникают как подпространства трехмерного пространства . Прототипическим примером является одна из стен комнаты, бесконечно протяженная и предполагаемая бесконечно тонкая. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Хотя для описания точек на плоскости достаточно пары действительных чисел , взаимосвязь с точками, находящимися вне плоскости, требует особого рассмотрения при их встраивании в окружающее пространство . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Многогранники

В двух измерениях существует бесконечно много многогранников: многоугольников. Первые несколько обычных показаны ниже:

Выпуклый

Символ Шлефли представляет правильный n - угольник . ${\displaystyle \{n\}}$

Вырожденный (сферический)

Правильный моногон (или шестиугольник) {1} и правильный двуугольник {2} можно считать вырожденными правильными многоугольниками и существовать невырожденно в неевклидовых пространствах, таких как 2-сфера , 2-тор или правый круговой цилиндр .

Невыпуклый

Существует бесконечно много невыпуклых правильных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел {n/m}. Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют то же расположение вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем, для любого натурального числа n существуют n-точечные невыпуклые правильные многоугольные звезды с символами Шлефли { n / m } для всех m таких, что m < n /2 (строго говоря, { n / m } = { n / ( n − m )}), а m и n взаимно просты .

Круг

Гиперсфера в двух измерениях — это круг , иногда называемый 1-сферой ( S ¹ ), поскольку это одномерное многообразие . В евклидовой плоскости он имеет длину 2π r , а площадь его внутренней части равна

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

где радиус. ${\displaystyle r}$

Другие формы

Существует бесконечное множество других изогнутых форм в двух измерениях, в том числе конические сечения : эллипс , парабола и гипербола .

В линейной алгебре

Другой математический способ рассмотрения двумерного пространства можно найти в линейной алгебре , где идея независимости имеет решающее значение. Плоскость имеет два измерения, поскольку длина прямоугольника не зависит от его ширины. На техническом языке линейной алгебры плоскость является двумерной, поскольку каждую точку плоскости можно описать линейной комбинацией двух независимых векторов .

Скалярное произведение, угол и длина

Скалярное произведение двух векторов A = [ A ₁ , A ₂ ] и B = [ B ₁ , B ₂ ] определяется как: ^[4]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$

Вектор можно представить в виде стрелки. Его величина — это его длина, а его направление — это направление, куда указывает стрелка. Величина вектора A обозначается . С этой точки зрения скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется формулой ^[5] ${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

где θ — угол между A и B.

Скалярное произведение вектора A само по себе равно

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

который дает

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

формула евклидовой длины вектора.

В исчислении

Градиент

В прямоугольной системе координат градиент определяется выражением

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.}$

Линейные интегралы и двойные интегралы

Для некоторого скалярного поля f  : U ⊆ R ² → R линейный интеграл по кусочно-гладкой кривой C ⊂ U определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,}$

где r : [a, b] → C — произвольная биективная параметризация кривой C такая, что r ( a ) и r ( b ) задают концы C и . ${\displaystyle a<b}$

Для векторного поля F  : U ⊆ R ² → R ² линейный интеграл по кусочно-гладкой кривой C ⊂ U в направлении r определяется как

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

где · — скалярное произведение , а r : [a, b] → C — биективная параметризация кривой C такая , что r ( a ) и r ( b ) дают конечные точки C.

Двойной интеграл относится к интегралу внутри области D в R ² функции и обычно записывается как: ${\displaystyle f(x,y),}$

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Основная теорема о линейных интегралах

Фундаментальная теорема о линейных интегралах гласит, что линейный интеграл через поле градиента можно вычислить, вычислив исходное скалярное поле в конечных точках кривой.

Позволять . Затем ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,}$

где p , q — концы кривой γ.

Теорема Грина

Пусть C — положительно ориентированная , кусочно - гладкая , простая замкнутая кривая на плоскости , и пусть D — область, ограниченная C. Если L и M являются функциями ( x , y ), определенными в открытой области , содержащей D , и имеют там непрерывные частные производные , то ^{[6] [7]}

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

где путь интегрирования по C идет против часовой стрелки .

В топологии

В топологии плоскость характеризуется как единственное сжимаемое 2-многообразие .

Его размерность характеризуется тем, что при удалении точки из плоскости остается пространство связное, а не просто связное .

В теории графов

В теории графов планарный граф — это граф , который можно вложить в плоскость, т. е. его можно нарисовать на плоскости таким образом, что его ребра пересекаются только в своих конечных точках. Другими словами, его можно нарисовать так, чтобы никакие ребра не пересекались. ^[8] Такой рисунок называется плоским графом или плоским вложением графа . Плоский граф можно определить как планарный граф с отображением каждого узла в точку на плоскости и каждого ребра в плоскую кривую на этой плоскости, так что крайними точками каждой кривой являются точки, отображаемые с ее конца. узлы, и все кривые не пересекаются, за исключением крайних точек.

Смотрите также

• Геометрическое пространство
• Функция изображения
• Планиметрия

Рекомендации

1. «Аналитическая геометрия». Британская энциклопедия (Британская энциклопедия Интернет-изд.). 2008.
2. Бертон 2011, с. 374
3. Мемуары Весселя были представлены Датской академии в 1797 году; Статья Арганда была опубликована в 1806 году (Whittaker & Watson, 1927, стр. 9).
4. С. Липшуц; М. Липсон (2009). Линейная алгебра (Очерки Шаума) (4-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1.
5. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (Очерки Шаума) (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
6. Математические методы в физике и технике, К. Ф. Райли, М. П. Хобсон, С. Дж. Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
7. Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
8. Трюдо, Ричард Дж. (1993). Введение в теорию графов (Исправленное, расширенное издание. Под ред.). Нью-Йорк: Паб Dover. п. 64. ИСБН 978-0-486-67870-2. Проверено 8 августа 2012 г. Таким образом, плоский граф, нарисованный на плоской поверхности, либо не имеет пересечений ребер, либо может быть перерисован без них.

Цитируемые работы

• Бертон, Дэвид М. (2011), История математики / Введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6