В математике проективная плоскость — это геометрическая структура, расширяющая концепцию плоскости . В обычной евклидовой плоскости две прямые обычно пересекаются в одной точке, но есть некоторые пары прямых (а именно, параллельные прямые), которые не пересекаются. Проективную плоскость можно рассматривать как обычную плоскость, снабженную дополнительными «точками на бесконечности», где пересекаются параллельные прямые. Таким образом, любые две различные прямые в проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке.
Художники эпохи Возрождения, развивая методы рисования в перспективе , заложили основу для этой математической темы. Архетипическим примером является действительная проективная плоскость , также известная как расширенная евклидова плоскость . [1] Этот пример, в несколько иных обличьях, важен в алгебраической геометрии , топологии и проективной геометрии , где он может обозначаться по-разному как PG(2, R ) , RP 2 или P 2 ( R ), среди других обозначений. Существует много других проективных плоскостей, как бесконечных, таких как комплексная проективная плоскость , так и конечных, таких как плоскость Фано .
Проективная плоскость — это двумерное проективное пространство . Не все проективные плоскости могут быть вложены в трехмерные проективные пространства; такая вложимость является следствием свойства, известного как теорема Дезарга , не разделяемого всеми проективными плоскостями.
Проективная плоскость состоит из набора прямых , набора точек и отношения между точками и прямыми, называемого инцидентностью , имеющего следующие свойства: [2]
Второе условие означает, что параллельных прямых нет . Последнее условие исключает так называемые вырожденные случаи (см. ниже). Термин «инцидентность» используется для того, чтобы подчеркнуть симметричную природу взаимосвязи между точками и прямыми. Таким образом, выражение «точка P инцидентна прямой ℓ » используется вместо « P находится на ℓ » или « ℓ проходит через P ».
Чтобы превратить обычную евклидову плоскость в проективную, выполните следующие действия:
Расширенная структура является проективной плоскостью и называется расширенной евклидовой плоскостью или реальной проективной плоскостью . Описанный выше процесс, используемый для ее получения, называется «проективным завершением» или проективизацией . Эту плоскость также можно построить, начиная с R 3 , рассматриваемого как векторное пространство, см. § Построение векторного пространства ниже.
Точки плоскости Моултона являются точками евклидовой плоскости с координатами обычным образом. Чтобы создать плоскость Моултона из евклидовой плоскости, некоторые линии переопределяются. То есть некоторые из их наборов точек будут изменены, но другие линии останутся неизменными. Переопределите все линии с отрицательными наклонами так, чтобы они выглядели как «изогнутые» линии, то есть эти линии сохраняют свои точки с отрицательными x -координатами, но остальные их точки заменяются точками линии с тем же y -пересечением, но с удвоенным наклоном, где их x -координата положительна.
Плоскость Моултона имеет параллельные классы прямых и является аффинной плоскостью . Она может быть проективизирована, как в предыдущем примере, для получения проективной плоскости Моултона . Теорема Дезарга не является действительной теоремой ни в плоскости Моултона, ни в проективной плоскости Моултона.
В этом примере всего тринадцать точек и тринадцать прямых. Мы обозначаем точки P 1 , ..., P 13 , а прямые m 1 , ..., m 13 . Отношение инцидентности (какие точки находятся на каких прямых) можно задать с помощью следующей матрицы инцидентности . Строки обозначены точками, а столбцы обозначены линиями. 1 в строке i и столбце j означает, что точка P i находится на прямой m j , тогда как 0 (который мы представляем здесь пустой ячейкой для удобства чтения) означает, что они не инцидентны. Матрица находится в нормальной форме Пейджа–Векслера.
Чтобы проверить условия, которые делают эту плоскость проективной, заметьте, что каждые две строки имеют ровно один общий столбец, в котором появляются 1 (каждая пара различных точек находится ровно на одной общей прямой), и что каждые два столбца имеют ровно одну общую строку, в которой появляются 1 (каждая пара различных прямых встречается ровно в одной точке). Среди многих возможностей, например, точки P 1 , P 4 , P 5 и P 8 будут удовлетворять третьему условию. Этот пример известен как проективная плоскость третьего порядка .
Хотя линия в бесконечности расширенной реальной плоскости может показаться имеющей иную природу, чем другие линии этой проективной плоскости, это не так. Другое построение той же проективной плоскости показывает, что ни одна линия не может быть отличена (по геометрическим основаниям) от любой другой. В этом построении каждая «точка» реальной проективной плоскости является одномерным подпространством (геометрической линией ) , проходящей через начало координат в трехмерном векторном пространстве, а «линия» в проективной плоскости возникает из ( геометрической ) плоскости, проходящей через начало координат в трехмерном пространстве. Эту идею можно обобщить и сделать более точной следующим образом. [3]
Пусть K — любое деление (скефилд). Пусть K 3 обозначает множество всех троек x = ( x 0 , x 1 , x 2 ) элементов K ( декартово произведение, рассматриваемое как векторное пространство ). Для любого ненулевого x в K 3 минимальное подпространство K 3 , содержащее x (которое можно визуализировать как все векторы на прямой, проходящей через начало координат), является подмножеством
из K 3 . Аналогично, пусть x и y будут линейно независимыми элементами K 3 , что означает, что kx + my = 0 подразумевает, что k = m = 0 . Минимальное подпространство K 3 , содержащее x и y (которое можно визуализировать как все векторы в плоскости, проходящей через начало координат), является подмножеством
из K 3 . Это 2-мерное подпространство содержит различные 1-мерные подпространства через начало координат, которые могут быть получены путем фиксации k и m и взятия кратных результирующего вектора. Различные выборы k и m , которые находятся в том же отношении, дадут ту же линию.
Проективная плоскость над K , обозначаемая PG(2, K ) или K P 2 , имеет множество точек, состоящее из всех одномерных подпространств в K 3. Подмножество L точек PG(2, K ) является прямой в PG(2, K ), если существует двумерное подпространство K 3, множество одномерных подпространств которого в точности равно L .
Проверка того, что эта конструкция создает проективную плоскость, обычно остается упражнением по линейной алгебре.
Альтернативный (алгебраический) взгляд на эту конструкцию таков. Точки этой проективной плоскости являются классами эквивалентности множества K 3 \ {(0, 0, 0)} по модулю отношения эквивалентности
Прямые в проективной плоскости определяются точно так же, как выше.
Координаты ( x 0 , x 1 , x 2 ) точки в PG(2, K ) называются однородными координатами . Каждая тройка ( x 0 , x 1 , x 2 ) представляет собой хорошо определенную точку в PG(2, K ), за исключением тройки (0, 0, 0) , которая не представляет никакой точки. Однако каждая точка в PG(2, K ) представлена многими тройками.
Если K — топологическое пространство , то K P 2 наследует топологию через топологии произведения , подпространства и фактора .
Действительная проективная плоскость RP 2 возникает, когда K берется как действительные числа , R. Как замкнутое, неориентируемое действительное 2- многообразие , оно служит фундаментальным примером в топологии. [4]
В этой конструкции рассмотрим единичную сферу с центром в начале координат в R 3 . Каждая из линий R 3 в этой конструкции пересекает сферу в двух антиподных точках. Поскольку линия R 3 представляет точку RP 2 , мы получим ту же модель RP 2 , определив антиподные точки сферы. Линии RP 2 будут большими окружностями сферы после этой идентификации антиподных точек. Это описание дает стандартную модель эллиптической геометрии .
Комплексная проективная плоскость CP 2 возникает, когда K берется как комплексные числа , C . Это замкнутое комплексное 2-многообразие, и, следовательно, замкнутое, ориентируемое вещественное 4-многообразие. Она и проективные плоскости над другими полями (известные как папповы плоскости ) служат фундаментальными примерами в алгебраической геометрии . [5]
Кватернионная проективная плоскость HP 2 также представляет самостоятельный интерес. [6]
По теореме Веддерберна конечное деление должно быть коммутативным и, следовательно, быть полем. Таким образом, конечные примеры этой конструкции известны как «плоскости поля». Взяв K в качестве конечного поля из q = p n элементов с простым числом p, получим проективную плоскость из q 2 + q + 1 точек. Плоскости поля обычно обозначаются как PG(2, q ), где PG обозначает проективную геометрию, «2» — размерность, а q называется порядком плоскости (он на единицу меньше числа точек на любой прямой). Плоскость Фано, обсуждаемая ниже, обозначается как PG(2, 2). Третий пример выше — проективная плоскость PG(2, 3).
Плоскость Фано — это проективная плоскость, возникающая из поля двух элементов. Это наименьшая проективная плоскость, имеющая всего семь точек и семь прямых. На рисунке справа семь точек показаны как маленькие шарики, а семь прямых показаны как шесть отрезков и окружность. Однако можно было бы эквивалентно считать шарики «прямыми», а отрезки и окружность — «точками» — это пример двойственности в проективной плоскости: если прямые и точки поменять местами, результатом все равно будет проективная плоскость (см. ниже). Перестановка семи точек, которая переводит коллинеарные точки (точки на одной прямой) в коллинеарные точки, называется коллинеацией или симметрией плоскости. Коллинеации геометрии образуют группу относительно композиции, и для плоскости Фано эта группа ( PΓL(3, 2) = PGL(3, 2) ) имеет 168 элементов.
Теорема Дезарга универсальна в проективной плоскости тогда и только тогда, когда плоскость может быть построена из трехмерного векторного пространства над телом, как указано выше. [7] Эти плоскости называются дезарговыми плоскостями , названными в честь Жирара Дезарга . Действительная (или комплексная) проективная плоскость и проективная плоскость порядка 3, приведенные выше, являются примерами дезарговых проективных плоскостей. Проективные плоскости, которые не могут быть построены таким образом, называются недезарговыми плоскостями , и плоскость Моултона, приведенная выше, является примером одной из них. Обозначение PG(2, K ) зарезервировано для дезарговых плоскостей. Когда K является полем , что является очень распространенным случаем, они также известны как полевые плоскости , а если поле является конечным полем , они могут быть названы плоскостями Галуа .
Подплоскость проективной плоскости — это подмножество точек плоскости, которые сами образуют проективную плоскость с теми же отношениями инцидентности.
(Брук 1955) доказывает следующую теорему. Пусть Π — конечная проективная плоскость порядка N с собственной подплоскостью Π 0 порядка M . Тогда либо N = M 2 , либо N ≥ M 2 + M .
Когда N — квадрат, подплоскости порядка √ N называются подплоскостями Бэра . Каждая точка плоскости лежит на прямой подплоскости Бэра, и каждая прямая плоскости содержит точку подплоскости Бэра.
В конечных дезарговых плоскостях PG(2, p n ) подплоскости имеют порядки, которые являются порядками подполей конечного поля GF( p n ), то есть p i , где i — делитель n . Однако в недезарговых плоскостях теорема Брука дает единственную информацию о порядках подплоскостей. Случай равенства в неравенстве этой теоремы неизвестен. Существует ли подплоскость порядка M в плоскости порядка N с M 2 + M = N — открытый вопрос. Если бы такие подплоскости существовали, то существовали бы проективные плоскости составного (непростого) порядка.
Подплоскость Фано — это подплоскость, изоморфная PG(2, 2), единственной проективной плоскости порядка 2.
Если рассмотреть четырехугольник (набор из 4 точек, три из которых не лежат на одной прямой) в этой плоскости, то эти точки определяют шесть линий плоскости. Остальные три точки (называемые диагональными точками четырехугольника) — это точки, в которых встречаются линии, не пересекающиеся в точке четырехугольника. Седьмая линия состоит из всех диагональных точек (обычно изображается в виде окружности или полуокружности).
В конечных дезарговых плоскостях, PG(2, q ), подплоскости Фано существуют тогда и только тогда, когда q четно (то есть является степенью 2). Ситуация в недезарговых плоскостях не решена. Они могли бы существовать в любой недезарговой плоскости порядка больше 6, и действительно, они были найдены во всех недезарговых плоскостях, в которых их искали (как в нечетных, так и в четных порядках).
Открытый вопрос, по-видимому, принадлежащий Ханне Нойман, хотя и не опубликованный ею, заключается в следующем: содержит ли каждая недезаргова плоскость подплоскость Фано?
Теорема относительно подплоскостей Фано, предложенная Глисоном (1956), выглядит следующим образом:
Проективизация евклидовой плоскости дала действительную проективную плоскость. Обратная операция — начиная с проективной плоскости, удаляя одну прямую и все инцидентные ей точки — даёт аффинную плоскость .
Более формально аффинная плоскость состоит из набора прямых и набора точек , а также отношения между точками и прямыми, называемого инцидентностью , имеющего следующие свойства:
Второе условие означает, что существуют параллельные прямые , и известно как аксиома Плейфера . Выражение «не встречается» в этом условии является сокращением для «не существует точки, инцидентной обеим прямым».
Евклидова плоскость и плоскость Моултона являются примерами бесконечных аффинных плоскостей. Конечная проективная плоскость даст конечную аффинную плоскость, если удалить одну из ее прямых и точки на ней. Порядок конечной аффинной плоскости — это число точек на любой из ее прямых (это будет то же число, что и порядок проективной плоскости, из которой она происходит). Аффинные плоскости, которые возникают из проективных плоскостей PG(2, q ), обозначаются как AG(2, q ).
Существует проективная плоскость порядка N тогда и только тогда, когда существует аффинная плоскость порядка N . Когда существует только одна аффинная плоскость порядка N , существует только одна проективная плоскость порядка N , но обратное неверно. Аффинные плоскости, образованные удалением различных прямых проективной плоскости, будут изоморфны тогда и только тогда, когда удаленные прямые находятся в одной и той же орбите группы коллинеаций проективной плоскости. Эти утверждения справедливы и для бесконечных проективных плоскостей.
Аффинная плоскость K 2 над K вкладывается в K P 2 посредством отображения, которое переводит аффинные (неоднородные) координаты в однородные координаты ,
Дополнением к изображению является множество точек вида (0, x 1 , x 2 ) . С точки зрения только что приведенного вложения эти точки являются точками на бесконечности . Они составляют линию в K P 2 — а именно, линию, выходящую из плоскости
в K 3 —называется линией на бесконечности . Точки на бесконечности — это «дополнительные» точки пересечения параллельных линий при построении расширенной действительной плоскости; точка (0, x 1 , x 2 ) — это точка пересечения всех линий наклона x 2 / x 1. Рассмотрим, например, две линии
в аффинной плоскости K 2 . Эти линии имеют наклон 0 и не пересекаются. Их можно рассматривать как подмножества K P 2 с помощью вложения выше, но эти подмножества не являются линиями в K P 2 . Добавьте точку (0, 1, 0) к каждому подмножеству; то есть пусть
Это линии в K P 2 ; ū возникает из плоскости
в K 3 , в то время как ȳ возникает из плоскости
Проективные прямые ū и ȳ пересекаются в точке (0, 1, 0) . Фактически, все прямые в K 2 с наклоном 0, будучи проективизированными таким образом, пересекаются в точке (0, 1, 0) в K P 2 .
Вложение K 2 в K P 2 , приведенное выше, не является единственным. Каждое вложение создает свое собственное понятие точек на бесконечности. Например, вложение
имеет в качестве своего дополнения те точки вида ( x 0 , 0, x 2 ) , которые затем рассматриваются как точки на бесконечности.
Когда аффинная плоскость не имеет формы K 2 с K — телом, она все еще может быть вложена в проективную плоскость, но конструкция, использованная выше, не работает. Обычно используемый метод для выполнения вложения в этом случае включает расширение набора аффинных координат и работу в более общей «алгебре».
Можно построить координатное «кольцо» — так называемое плоское тернарное кольцо (не настоящее кольцо) — соответствующее любой проективной плоскости. Плоское тернарное кольцо не обязательно должно быть полем или делением, и существует много проективных плоскостей, которые не строятся из деления. Они называются недезарговыми проективными плоскостями и являются активной областью исследований. Плоскость Кэли ( OP 2 ), проективная плоскость над октонионами , является одной из них, поскольку октонионы не образуют деления. [8]
Наоборот, для заданного плоского тернарного кольца ( R , T ) можно построить проективную плоскость (см. ниже). Связь не один к одному. Проективная плоскость может быть связана с несколькими неизоморфными плоскими тернарными кольцами. Тернарный оператор T может быть использован для создания двух бинарных операторов на множестве R , с помощью:
Тернарный оператор линейный, если T ( x , m , k ) = x ⋅ m + k . Когда набор координат проективной плоскости фактически образует кольцо, линейный тернарный оператор может быть определен таким образом, используя кольцевые операции справа, чтобы создать плоское тернарное кольцо.
Алгебраические свойства этого плоского тернарного координатного кольца оказываются соответствующими геометрическим свойствам инцидентности плоскости. Например, теорема Дезарга соответствует получению координатного кольца из деления , в то время как теорема Паппуса соответствует получению этого кольца из коммутативного поля. Проективная плоскость, удовлетворяющая теореме Паппуса универсально, называется папповой плоскостью . Альтернативные , не обязательно ассоциативные , алгебры деления , такие как октонионы , соответствуют плоскостям Муфанг .
Не существует известного чисто геометрического доказательства чисто геометрического утверждения, что теорема Дезарга влечет теорему Паппа в конечной проективной плоскости (конечные дезарговы плоскости являются папповыми). (Обратное верно в любой проективной плоскости и доказывается геометрически, но конечность существенна в этом утверждении, поскольку существуют бесконечные дезарговы плоскости, которые не являются папповыми.) Наиболее распространенное доказательство использует координаты в кольце с делением и теорему Веддерберна о том, что конечные кольца с делением должны быть коммутативными; Бамберг и Пенттила (2015) приводят доказательство, которое использует только более «элементарные» алгебраические факты о кольцах с делением.
Чтобы описать конечную проективную плоскость порядка N (≥ 2) с помощью неоднородных координат и плоского тройного кольца:
По этим точкам постройте следующие линии:
Например, для N = 2 мы можем использовать символы {0, 1}, связанные с конечным полем порядка 2. Тернарная операция, определяемая формулой T ( x , m , k ) = xm + k с операциями справа, представляющими собой умножение и сложение в поле, дает следующее:
Вырожденные плоскости не удовлетворяют третьему условию в определении проективной плоскости. Они не являются достаточно сложными структурно, чтобы быть интересными сами по себе, но время от времени они возникают как особые случаи в общих аргументах. Существует семь видов вырожденных плоскостей согласно (Albert & Sandler 1968). Это:
Эти семь случаев не являются независимыми, четвертый и пятый можно рассматривать как частные случаи шестого, тогда как второй и третий являются частными случаями четвертого и пятого соответственно. Частный случай седьмой плоскости без дополнительных линий можно рассматривать как восьмую плоскость. Поэтому все случаи можно организовать в два семейства вырожденных плоскостей следующим образом (это представление относится к конечным вырожденным плоскостям, но может быть естественным образом распространено на бесконечные):
1) Для любого числа точек P 1 , ..., P n и прямых L 1 , ..., L m ,
2) Для любого количества точек P 1 , ..., P n и прямых L 1 , ..., L n (количество точек равно количеству прямых)
Коллинеация проективной плоскости — это биективное отображение плоскости на себя, которое отображает точки в точки, а прямые в прямые, сохраняя инцидентность, что означает, что если σ — биекция и точка P находится на прямой m , то P σ находится на m σ . [9]
Если σ — коллинеация проективной плоскости, точка P с P = P σ называется неподвижной точкой σ , а прямая m с m = m σ называется неподвижной прямой σ . Точки на неподвижной прямой не обязательно должны быть неподвижными точками, их образы при σ просто ограничены тем, чтобы лежать на этой прямой. Совокупность неподвижных точек и неподвижных прямых коллинеации образует замкнутую конфигурацию , которая является системой точек и прямых, которые удовлетворяют первым двум, но не обязательно третьему условию в определении проективной плоскости. Таким образом, структура неподвижной точки и неподвижной прямой для любой коллинеации либо сама по себе образует проективную плоскость, либо вырожденную плоскость. Коллинеации, неподвижная структура которых образует плоскость, называются плоскими коллинеациями .
Гомография (или проективное преобразование ) PG(2, K ) является коллинеацией этого типа проективной плоскости, которая является линейным преобразованием базового векторного пространства. Используя однородные координаты, они могут быть представлены обратимыми матрицами 3 × 3 над K , которые действуют на точки PG(2, K ) как y = M x T , где x и y являются точками в K 3 (векторами), а M является обратимой матрицей 3 × 3 над K . [10] Две матрицы представляют одно и то же проективное преобразование, если одна является постоянным кратным другой. Таким образом, группа проективных преобразований является фактором общей линейной группы по скалярным матрицам, называемым проективной линейной группой .
Другой тип коллинеации PG(2, K ) индуцируется любым автоморфизмом K , они называются автоморфными коллинеациями . Если α является автоморфизмом K , то коллинеация, заданная формулой ( x 0 , x 1 , x 2 ) → ( x 0 α , x 1 α , x 2 α ) является автоморфной коллинеацией. Основная теорема проективной геометрии гласит, что все коллинеации PG(2, K ) являются композициями гомографий и автоморфных коллинеаций. Автоморфные коллинеации являются плоскими коллинеациями.
Проективная плоскость определяется аксиоматически как структура инцидентности , в терминах множества точек P , множества прямых L и отношения инцидентности I , которое определяет, какие точки лежат на каких прямых. Поскольку P и L являются только множествами, можно поменять их роли и определить двойственную структуру плоскости .
Поменяв местами роли «точек» и «линий» в
мы получаем двойственную структуру
где I * — обратное отношение I.
В проективной плоскости утверждение, включающее точки, прямые и инцидентность между ними, которое получается из другого такого утверждения путем замены слов «точка» и «прямая» и внесения любых необходимых грамматических корректировок, называется плоскостным двойственным утверждением первого. Плоскостное двойственное утверждение «Две точки находятся на единственной прямой» — это «Две прямые пересекаются в единственной точке». Формирование плоскостного двойственного утверждения известно как дуализация утверждения.
Если утверждение истинно в проективной плоскости C , то плоскость, двойственная этому утверждению, должна быть истинна в двойственной плоскости C *. Это следует из того, что дуализация каждого утверждения в доказательстве «в C » дает утверждение доказательства «в C *».
В проективной плоскости C можно показать, что существуют четыре прямые, никакие три из которых не являются конкурирующими. Дуализация этой теоремы и первых двух аксиом в определении проективной плоскости показывает, что плоская дуальная структура C * также является проективной плоскостью, называемой дуальной плоскостью C .
Если C и C * изоморфны, то C называется самодвойственным . Проективные плоскости PG(2, K ) для любого тела K являются самодвойственными. Однако существуют недезарговы плоскости , которые не являются самодвойственными, такие как плоскости Холла, и некоторые, которые являются таковыми, такие как плоскости Хьюза .
Принцип двойственности плоскостей гласит, что дуализация любой теоремы в самодвойственной проективной плоскости C даёт другую теорему, верную в C.
Двойственность — это отображение из проективной плоскости C = ( P , L , I ) в ее двойственную плоскость C * = ( L , P , I *) (см. выше), которое сохраняет инцидентность. То есть, двойственность σ будет отображать точки в прямые, а прямые в точки ( P σ = L и L σ = P ) таким образом, что если точка Q находится на прямой m (обозначаемой Q I m ), то Q σ I * m σ ⇔ m σ I Q σ . Двойственность, которая является изоморфизмом, называется корреляцией . [11] Если корреляция существует, то проективная плоскость C является самодвойственной.
В частном случае, когда проективная плоскость имеет тип PG(2, K ) , где K — тело, двойственность называется взаимностью . [12] Эти плоскости всегда самодвойственны. Согласно фундаментальной теореме проективной геометрии взаимность является композицией автоморфной функции K и гомографии . Если вовлеченный автоморфизм является тождеством, то взаимность называется проективной корреляцией .
Корреляция второго порядка ( инволюция ) называется полярностью . Если корреляция φ не является полярностью, то φ 2 является нетривиальной коллинеацией.
Можно показать, что проективная плоскость имеет столько же прямых, сколько и точек (бесконечных или конечных). Таким образом, для каждой конечной проективной плоскости существует целое число N ≥ 2 такое, что плоскость имеет
Число N называется порядком проективной плоскости.
Проективная плоскость порядка 2 называется плоскостью Фано . См. также статью о конечной геометрии .
Используя конструкцию векторного пространства с конечными полями, существует проективная плоскость порядка N = p n для каждой степени простого числа p n . Фактически, для всех известных конечных проективных плоскостей порядок N является степенью простого числа.
Существование конечных проективных плоскостей других порядков является открытым вопросом. Единственное общее ограничение, известное на порядок, — это теорема Брука–Райзера–Чоула , согласно которой если порядок N конгруэнтен 1 или 2 mod 4, то он должен быть суммой двух квадратов. Это исключает N = 6. Следующий случай N = 10 был исключен массивными компьютерными вычислениями. Больше ничего не известно; в частности , вопрос о том, существует ли конечная проективная плоскость порядка N = 12, все еще остается открытым.
Еще одна давняя открытая проблема заключается в том, существуют ли конечные проективные плоскости простого порядка, которые не являются конечными полевыми плоскостями (эквивалентно, существует ли недезаргова проективная плоскость простого порядка).
Проективная плоскость порядка N является системой Штейнера S(2, N + 1, N 2 + N + 1) (см. Система Штейнера ). Обратно, можно доказать, что все системы Штейнера этого вида ( λ = 2 ) являются проективными плоскостями.
Число взаимно ортогональных латинских квадратов порядка N не превышает N − 1. N − 1 существует тогда и только тогда, когда существует проективная плоскость порядка N.
Хотя классификация всех проективных плоскостей далека от завершения, известны результаты для малых порядков:
Проективные плоскости можно рассматривать как проективные геометрии «геометрической» размерности два. [15] Проективные геометрии более высоких размерностей можно определить в терминах отношений инцидентности способом, аналогичным определению проективной плоскости. Они оказываются «более послушными», чем проективные плоскости, поскольку дополнительные степени свободы позволяют доказать теорему Дезарга геометрически в геометрии более высоких размерностей. Это означает, что координатное «кольцо», связанное с геометрией, должно быть кольцом деления (телом) K , а проективная геометрия изоморфна той, которая построена из векторного пространства K d +1 , то есть PG( d , K ). Как и в конструкции, данной ранее, точки d -мерного проективного пространства PG( d , K ) являются прямыми, проходящими через начало координат в K d +1 , а прямая в PG( d , K ) соответствует плоскости, проходящей через начало координат в K d +1 . Фактически, каждый i -мерный объект в PG( d , K ), где i < d , является ( i + 1) -мерным (алгебраическим) векторным подпространством K d +1 («проходит через начало координат»). Проективные пространства в свою очередь обобщаются до грассмановых пространств .
Можно показать, что если теорема Дезарга верна в проективном пространстве размерности больше двух, то она должна быть верна и во всех плоскостях, содержащихся в этом пространстве. Поскольку существуют проективные плоскости, в которых теорема Дезарга неверна ( недезарговы плоскости ), эти плоскости не могут быть вложены в проективное пространство большей размерности. Только плоскости из конструкции векторного пространства PG(2, K ) могут появляться в проективных пространствах большей размерности. Некоторые дисциплины в математике ограничивают значение проективной плоскости только этим типом проективной плоскости, поскольку в противном случае общие утверждения о проективных пространствах всегда должны были бы упоминать исключения, когда геометрическая размерность равна двум. [16]
