Параллельно (геометрия)

Соотношение, используемое в геометрии

Штриховой рисунок, состоящий из параллельных линий и кривых.

В геометрии параллельные линии — это бесконечные прямые линии , которые не пересекаются ни в одной точке. Параллельные плоскости — это плоскости в одном и том же трехмерном пространстве , которые никогда не встречаются. Параллельные кривые — это кривые , которые не касаются друг друга и не пересекаются, сохраняя фиксированное минимальное расстояние. В трехмерном евклидовом пространстве прямая и плоскость, не имеющие общей точки, также называются параллельными. Однако две некомпланарные прямые называются скрещивающимися прямыми . Отрезки прямых и евклидовы векторы параллельны, если они имеют одинаковое или противоположное направление (не обязательно одинаковую длину). ^[1]

Параллельные прямые являются предметом постулата параллельности Евклида . [ ^2] Параллелизм — это прежде всего свойство аффинных геометрий , а евклидова геометрия — частный случай этого типа геометрии. В некоторых других геометриях, таких как гиперболическая геометрия , прямые могут иметь аналогичные свойства, которые называются параллельностью.

Символ

Символ параллельности — . ^{[3] [4]} Например, указывает, что линия AB параллельна линии  CD . ${\displaystyle \parallel }$ ${\displaystyle AB\parallel CD}$

В наборе символов Unicode знаки «параллельный» и «не параллельный» имеют кодовые точки U+2225 (∥) и U+2226 (∦) соответственно. Кроме того, U+22D5 (⋕) представляет отношение «равный и параллельный». ^[5]

Этот же символ используется для обозначения бинарной функции в электротехнике ( параллельный оператор ). Он отличается от двойных вертикальных скобок U+2016 (‖), которые обозначают норму (например, ), а также от логического оператора ИЛИ ( ) в нескольких языках программирования. ${\displaystyle \|x\|}$||

Евклидов параллелизм

Две прямые на плоскости

Условия параллельности

Как показывают отметки, прямые a и b параллельны. Это можно доказать, поскольку трансверсаль t образует конгруэнтные соответствующие углы , показанные здесь как справа от трансверсали, один над и рядом с прямой a, так и другой над и рядом с прямой b . ${\displaystyle \theta }$

Для параллельных прямых линий l и m в евклидовом пространстве следующие свойства эквивалентны:

1. Каждая точка на линии m расположена на одинаковом (минимальном) расстоянии от линии l ( эквидистантные линии ).
2. Прямая m лежит в той же плоскости, что и прямая l, но не пересекает l (напомним, что прямые простираются до бесконечности в любом направлении).
3. Когда прямые m и l пересекаются третьей прямой ( секущей ) в одной и той же плоскости, соответствующие углы пересечения с секущей равны .

Поскольку это эквивалентные свойства, любое из них можно было бы взять за определение параллельных прямых в евклидовом пространстве, но первое и третье свойства подразумевают измерение и, таким образом, являются «более сложными», чем второе. Таким образом, второе свойство обычно выбирается в качестве определяющего свойства параллельных прямых в евклидовой геометрии. ^[6] Остальные свойства являются следствиями постулата о параллельности Евклида .

История

Определение параллельных линий как пары прямых линий на плоскости, которые не пересекаются, появляется как Определение 23 в Книге I « Начал» Евклида . ^[7] Альтернативные определения обсуждались другими греками, часто как часть попытки доказать постулат параллельности . Прокл приписывает определение параллельных линий как равноудаленных линий Посидонию и цитирует Гемина в похожем ключе. Симплиций также упоминает определение Посидония, а также его модификацию философом Аганисом. ^[7]

В конце девятнадцатого века в Англии «Начала» Евклида все еще были стандартным учебником в средних школах. Традиционная трактовка геометрии подвергалась давлению со стороны новых разработок в проективной геометрии и неевклидовой геометрии , поэтому в это время было написано несколько новых учебников для преподавания геометрии. Главным отличием этих реформаторских текстов, как между собой, так и между ними и Евклидом, является трактовка параллельных линий. ^[8] Эти реформаторские тексты не остались без своих критиков, и один из них, Чарльз Доджсон (он же Льюис Кэрролл ), написал пьесу «Евклид и его современные соперники» , в которой эти тексты подвергаются критике. ^[9]

Одним из ранних учебников реформы был « Элементарный геометрический строй» Джеймса Мориса Уилсона 1868 года. ^[10] Уилсон основывал свое определение параллельных прямых на примитивном понятии направления . Согласно Вильгельму Киллингу ^[11], эта идея может быть прослежена до Лейбница . ^[12] Уилсон, не определяя направление, поскольку оно является примитивным, использует этот термин в других определениях, таких как его шестое определение: «Две прямые линии, которые встречаются друг с другом, имеют разные направления, а разность их направлений равна углу между ними». Уилсон (1868, стр. 2) В определении 15 он вводит параллельные прямые таким образом: «Прямые линии, которые имеют одинаковое направление , но не являются частями одной и той же прямой, называются параллельными прямыми ». Уилсон (1868, стр. 12) Август де Морган рассмотрел этот текст и объявил его неудачным, в первую очередь на основе этого определения и того, как Уилсон использовал его для доказательства вещей о параллельных прямых. Доджсон также посвящает большую часть своей пьесы (Акт II, Сцена VI § 1) осуждению подхода Уилсона к параллелям. Уилсон вычеркнул эту концепцию из третьего и последующих изданий своего текста. ^[13]

Другие свойства, предложенные другими реформаторами, используемые в качестве замены определения параллельных прямых, не оказались намного лучше. Основная трудность, как указал Доджсон, заключалась в том, что для их использования таким образом требовалось добавление дополнительных аксиом в систему. Определение равноудаленной линии Посидония, изложенное Фрэнсисом Катбертсоном в его тексте 1874 года «Евклидова геометрия», страдает от проблемы, заключающейся в том, что точки, которые находятся на фиксированном заданном расстоянии по одну сторону от прямой, должны образовывать прямую линию. Это невозможно доказать и должно предполагаться истинным. ^[14] Соответствующие углы, образованные свойством трансверсальности, использованные У. Д. Кули в его тексте 1860 года « Элементы геометрии», упрощенные и объясненные, требуют доказательства того факта, что если одна трансверсаль встречает пару прямых под конгруэнтными соответствующими углами, то все трансверсали должны делать то же самое. Опять же, для обоснования этого утверждения нужна новая аксиома.

Строительство

Три приведенных выше свойства приводят к трем различным методам построения ^[15] параллельных линий.

Задача: Проведите прямую, параллельную прямой l .

• 
  Свойство 1: Линия m имеет всюду одинаковое расстояние до линии l .
• 
  Свойство 2: Возьмем случайную прямую, проходящую через a и пересекающую l в точке x . Переместим точку x в бесконечность.
• 
  Свойство 3: Оба l и m имеют общую секущую линию, проходящую через a, которая пересекает их под углом 90°.

Расстояние между двумя параллельными прямыми

Поскольку параллельные линии в евклидовой плоскости равноудалены, существует уникальное расстояние между двумя параллельными линиями. Учитывая уравнения двух невертикальных, негоризонтальных параллельных линий,

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

расстояние между двумя прямыми можно найти, найдя две точки (по одной на каждой прямой), которые лежат на общем перпендикуляре к параллельным прямым, и вычислив расстояние между ними. Поскольку прямые имеют наклон m , общий перпендикуляр будет иметь наклон −1/ m , и мы можем взять прямую с уравнением y = − x / m в качестве общего перпендикуляра. Решить линейные системы

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

и

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

чтобы получить координаты точек. Решениями линейных систем являются точки

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

и

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

Эти формулы по-прежнему дают правильные координаты точек, даже если параллельные линии горизонтальны (т.е. m = 0). Расстояние между точками равно

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

что сводится к

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Когда линии заданы общей формой уравнения линии (включая горизонтальные и вертикальные линии):

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

их расстояние можно выразить как

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Две линии в трехмерном пространстве

Две прямые в одном и том же трехмерном пространстве, которые не пересекаются, не обязательно параллельны. Только если они находятся в общей плоскости, они называются параллельными; в противном случае они называются скрещивающимися прямыми .

Две различные прямые l и m в трехмерном пространстве параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки P на прямой m до ближайшей точки на прямой l не зависит от местоположения точки P на прямой m . Это никогда не выполняется для скрещивающихся прямых.

Линия и плоскость

Прямая m и плоскость q в трехмерном пространстве, при этом прямая не лежит в этой плоскости, параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

Эквивалентно, они параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки P на прямой m до ближайшей точки плоскости q не зависит от местоположения точки P на прямой m .

Два самолета

Подобно тому, как параллельные прямые должны располагаться в одной плоскости, параллельные плоскости должны располагаться в одном трехмерном пространстве и не иметь общих точек.

Две различные плоскости q и r параллельны тогда и только тогда, когда расстояние от точки P в плоскости q до ближайшей точки в плоскости r не зависит от местоположения P в плоскости q . Это никогда не будет иметь места, если две плоскости не находятся в одном и том же трехмерном пространстве.

В неевклидовой геометрии

В неевклидовой геометрии понятие прямой линии заменяется более общим понятием геодезической линии , кривой, которая локально прямая относительно метрики (определение расстояния) на римановом многообразии , поверхности (или пространстве более высокой размерности), которая сама может быть искривлена. В общей теории относительности частицы, не находящиеся под влиянием внешних сил, следуют геодезическим линиям в пространстве-времени , четырехмерном многообразии с 3 пространственными измерениями и 1 временным измерением. ^[16]

В неевклидовой геометрии ( эллиптической или гиперболической геометрии ) три евклидовых свойства, упомянутые выше, не эквивалентны, и только второе из них (прямая m лежит в той же плоскости, что и прямая l, но не пересекает l) полезно в неевклидовой геометрии, поскольку не требует измерений. В общей геометрии три свойства, указанные выше, дают три различных типа кривых: равноотстоящие кривые , параллельные геодезические и геодезические, имеющие общий перпендикуляр , соответственно.

Гиперболическая геометрия

Пересекающиеся , параллельные и ультрапараллельные прямые, проходящие через a относительно l в гиперболической плоскости. Параллельные прямые кажутся пересекающими l сразу за пределами изображения. Это всего лишь артефакт визуализации. На реальной гиперболической плоскости прямые будут сближаться и «встретятся» в бесконечности.

В то время как в евклидовой геометрии две геодезические могут пересекаться или быть параллельными, в гиперболической геометрии есть три возможности. Две геодезические, принадлежащие одной плоскости, могут быть:

1. пересекающиеся , если они пересекаются в общей точке на плоскости,
2. параллельны , если они не пересекаются в плоскости, но сходятся к общей предельной точке на бесконечности ( идеальной точке ), или
3. ультрапараллельны , если они не имеют общей предельной точки на бесконечности. ^[17]

В литературе ультрапараллельные геодезические часто называют непересекающимися . Геодезические, пересекающиеся на бесконечности, называют предельными параллельными .

Как и на рисунке, через точку a, не лежащую на прямой l, проходят две предельные параллельные прямые, по одной для каждой идеальной точки направления прямой l. Они разделяют прямые, пересекающие прямую l, и те, которые ультрапараллельны прямой l .

Ультрапараллельные прямые имеют один общий перпендикуляр ( теорема об ультрапараллельности ) и расходятся по обе стороны от этого общего перпендикуляра.

Сферическая или эллиптическая геометрия

На сфере нет такого понятия, как параллельная линия. Линия a — это большой круг , эквивалент прямой в сферической геометрии. Линия c равноудалена от линии a, но не является большим кругом. Это параллель широты. Линия b — это еще одна геодезическая, которая пересекает a в двух антиподных точках. Они имеют два общих перпендикуляра (один показан синим цветом).

В сферической геометрии все геодезические являются большими окружностями . Большие окружности делят сферу на две равные полусферы , и все большие окружности пересекаются друг с другом. Таким образом, не существует параллельных геодезических линий данной геодезической, поскольку все геодезические пересекаются. Эквидистантные кривые на сфере называются параллелями широты, аналогичными линиям широты на глобусе. Параллели широты могут быть получены пересечением сферы с плоскостью, параллельной плоскости, проходящей через центр сферы.

Возвратный вариант

Если l, m, n — три различные линии, то ${\displaystyle l\parallel m\ \land \ m\parallel n\ \implies \ l\parallel n.}$

В этом случае параллельность является транзитивным отношением . Однако в случае l = n наложенные друг на друга прямые не считаются параллельными в евклидовой геометрии. Бинарное отношение между параллельными прямыми, очевидно, является симметричным отношением . Согласно принципам Евклида, параллельность не является рефлексивным отношением и, таким образом, не может быть отношением эквивалентности . Тем не менее, в аффинной геометрии пучок параллельных прямых принимается за класс эквивалентности в множестве прямых, где параллельность является отношением эквивалентности. ^{[18] [19] [20]}

С этой целью Эмиль Артин (1957) принял определение параллельности, согласно которому две прямые параллельны, если они имеют все или ни одной из своих общих точек. ^[21] Тогда прямая параллельна сама себе, так что рефлексивные и транзитивные свойства принадлежат этому типу параллельности, создавая отношение эквивалентности на множестве прямых. При изучении геометрии инцидентности этот вариант параллельности используется в аффинной плоскости .

Смотрите также

• Параллель Клиффорда
• Коллинеарность
• Конкурентные линии
• Предельная параллель
• Параллельная кривая
• Теорема о ультрапараллельности

Примечания

1. Харрис, Джон В.; Штекер, Хорст (1998). Справочник по математике и информатике. Биркхойзер. Глава 6, с. 332. ИСБН 0-387-94746-9.
2. Хотя этот постулат относится только к случаю пересечения прямых, он необходим для доказательства единственности параллельных прямых в смысле аксиомы Плейфера .
3. Керси (старший), Джон (1673). Алгебра . Т. Книга IV. Лондон. С. 177.
4. Cajori, Florian (1993) [сентябрь 1928]. "§ 184, § 359, § 368". История математических обозначений - обозначения в элементарной математике . Том 1 (два тома в одном неизмененном переиздании). Чикаго, США: Open court Publishing Company . стр. 193, 402–403, 411–412. ISBN 0-486-67766-4. LCCN  93-29211 . Получено 22.07.2019 . §359. […] ∥ для параллельности встречается в Opuscula mathematica hactenus inedita (1677) [стр. 197] Отреда , посмертной работе (§ 184) […] §368. Знаки для параллельных линий. […] когда знак равенства Рекорда завоевал свое место на континенте, вертикальные линии стали использоваться для параллельности. Мы находим ∥ для «параллельного» у Керси ,[14] Касвелла , Джонса ,[15] Уилсона,[16] Эмерсона ,[17] Камбли,[18] и авторов последних пятидесяти лет, которые уже цитировались в связи с другими пиктограммами. До 1875 года это не встречалось так часто […] Холл и Стивенс[1] использовали «par[1] или ∥» для параллельных […] [14] Джон Керси , Алгебра (Лондон, 1673), Книга IV, стр. 177. [15] У. Джонс , Синопсис пальмариум математикеос (Лондон, 1706). [16] Джон Уилсон, Тригонометрия (Эдинбург, 1714), пояснения символов. [17] У. Эмерсон , Элементы геометрии (Лондон, 1763), стр. 4. [18] Л. Камбли  [де] , Die Elementar-Mathematik , Часть 2: Планиметрия , 43-е издание (Бреслау, 1876), стр. 8. […] [1] Х. С. Холл и Ф. Х. Стивенс, «Начала Евклида» , части I и II (Лондон, 1889), стр. 10. […][1]
5. "Математические операторы – Консорциум Unicode" (PDF) . Получено 2013-04-21 .
6. Уайли 1964, стр. 92—94.
7. Heath 1956, стр. 190–194
8. Ричардс 1988, Гл. 4: Евклид и английский школьник. С. 161–200
9. Кэрролл, Льюис (2009) [1879], Евклид и его современные соперники , Barnes & Noble, ISBN 978-1-4351-2348-9
10. Уилсон 1868
11. Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I , стр. 5
12. Хит 1956, стр. 194.
13. Ричардс 1988, стр. 180–184
14. Хит 1956, стр. 194.
15. Только третье построение является построением с помощью циркуля и линейки, первые два — бесконечные процессы (они требуют «бесконечного числа шагов»).
16. Чёрч, Бенджамин (2022-12-03). «Не такое уж мягкое введение в общую теорию относительности» (PDF) .
17. "5.3: Теоремы гиперболической геометрии". Mathematics LibreTexts . 2021-10-30 . Получено 2024-08-22 .
18. HSM Coxeter (1961) Введение в геометрию , стр. 192, John Wiley & Sons
19. Ванда Шмелев (1983) От аффинной к евклидовой геометрии , стр. 17, Д. Рейдель ISBN 90-277-1243-3 
20. Энди Лю (2011) «Является ли параллелизм отношением эквивалентности?», The College Mathematics Journal 42(5):372
21. Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра, стр. 52 через Интернет-архив

Ссылки

• Хит, Томас Л. (1956), Тринадцать книг «Начал Евклида» (2-е изд. [факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] ред.), Нью-Йорк: Dover Publications

(3 тома): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3). Авторитетный перевод Хита плюс обширные исторические исследования и подробные комментарии по всему тексту.   

• Ричардс, Джоан Л. (1988), Математические видения: стремление к геометрии в викторианской Англии , Бостон: Academic Press, ISBN 0-12-587445-6
• Уилсон, Джеймс Морис (1868), Элементарная геометрия (1-е изд.), Лондон: Macmillan and Co.
• Уайли, CR Jr. (1964), Основы геометрии , McGraw–Hill

Дальнейшее чтение

• Пападопулос, Атанас; Тере, Гийом (2014), «Теория параллелей Иоганна Генриха Ламберта: презентация, перевод и комментарии» , Париж: Коллекция наук в истории, Библиотека Альберта Бланшара, ISBN 978-2-85367-266-5