stringtranslate.com

Недезарговская плоскость

В математике недезаргова плоскость — это проективная плоскость , которая не удовлетворяет теореме Дезарга (названной в честь Жирара Дезарга ), или, другими словами, плоскость, которая не является дезарговой плоскостью . Теорема Дезарга верна во всех проективных пространствах размерности, отличной от 2; [1] другими словами, единственными проективными пространствами размерности, отличной от 2, являются классические проективные геометрии над полем (или телом ). Однако Дэвид Гильберт обнаружил, что некоторые проективные плоскости не удовлетворяют ей. [2] [3] Текущее состояние знаний об этих примерах не является полным. [4]

Примеры

Существует множество примеров как конечных , так и бесконечных недезарговых плоскостей. Некоторые из известных примеров бесконечных недезарговых плоскостей включают:

Что касается конечных недезарговых плоскостей, то каждая проективная плоскость порядка не выше 8 является дезарговой, но существует три недезарговых примера порядка 9, каждый из которых имеет 91 точку и 91 линию. [5] Это:

Известны многочисленные другие конструкции как конечных, так и бесконечных недезарговых плоскостей, см., например, Дембовски (1968). Все известные конструкции конечных недезарговых плоскостей производят плоскости, порядок которых является степенью простого числа, то есть целым числом вида p e , где p — простое число, а e — целое число, большее 1.

Классификация

Ганфрид Ленц дал схему классификации для проективных плоскостей в 1954 году, [6] которая была улучшена Адриано Барлотти в 1957 году. [7] Эта схема классификации основана на типах транзитивности точка-прямая, допускаемых группой коллинеации плоскости, и известна как классификация проективных плоскостей Ленца–Барлотти . Список из 53 типов приведен в Дембовски (1968, стр. 124–125), а таблица известных на тот момент результатов существования (как для групп коллинеации, так и для плоскостей, имеющих такую ​​группу коллинеации) как в конечном, так и в бесконечном случаях представлена ​​на странице 126. По состоянию на 2007 год «36 из них существуют как конечные группы. От 7 до 12 существуют как конечные проективные плоскости, и либо 14, либо 15 существуют как бесконечные проективные плоскости». [4]

Существуют и другие схемы классификации. Одна из самых простых основана на специальных типах планарных тернарных колец (PTR), которые могут быть использованы для координации проективной плоскости. Эти типы — поля , skewfields , альтернативные кольца деления , полуполя , nearfields , правые nearfields , квазиполя и правые квазиполя . [8]

Коники и овалы

В дезарговой проективной плоскости конику можно определить несколькими способами, эквивалентность которых может быть доказана. В недезарговых плоскостях эти доказательства больше недействительны, и различные определения могут привести к неэквивалентным объектам. [9] Теодор Г. Остром предложил название коникоид для этих конических фигур, но не дал формального определения, и этот термин, похоже, не получил широкого распространения. [10]

Существует несколько способов определения коник в дезарговых плоскостях:

  1. Множество абсолютных точек полярности известно как коника фон Штаудта . Если плоскость определена над полем характеристики два , то получаются только вырожденные коники .
  2. Множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, которые проективно, но не перспективно связаны, называется коникой Штейнера . Если пучки перспективно связаны, коника вырождена.
  3. Множество точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому однородному уравнению второй степени.

Более того, в конечной дезарговой плоскости:

  2. Набор из q + 1 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой в PG(2, q ), называется овалом . Если q нечетно, то по теореме Сегре овал в PG(2, q ) является коникой в ​​смысле 3 выше.
  3. Коническое сечение Острома основано на обобщении гармонических множеств.

Арци привел пример коники Штейнера в плоскости Муфанг, которая не является коникой фон Штаудта. [11] Гарнер привел пример коники фон Штаудта, которая не является коникой Острома в конечной полуполевой плоскости. [9]

Примечания

  1. ^ Теорема Дезарга абсолютно верна в размерности 1; она проблематична только в размерности 2.
  2. ^ Гильберт, Дэвид (1950) [впервые опубликовано в 1902 году], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] (PDF) , английский перевод Э. Дж. Таунсенда (2-е изд.), Ла-Саль, Иллинойс: Open Court Publishing, стр. 48
  3. ^ Гильберт, Дэвид (1990) [1971], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] , перевод Лео Унгера с 10-го немецкого издания (2-е англ. изд.), Ла-Саль, Иллинойс: Open Court Publishing, стр. 74, ISBN 0-87548-164-7. Согласно сноске на этой странице, оригинальный «первый» пример, появлявшийся в более ранних изданиях, был заменен более простым примером Моултона в более поздних изданиях.
  4. ^ ab Weibel 2007, стр. 1296
  5. ^ см. Room & Kirkpatrick 1971 для описания всех четырех плоскостей порядка 9.
  6. ^ Ленц, Ханфрид (1954). «Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 57 : 20–31. МР  0061844.
  7. ^ Барлотти, Адриано (1957). «Возможные настройки системы копий точек (A,a) для того, чтобы получить графический результат (A,a)-transitivo». Болл. ООН. Мат. Итал . 12 : 212–226. МР  0089435.
  8. ↑ Colbourn & Dinitz 2007, стр. 723, статья о конечной геометрии Лео Сторме.
  9. ^ ab Garner, Cyril W L. (1979), «Конические сечения в конечных проективных плоскостях», Journal of Geometry , 12 (2): 132–138, doi :10.1007/bf01918221, MR  0525253
  10. ^ Остром, TG (1981), «Коникоиды: конические фигуры в непапповых плоскостях», в Plaumann, Peter; Strambach, Karl (ред.), Geometry – von Staudt's Point of View , D. Reidel, стр. 175–196, ISBN 90-277-1283-2, МР  0621316
  11. ^ Артзи, Р. (1971), «Коника y = x 2 в плоскостях Муфанг», Aequationes Mathematicae , 6 : 30–35, doi : 10.1007/bf01833234

Ссылки