В математике плоскость — это двумерное пространство или плоская поверхность , которая простирается бесконечно. Плоскость — это двумерный аналог точки ( ноль измерений), линии (одно измерение) и трехмерного пространства . При работе исключительно в двумерном евклидовом пространстве используется определенный артикль, поэтому евклидова плоскость относится ко всему пространству.
Можно определить несколько понятий плоскости. Евклидова плоскость следует евклидовой геометрии и, в частности, постулату параллельности . Проективная плоскость может быть построена путем добавления «точек на бесконечности», где пересекались бы две в противном случае параллельные прямые, так что каждая пара прямых пересекалась бы ровно в одной точке. Эллиптическая плоскость может быть дополнительно определена путем добавления метрики к действительной проективной плоскости. Можно также представить себе гиперболическую плоскость , которая подчиняется гиперболической геометрии и имеет отрицательную кривизну .
Абстрактно, можно забыть всю структуру, кроме топологии, создавая топологическую плоскость, которая гомеоморфна открытому диску . Рассмотрение плоскости как аффинного пространства создает аффинную плоскость , которая лишена понятия расстояния, но сохраняет понятие коллинеарности . И наоборот, добавляя больше структуры, можно рассматривать плоскость как одномерное комплексное многообразие , называемое комплексной линией .
Многие фундаментальные задачи в математике, геометрии , тригонометрии , теории графов и построении графиков выполняются в двумерном или плоском пространстве. [1]
В математике евклидова плоскость — это евклидово пространство размерности два , обозначаемое или . Это геометрическое пространство , в котором для определения положения каждой точки требуются два действительных числа . Это аффинное пространство , которое включает в себя, в частности, концепцию параллельных прямых . Оно также обладает метрическими свойствами, индуцированными расстоянием , что позволяет определять окружности и измерение углов .
Евклидова плоскость с выбранной декартовой системой координат называется декартовой плоскостью .
Множество упорядоченных пар действительных чисел ( действительная координатная плоскость ), снабженное скалярным произведением , часто называют евклидовой плоскостью или стандартной евклидовой плоскостью , поскольку каждая евклидова плоскость ей изоморфна .
В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная поверхность , которая простирается бесконечно. Евклидовы плоскости часто возникают как подпространства трехмерного пространства . Типичным примером является одна из стен комнаты, бесконечно протяженная и предполагаемая бесконечно тонкой .
В то время как для описания точек на плоскости достаточно пары действительных чисел , связь с точками вне плоскости требует особого рассмотрения для их встраивания в окружающее пространство .Эллиптическая плоскость — это действительная проективная плоскость, снабженная метрикой . Кеплер и Дезарг использовали гномоническую проекцию , чтобы связать плоскость σ с точками на полусфере , касательной к ней. При O — центре полусферы точка P в σ определяет прямую OP, пересекающую полусферу, а любая прямая L ⊂ σ определяет плоскость OL , пересекающую полусферу по половине большого круга . Полусфера ограничена плоскостью, проходящей через O и параллельной σ. Никакая обычная прямая σ не соответствует этой плоскости; вместо этого к σ добавляется линия в бесконечности . Поскольку любая линия в этом расширении σ соответствует плоскости, проходящей через O , и поскольку любая пара таких плоскостей пересекается по прямой, проходящей через O , можно заключить, что любая пара линий в расширении пересекается: точка пересечения лежит там, где пересечение плоскостей встречается с σ или линией в бесконечности. Таким образом, подтверждается аксиома проективной геометрии, требующая пересечения всех пар линий в плоскости. [2]
При заданных P и Q в σ эллиптическое расстояние между ними является мерой угла POQ , обычно берущегося в радианах. Артур Кэли инициировал изучение эллиптической геометрии, когда написал «Об определении расстояния». [3] : 82 Это начинание в абстракции в геометрии было продолжено Феликсом Клейном и Бернхардом Риманом, что привело к неевклидовой геометрии и римановой геометрии .
В математике проективная плоскость — это геометрическая структура, расширяющая концепцию плоскости . В обычной евклидовой плоскости две прямые обычно пересекаются в одной точке, но есть некоторые пары прямых (а именно, параллельные прямые), которые не пересекаются. Проективную плоскость можно рассматривать как обычную плоскость, снабженную дополнительными «точками на бесконечности», где пересекаются параллельные прямые. Таким образом, любые две различные прямые в проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке.
Художники эпохи Возрождения, развивая методы рисования в перспективе , заложили основу для этой математической темы. Архетипическим примером является действительная проективная плоскость , также известная как расширенная евклидова плоскость. [4] Этот пример, в несколько иных обличьях, важен в алгебраической геометрии , топологии и проективной геометрии , где он может обозначаться по-разному: PG(2, R) , RP 2 или P 2 (R), среди других обозначений. Существует много других проективных плоскостей, как бесконечных, таких как комплексная проективная плоскость , так и конечных, таких как плоскость Фано .
Проективная плоскость — это двумерное проективное пространство . Не все проективные плоскости могут быть вложены в трехмерные проективные пространства; такая вложимость является следствием свойства, известного как теорема Дезарга , не разделяемого всеми проективными плоскостями.В дополнение к своей привычной геометрической структуре, с изоморфизмами , которые являются изометриями относительно обычного внутреннего произведения, плоскость может рассматриваться на различных других уровнях абстракции . Каждый уровень абстракции соответствует определенной категории .
С одной стороны, все геометрические и метрические концепции могут быть отброшены, чтобы оставить топологическую плоскость, которую можно рассматривать как идеализированный гомотопически тривиальный бесконечный резиновый лист, который сохраняет понятие близости, но не имеет расстояний. Топологическая плоскость имеет понятие линейного пути, но не имеет понятия прямой линии. Топологическая плоскость, или ее эквивалент открытый диск, является базовой топологической окрестностью, используемой для построения поверхностей (или 2-многообразий), классифицированных в низкоразмерной топологии . Все изоморфизмы топологической плоскости являются непрерывными биекциями . Топологическая плоскость является естественным контекстом для ветви теории графов , которая имеет дело с планарными графами , и результатами, такими как теорема о четырех красках .
Плоскость также можно рассматривать как аффинное пространство , изоморфизмы которого являются комбинациями переносов и невырожденных линейных отображений. С этой точки зрения нет расстояний, но сохраняются коллинеарность и соотношения расстояний на любой прямой.
Дифференциальная геометрия рассматривает плоскость как 2-мерное вещественное многообразие , топологическую плоскость, которая снабжена дифференциальной структурой . Опять же, в этом случае нет понятия расстояния, но теперь есть понятие гладкости отображений, например, дифференцируемого или гладкого пути (в зависимости от типа применяемой дифференциальной структуры). Изоморфизмы в этом случае являются биекциями с выбранной степенью дифференцируемости.
В противоположном направлении абстракции мы можем применить совместимую полевую структуру к геометрической плоскости, что даст начало комплексной плоскости и основной области комплексного анализа . Комплексное поле имеет только два изоморфизма, которые оставляют действительную линию фиксированной, тождество и сопряжение .
Точно так же, как и в действительном случае, плоскость можно рассматривать как простейшее, одномерное (в терминах комплексной размерности , над комплексными числами) комплексное многообразие , иногда называемое комплексной прямой . Однако эта точка зрения резко контрастирует со случаем плоскости как двумерного действительного многообразия. Все изоморфизмы являются конформными биекциями комплексной плоскости, но единственными возможностями являются отображения, которые соответствуют композиции умножения на комплексное число и переноса.
Кроме того, евклидова геометрия (которая имеет нулевую кривизну везде) — не единственная геометрия, которую может иметь плоскость. Плоскость может получить сферическую геометрию с помощью стереографической проекции . Это можно представить как размещение сферы по касательной к плоскости (как мяч на полу), удаление верхней точки и проектирование сферы на плоскость из этой точки. Это одна из проекций, которая может быть использована для создания плоской карты части поверхности Земли. Полученная геометрия имеет постоянную положительную кривизну.
В качестве альтернативы, плоскости можно задать метрику, которая придаст ей постоянную отрицательную кривизну, давая гиперболическую плоскость . Последняя возможность находит применение в теории специальной теории относительности в упрощенном случае, когда есть два пространственных измерения и одно временное измерение. (Гиперболическая плоскость — это времениподобная гиперповерхность в трехмерном пространстве Минковского .)
Компактификация плоскости по одной точке гомеоморфна сфере (см. стереографическую проекцию ); открытый диск гомеоморфен сфере с отсутствующим «северным полюсом»; добавление этой точки завершает (компактную) сферу. Результатом этой компактификации является многообразие, называемое сферой Римана или комплексной проективной прямой . Проекция из евклидовой плоскости на сферу без точки является диффеоморфизмом и даже конформным отображением .
Сама плоскость гомеоморфна (и диффеоморфна) открытому кругу . Для гиперболической плоскости такой диффеоморфизм является конформным, но для евклидовой плоскости он таковым не является.
