Бесконечность

Математическая концепция

Из-за постоянного отражения света между противолежащими зеркалами создается впечатление, что внутри них находится безграничное количество пространства и повторения.

Бесконечность — это то, что безгранично, бесконечно или больше любого натурального числа . Часто обозначается символом бесконечности . ${\displaystyle \infty }$

Со времен древних греков философская природа бесконечности была предметом многих дискуссий среди философов. В 17 веке, с введением символа бесконечности ^[1] и исчисления бесконечно малых , математики начали работать с бесконечными рядами и тем, что некоторые математики (включая Лопиталя и Бернулли ) ^[2] считали бесконечно малыми величинами, но бесконечность продолжала ассоциироваться с бесконечными процессами. Пока математики боролись с основанием исчисления , оставалось неясным, можно ли рассматривать бесконечность как число или величину , и если да, то как это можно сделать. ^[1] В конце 19 века Георг Кантор расширил математическое изучение бесконечности, изучая бесконечные множества и бесконечные числа , показав, что они могут быть различных размеров. ^{[1] [3]} Например, если рассматривать линию как множество всех ее точек, то их бесконечное число (т. е. мощность линии) больше числа целых чисел . ^[4] В этом смысле бесконечность — это математическое понятие, и бесконечные математические объекты можно изучать, манипулировать ими и использовать так же, как и любой другой математический объект.

Математическая концепция бесконечности уточняет и расширяет старую философскую концепцию, в частности, вводя бесконечно много различных размеров бесконечных множеств. Среди аксиом теории множеств Цермело–Френкеля , на которых может быть развита большая часть современной математики, есть аксиома бесконечности , которая гарантирует существование бесконечных множеств. ^[1] Математическая концепция бесконечности и манипулирование бесконечными множествами широко используются в математике, даже в таких областях, как комбинаторика, которые, как может показаться, не имеют к ним никакого отношения. Например, доказательство Уайлсом Великой теоремы Ферма неявно опирается на существование вселенных Гротендика , очень больших бесконечных множеств, ^[5] для решения давней проблемы, которая формулируется в терминах элементарной арифметики .

В физике и космологии вопрос о том, является ли Вселенная пространственно бесконечной, остается открытым.

История

Древние культуры имели различные идеи о природе бесконечности. Древние индийцы и греки не определяли бесконечность в точном формализме, как это делает современная математика, а вместо этого подходили к бесконечности как к философской концепции.

Ранний греческий

Самая ранняя зафиксированная идея бесконечности в Греции, возможно, принадлежит Анаксимандру (ок. 610 – ок. 546 до н. э.), досократическому греческому философу. Он использовал слово apeiron , что означает «неограниченный», «неопределенный» и, возможно, может быть переведено как «бесконечный». ^{[1] [6]}

Аристотель (350 г. до н.э.) различал потенциальную бесконечность от актуальной бесконечности , которую он считал невозможной из-за различных парадоксов, которые она, как казалось, порождала. ^[7] Утверждалось, что в соответствии с этой точкой зрения у эллинистических греков был «ужас бесконечности» ^{[8] [9]} , который, например, объясняет, почему Евклид (ок. 300 г. до н.э.) не сказал, что существует бесконечность простых чисел, а сказал: «Простых чисел больше, чем любого заданного множества простых чисел». ^[10] Также утверждалось, что, доказав бесконечность простых чисел , Евклид «был первым, кто преодолел ужас бесконечности». ^{[11] Существует похожее противоречие относительно} постулата Евклида о параллельности , иногда переводимого как:

Если прямая линия, пересекающая две [другие] прямые линии, образует внутренние углы по одну и ту же сторону [от себя], сумма которых меньше двух прямых углов, то две [другие] прямые линии, продолжаясь до бесконечности, встречаются по ту сторону [исходной прямой линии], где [сумма внутренних углов] меньше двух прямых углов. ^[12]

Другие переводчики, однако, предпочитают перевод «две прямые линии, если они производятся бесконечно...», ^[13] таким образом избегая намека на то, что Евклид был доволен понятием бесконечности. Наконец, утверждалось, что размышление о бесконечности, далекое от того, чтобы вызывать «ужас бесконечности», лежало в основе всей ранней греческой философии и что «потенциальная бесконечность» Аристотеля является отклонением от общей тенденции этого периода. ^[14]

Зенон: Ахилл и черепаха

Зенон Элейский ( ок.  495 – ок.  430 до н. э.) не выдвигал никаких взглядов относительно бесконечности. Тем не менее, его парадоксы, ^{[15] особенно «Ахилл и черепаха», были важным вкладом, поскольку они ясно показали несостоятельность популярных концепций.} Бертран Рассел описал эти парадоксы как «неизмеримо тонкие и глубокие». ^[16]

Ахилл соревнуется с черепахой, давая ей фору.

• Шаг №1: Ахиллес бежит к исходной точке черепахи, в то время как черепаха идет вперед.
• Шаг №2: Ахиллес продвигается туда, где была черепаха в конце Шага №1, а черепаха идет еще дальше.
• Шаг №3: Ахиллес продвигается туда, где была черепаха в конце шага №2, а черепаха идет еще дальше.
• Шаг №4: Ахиллес продвигается туда, где была черепаха в конце шага №3, а черепаха идет еще дальше.

И т. д.

По-видимому, Ахиллу никогда не удается догнать черепаху, поскольку, сколько бы шагов он ни делал, черепаха всегда остается впереди него.

Зенон не пытался высказать точку зрения о бесконечности. Будучи представителем школы элеатов , считавшей движение иллюзией, он считал ошибкой предположение, что Ахилл вообще мог бежать. Последующие мыслители, найдя это решение неприемлемым, более двух тысячелетий пытались найти другие слабые стороны в аргументе.

Наконец, в 1821 году Огюстен-Луи Коши дал как удовлетворительное определение предела, так и доказательство того, что при 0 < x < 1 [ 17 ^] $${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

Предположим, что Ахиллес бежит со скоростью 10 метров в секунду, черепаха идет со скоростью 0,1 метра в секунду, и у последней есть фора в 100 метров. Продолжительность погони соответствует шаблону Коши с a = 10 секунд и x = 0,01 . Ахиллес догоняет черепаху; она берет его

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$ ${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.}$

Ранние индейцы

Джайнский математический текст Сурья Праджняпти (ок. 4–3 вв. до н. э.) классифицирует все числа на три множества: перечислимые , неисчислимые и бесконечные. Каждое из них далее подразделялось на три порядка: ^[18]

• Перечислимые: низший, средний и высший
• Бесчисленный: почти бесчисленный, действительно бесчисленный и бесчисленно бесчисленный
• Бесконечный: почти бесконечный, действительно бесконечный, бесконечно бесконечный

17 век

В 17 веке европейские математики начали использовать бесконечные числа и бесконечные выражения систематическим образом. В 1655 году Джон Уоллис впервые использовал обозначение для такого числа в своем труде De sectionibus conicis [ ^19] и применил его в вычислениях площади, разделив область на бесконечно малые полоски шириной порядка ^[20] Но в Arithmetica infinitorum (1656) ^[21] он обозначает бесконечные ряды, бесконечные произведения и бесконечные непрерывные дроби, записывая несколько членов или множителей, а затем добавляя «&c.», например, «1, 6, 12, 18, 24, &c». ^[22] ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$

В 1699 году Исаак Ньютон написал об уравнениях с бесконечным числом членов в своей работе De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . ^[23]

Математика

Герман Вейль начал свою математико-философскую речь в 1930 году словами: ^[24]

Математика — наука о бесконечности.

Символ

Символ бесконечности (иногда называемый лемнискатой ) — математический символ, представляющий концепцию бесконечности. Символ кодируется в Unicode как U+221E ∞ INFINITY ( ∞ ) ^[25] и в LaTeX как . ^[26] ${\displaystyle \infty }$ \infty

Он был введен в 1655 году Джоном Уоллисом [ ^{27] [28]} и с тех пор использовался также за пределами математики в современном мистицизме ^[29] и литературной символике ^[30] .

Исчисление

Готфрид Лейбниц , один из соавторов исчисления бесконечно малых , широко размышлял о бесконечных числах и их использовании в математике. Для Лейбница и бесконечно малые, и бесконечные величины были идеальными сущностями, не той же природы, что и заметные величины, но обладающими теми же свойствами в соответствии с Законом непрерывности . ^{[31] [2]}

Реальный анализ

В реальном анализе символ , называемый «бесконечность», используется для обозначения неограниченного предела . ^[32] Обозначение означает, что  увеличивается без ограничений, а означает, что  уменьшается без ограничений. Например, если для каждого  , то ^[33] ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(t)\geq 0}$ ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$означает, что не ограничивает конечную область от до ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$означает, что площадь под ним бесконечна. ${\displaystyle f(t)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$означает, что общая площадь под конечна и равна ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle a.}$

Бесконечность также можно использовать для описания бесконечных рядов следующим образом:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$означает, что сумма бесконечного ряда сходится к некоторому действительному значению ${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$означает, что сумма бесконечного ряда надлежащим образом расходится к бесконечности, в том смысле, что частичные суммы возрастают без ограничений. ^[34]

В дополнение к определению предела, бесконечность может также использоваться как значение в расширенной системе действительных чисел. Точки, помеченные и , могут быть добавлены к топологическому пространству действительных чисел, создавая двухточечную компактификацию действительных чисел. Добавление алгебраических свойств к этому дает нам расширенные действительные числа . ^[35] Мы также можем рассматривать и как одно и то же, что приводит к одноточечной компактификации действительных чисел, которая является действительной проективной прямой . ^[36] Проективная геометрия также относится к линии на бесконечности в планарной геометрии, плоскости на бесконечности в трехмерном пространстве и гиперплоскости на бесконечности для общих измерений , каждая из которых состоит из точек на бесконечности . ^[37] ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Комплексный анализ

С помощью стереографической проекции комплексная плоскость может быть "обернута" на сферу, причем верхняя точка сферы соответствует бесконечности. Это называется сферой Римана .

В комплексном анализе символ , называемый «бесконечностью», обозначает беззнаковый бесконечный предел . Выражение означает, что величина  растет  сверх любого заданного значения. Точка с меткой может быть добавлена ​​к комплексной плоскости как топологическое пространство, дающее одноточечную компактификацию комплексной плоскости. Когда это сделано, результирующее пространство является одномерным комплексным многообразием , или римановой поверхностью , называемой расширенной комплексной плоскостью или сферой Римана . ^[38] Арифметические операции, аналогичные приведенным выше для расширенных действительных чисел, также могут быть определены, хотя нет различия в знаках (что приводит к одному исключению, что бесконечность не может быть добавлена ​​сама к себе). С другой стороны, этот вид бесконечности допускает деление на ноль , а именно для любого ненулевого комплексного числа . В этом контексте часто полезно рассматривать мероморфные функции как отображения в сферу Римана, принимающие значение на полюсах. Область определения комплекснозначной функции может быть расширена, чтобы включить также точку на бесконечности. Одним из важных примеров таких функций является группа преобразований Мёбиуса (см. Преобразование Мёбиуса § Обзор ). ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z/0=\infty }$  ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty }$

Нестандартный анализ

Бесконечно малые (ε) и бесконечности (ω) на гиперреальной числовой прямой (1/ε = ω/1)

Первоначальная формулировка исчисления бесконечно малых Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем использовала бесконечно малые величины. Во второй половине 20-го века было показано, что эта трактовка может быть поставлена ​​на строгую основу с помощью различных логических систем , включая гладкий анализ бесконечно малых и нестандартный анализ . В последнем случае бесконечно малые обратимы, а их обратные являются бесконечными числами. Бесконечности в этом смысле являются частью гиперреального поля ; между ними нет эквивалентности, как в случае с канторовскими трансфинитами . Например, если H является бесконечным числом в этом смысле, то H + H = 2H и H + 1 являются различными бесконечными числами. Этот подход к нестандартному исчислению полностью разработан в Keisler (1986).

Теория множеств

Взаимно-однозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством

Другая форма «бесконечности» — это порядковая и кардинальная бесконечности теории множеств — системы трансфинитных чисел , впервые разработанной Георгом Кантором . В этой системе первым трансфинитным кардиналом является алеф-нуль ( ℵ ₀ ), мощность множества натуральных чисел . Эта современная математическая концепция количественной бесконечности была разработана в конце 19 века на основе работ Кантора, Готтлоба Фреге , Рихарда Дедекинда и других — с использованием идеи коллекций или множеств. ^[1]

Подход Дедекинда по сути заключался в принятии идеи соответствия один к одному в качестве стандарта для сравнения размеров множеств и в отказе от взгляда Галилея (выведенного из Евклида ) о том, что целое не может быть того же размера, что и часть. (Однако см. парадокс Галилея , где Галилей приходит к выводу, что положительные целые числа нельзя сравнивать с подмножеством положительных квадратных целых чисел , поскольку оба являются бесконечными множествами.) Бесконечное множество можно просто определить как имеющее тот же размер, что и по крайней мере одна из его собственных частей; это понятие бесконечности называется дедекиндовым бесконечным . Диаграмма справа дает пример: рассматривая линии как бесконечные множества точек, левую половину нижней синей линии можно отобразить взаимно-однозначным образом (зеленые соответствия) на верхнюю синюю линию и, в свою очередь, на всю нижнюю синюю линию (красные соответствия); поэтому вся нижняя синяя линия и ее левая половина имеют одинаковую мощность, т. е. «размер». ^{[ необходима цитата ]}

Кантор определил два вида бесконечных чисел: порядковые числа и кардинальные числа . Порядковые числа характеризуют хорошо упорядоченные множества или подсчет, продолжающийся до любой точки остановки, включая точки после того, как бесконечное число уже было подсчитано. Обобщение конечных и (обычных) бесконечных последовательностей , которые являются отображениями из положительных целых чисел , приводит к отображениям из порядковых чисел в трансфинитные последовательности. Кардинальные числа определяют размер множеств, то есть количество содержащихся в них членов, и могут быть стандартизированы путем выбора первого порядкового числа определенного размера для представления кардинального числа этого размера. Наименьшая порядковая бесконечность — это бесконечность положительных целых чисел, и любое множество, имеющее мощность целых чисел, является счетно бесконечным . Если множество слишком велико, чтобы быть поставленным во взаимно-однозначное соответствие с положительными целыми числами, оно называется несчетным . Взгляды Кантора возобладали, и современная математика принимает актуальную бесконечность как часть последовательной и связной теории. ^{[39] [40] [ нужна страница ]} Некоторые расширенные числовые системы, такие как гипердействительные числа, включают обычные (конечные) числа и бесконечные числа различных размеров. ^{[ нужна ссылка ]}

Мощность континуума

Одним из важнейших результатов Кантора было то, что мощность континуума больше, чем мощность натуральных чисел ; то есть, действительных чисел R больше , чем натуральных чисел N. А именно, Кантор показал, что . ^[41] ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle {\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

Континуум -гипотеза утверждает, что между мощностью действительных чисел и мощностью натуральных чисел не существует кардинального числа , то есть . ${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$

Эту гипотезу невозможно доказать или опровергнуть в рамках широко принятой теории множеств Цермело–Френкеля , даже если принять аксиому выбора . ^[42]

Кардинальную арифметику можно использовать для того, чтобы показать не только то, что число точек на прямой действительного числа равно числу точек в любом сегменте этой прямой , но также и то, что оно равно числу точек на плоскости и, конечно, в любом конечномерном пространстве. ^{[ необходима цитата ]}

Первые три шага фрактального построения, пределом которого является заполняющая пространство кривая , показывающие, что в одномерной линии столько же точек, сколько и в двумерном квадрате.

Первый из этих результатов очевиден при рассмотрении, например, функции тангенса , которая обеспечивает однозначное соответствие между интервалом ( − ⁠π/2⁠ , ⁠π/2⁠ )​​и Р.

Второй результат был доказан Кантором в 1878 году, но стал интуитивно очевидным только в 1890 году, когда Джузеппе Пеано ввел заполняющие пространство кривые , кривые линии, которые скручиваются и поворачиваются достаточно, чтобы заполнить весь любой квадрат, или куб , или гиперкуб , или конечномерное пространство. Эти кривые можно использовать для определения взаимно-однозначного соответствия между точками на одной стороне квадрата и точками в квадрате. ^[43]

Геометрия

До конца 19 века бесконечность редко обсуждалась в геометрии , за исключением случаев, когда речь шла о процессах, которые можно было бы продолжать без каких-либо ограничений. Например, линия была тем, что сейчас называется отрезком прямой , с условием, что ее можно продлить так далеко, как хочется; но о ее бесконечном продолжении не могло быть и речи. Аналогично, линия обычно не считалась состоящей из бесконечного числа точек, а была местом, где точка может быть размещена. Даже если существует бесконечно много возможных положений, на линии можно разместить только конечное число точек. Свидетельством этого является выражение « место точек , удовлетворяющих некоторому свойству» (единственное число), тогда как современные математики обычно говорят «множество точек , обладающих свойством» (множественное число).

Одним из редких исключений математической концепции, включающей актуальную бесконечность , была проективная геометрия , где точки на бесконечности добавляются к евклидову пространству для моделирования эффекта перспективы , который показывает параллельные линии, пересекающиеся «на бесконечности». С математической точки на бесконечности имеют то преимущество, что позволяют не рассматривать некоторые особые случаи. Например, в проективной плоскости две различные линии пересекаются ровно в одной точке, тогда как без точек на бесконечности нет точек пересечения для параллельных линий. Таким образом, параллельные и непараллельные линии должны изучаться отдельно в классической геометрии, в то время как в проективной геометрии их не нужно различать.

До использования теории множеств для обоснования математики , точки и линии рассматривались как отдельные сущности, и точка могла быть расположена на линии . С универсальным использованием теории множеств в математике точка зрения кардинально изменилась: теперь линия рассматривается как множество ее точек , и говорят, что точка принадлежит линии, а не расположена на линии (однако последняя фраза все еще используется).

В частности, в современной математике линии представляют собой бесконечные множества .

Бесконечное измерение

Векторные пространства , которые встречаются в классической геометрии, всегда имеют конечную размерность , обычно два или три. Однако это не подразумевается абстрактным определением векторного пространства, и векторные пространства бесконечной размерности могут рассматриваться. Это типично для функционального анализа , где функциональные пространства , как правило, являются векторными пространствами бесконечной размерности.

В топологии некоторые конструкции могут генерировать топологические пространства бесконечной размерности. В частности, это случай итерированных циклических пространств .

Фракталы

Структура фрактального объекта повторяется в его увеличениях. Фракталы можно увеличивать до бесконечности, не теряя своей структуры и не становясь «гладкими»; они имеют бесконечные периметры и могут иметь бесконечные или конечные площади. Одной из таких фрактальных кривых с бесконечным периметром и конечной площадью является снежинка Коха . ^{[ требуется цитата ]}

Математика без бесконечности

Леопольд Кронекер скептически относился к понятию бесконечности и к тому, как его коллеги-математики использовали его в 1870-х и 1880-х годах. Этот скептицизм был развит в философии математики, называемой финитизмом , крайней форме математической философии в общих философских и математических школах конструктивизма и интуиционизма . ^[44]

Физика

В физике приближения действительных чисел используются для непрерывных измерений, а натуральные числа используются для дискретных измерений (т. е. подсчета). Существуют концепции бесконечных вещей, таких как бесконечная плоская волна , но нет экспериментальных средств для их создания. ^[45]

Космология

Первое опубликованное предположение о том, что Вселенная бесконечна, было высказано Томасом Диггесом в 1576 году. ^[46] Восемь лет спустя, в 1584 году, итальянский философ и астроном Джордано Бруно предложил безграничную Вселенную в своем труде «О бесконечной Вселенной и мирах» : «Существует бесчисленное множество солнц; бесчисленное множество земель вращается вокруг этих солнц подобно тому, как семь планет вращаются вокруг нашего Солнца. Живые существа населяют эти миры». ^[47]

Космологи долго пытались выяснить, существует ли бесконечность в нашей физической вселенной : существует ли бесконечное число звезд? Имеет ли вселенная бесконечный объем? Пространство « длится вечно »? Это все еще открытый вопрос космологии . Вопрос о бесконечности логически отделен от вопроса о наличии границ. Двумерная поверхность Земли, например, конечна, но не имеет края. Двигаясь по прямой линии относительно кривизны Земли, человек в конечном итоге вернется в то же место, с которого он начал. Вселенная, по крайней мере в принципе, может иметь похожую топологию . Если это так, то человек может в конечном итоге вернуться в свою исходную точку после достаточно долгого путешествия по прямой линии через вселенную. ^[48]

Кривизну Вселенной можно измерить с помощью мультипольных моментов в спектре космического фонового излучения . На сегодняшний день анализ радиационных моделей, зарегистрированных космическим аппаратом WMAP, намекает на то, что Вселенная имеет плоскую топологию. Это согласуется с бесконечной физической Вселенной. ^{[49] [50] [51]}

Однако вселенная может быть конечной, даже если ее кривизна плоская. Простой способ понять это — рассмотреть двумерные примеры, такие как видеоигры, где предметы, покидающие один край экрана, появляются на другом. Топология таких игр тороидальная , а геометрия плоская. Для трехмерного пространства также существует множество возможных ограниченных плоских возможностей. ^[52]

Концепция бесконечности также распространяется на гипотезу мультивселенной , которая, когда ее объясняют такие астрофизики, как Мичио Каку , утверждает, что существует бесконечное количество и разнообразие вселенных. ^[53] Кроме того, циклические модели постулируют бесконечное количество Больших взрывов , что приводит к бесконечному разнообразию вселенных после каждого события Большого взрыва в бесконечном цикле. ^[54]

Логика

В логике аргумент о бесконечном регрессе — это «отличительно философский вид аргумента, призванный показать, что тезис является дефектным, поскольку он порождает бесконечную серию, когда либо (форма A) такой серии не существует, либо (форма B) если бы она существовала, тезис не имел бы той роли (например, обоснования), которую он должен играть». ^[55]

Вычислительная техника

Стандарт IEEE для чисел с плавающей точкой (IEEE 754) определяет положительное и отрицательное бесконечные значения (а также неопределенные значения). Они определяются как результат арифметического переполнения , деления на ноль и других исключительных операций. ^[56]

Некоторые языки программирования , такие как Java ^[57] и J ^[58], предоставляют программисту явный доступ к положительным и отрицательным бесконечным значениям как к константам языка. Они могут использоваться как наибольшие и наименьшие элементы , поскольку они сравниваются (соответственно) больше или меньше всех других значений. Они используются как контрольные значения в алгоритмах, включающих сортировку , поиск или оконную обработку . ^{[ требуется цитата ]}

В языках, которые не имеют наибольших и наименьших элементов, но допускают перегрузку реляционных операторов , программист может создать наибольшие и наименьшие элементы. В языках, которые не предоставляют явного доступа к таким значениям из начального состояния программы, но реализуют тип данных с плавающей точкой , бесконечные значения могут быть по-прежнему доступны и использоваться в результате определенных операций. ^{[ необходима цитата ]}

В программировании бесконечный цикл — это цикл , условие выхода из которого никогда не выполняется, поэтому он выполняется бесконечно.

Искусство, игры и когнитивные науки

Перспективное произведение искусства использует концепцию точек схода , примерно соответствующих математическим точкам на бесконечности , расположенным на бесконечном расстоянии от наблюдателя. Это позволяет художникам создавать картины, которые реалистично отображают пространство, расстояния и формы. ^[59] Художник М. К. Эшер особенно известен тем, что использовал концепцию бесконечности в своих работах этим и другими способами. ^[60]

Разновидности шахмат, играемые на неограниченной доске, называются бесконечными шахматами . ^{[61] [62]}

Когнитивист Джордж Лакофф рассматривает концепцию бесконечности в математике и науках как метафору. Эта точка зрения основана на базовой метафоре бесконечности (БМИ), определяемой как постоянно возрастающая последовательность <1,2, 3,...>. ^[63]

Смотрите также

• 0,999...
• Число алеф
• Ананта
• Возведение в степень
• Неопределенная форма
• Названия больших чисел
• Теорема о бесконечной обезьяне
• Бесконечное множество
• Бесконечно малый
• Парадоксы бесконечности
• Сверхзадача
• Сюрреалистическое число

Ссылки

1. Аллен, Дональд (2003). "История бесконечности" (PDF) . Texas A&M Mathematics . Архивировано из оригинала (PDF) 1 августа 2020 г. . Получено 15 ноября 2019 г. .
2. Jesseph, Douglas Michael (1998-05-01). «Лейбниц об основах исчисления: вопрос о реальности бесконечно малых величин». Perspectives on Science . 6 (1&2): 6–40. doi :10.1162/posc_a_00543. ISSN  1063-6145. OCLC  42413222. S2CID  118227996. Архивировано из оригинала 11 января 2012 г. Получено 1 ноября 2019 г. – через Project MUSE.
3. Гауэрс, Тимоти; Барроу-Грин, июнь (2008). Принстонский компаньон по математике. Имре Лидер, Принстонский университет. Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8. OCLC  659590835.
4. Мэддокс 2002, стр. 113–117.
5. Макларти, Колин (15 января 2014 г.) [сентябрь 2010 г.]. «Что нужно для доказательства Последней теоремы Ферма? Гротендик и логика теории чисел». Бюллетень символической логики . 16 (3): 359–377. doi :10.2178/bsl/1286284558. S2CID  13475845 – через Cambridge University Press.
6. Уоллес 2004, стр. 44
7. Аристотель. Физика. Перевод Харди, Р. П.; Гэй, Р. К. Архив классики Интернета. Книга 3, Главы 5–8.
8. Гудман, Николас Д. (1981). «Размышления о философии математики Бишопа». В Richman, F. (ред.). Constructive Mathematics . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 873. Springer. pp. 135–145. doi :10.1007/BFb0090732. ISBN 978-3-540-10850-4.
9. Маор, стр. 3
10. Сартон, Джордж (март 1928 г.). «Тринадцать книг «Начал Евклида». Томас Л. Хит, Хейберг». Isis . 10 (1): 60–62. doi :10.1086/346308. ISSN  0021-1753 – через The University of Chicago Press Journals.
11. Хаттен, Эрнест Хиршлафф (1962). Истоки науки; исследование основ западной мысли. Архив Интернета. Лондон, Аллен и Анвин. С. 1–241. ISBN 978-0-04-946007-2. Получено 2020-01-09 .
12. Евклид (2008) [ок. 300 г. до н. э.]. Элементы геометрии Евклида (PDF) . Перевод Фицпатрика, Ричарда. Lulu.com. стр. 6 (Книга I, Постулат 5). ISBN 978-0-6151-7984-1.
13. Хит, сэр Томас Литтл ; Хейберг, Иоганн Людвиг (1908). Тринадцать книг «Начал Евклида». Т. 1. The University Press. С. 212.
14. Дроздек, Адам (2008).В начале был Апейрон : Бесконечность в греческой философии. Штутгарт, Германия: Франц Штайнер Верлаг. ISBN 978-3-515-09258-6.
15. «Парадоксы Зенона». Стэнфордский университет . 15 октября 2010 г. Получено 3 апреля 2017 г.
16. Рассел 1996, стр. 347
17. Коши, Огюстен-Луи (1821). Курс анализа Королевской политехнической школы. Libraires du Roi и de la Bibliothèque du Roi. п. 124 . Проверено 12 октября 2019 г.
18. Ян Стюарт (2017). Бесконечность: очень краткое введение. Oxford University Press. стр. 117. ISBN 978-0-19-875523-4. Архивировано из оригинала 3 апреля 2017 года.
19. Каджори, Флориан (2007). История математических обозначений. Том 1. Cosimo, Inc. стр. 214. ISBN 9781602066854.
20. Cajori 1993, Раздел 421, Том II, стр. 44
21. «Арифметика бесконечности».
22. Cajori 1993, Раздел 435, Том II, стр. 58
23. Граттан-Гиннесс, Айвор (2005). Знаковые труды по западной математике 1640-1940. Elsevier. стр. 62. ISBN 978-0-08-045744-4. Архивировано из оригинала 2016-06-03.Выдержка из стр. 62
24. Вейль, Герман (2012), Питер Песич (ред.), Уровни бесконечности / Избранные труды по математике и философии , Довер, стр. 17, ISBN 978-0-486-48903-2
25. AG, Compart. "Символ Unicode "∞" (U+221E)". Compart.com . Получено 15.11.2019 .
26. "Список математических символов LaTeX - OeisWiki". oeis.org . Получено 15.11.2019 .
27. Скотт, Джозеф Фредерик (1981), Математические работы Джона Уоллиса, доктора богословия, члена Королевского общества (1616–1703) (2-е изд.), Американское математическое общество , стр. 24, ISBN 978-0-8284-0314-6, архивировано из оригинала 2016-05-09
28. Мартин-Лёф, Пер (1990), «Математика бесконечности», COLOG-88 (Таллинн, 1988) , Lecture Notes in Computer Science, т. 417, Берлин: Springer, стр. 146–197, doi :10.1007/3-540-52335-9_54, ISBN 978-3-540-52335-2, МР  1064143
29. О'Флаэрти, Венди Донигер (1986), Мечты, иллюзии и другие реальности, Издательство Чикагского университета, стр. 243, ISBN 978-0-226-61855-5, архивировано из оригинала 2016-06-29
30. Токер, Леона (1989), Набоков: Тайна литературных структур, Cornell University Press, стр. 159, ISBN 978-0-8014-2211-9, архивировано из оригинала 2016-05-09
31. Белл, Джон Лейн . «Непрерывность и бесконечно малые». В Zalta, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
32. Тейлор 1955, стр. 63
33. Эти применения бесконечности для интегралов и рядов можно найти в любом стандартном тексте по исчислению, например, Swokowski 1983, стр. 468–510.
34. "Правильно расходящиеся последовательности - Mathonline". mathonline.wikidot.com . Получено 15.11.2019 .
35. Алипрантис, Хараламбос Д.; Беркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 978-0-12-050257-8, MR  1669668, архивировано из оригинала 2015-05-15
36. Джеминьяни 1990, стр. 177
37. Бойтельспахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / от основ к приложениям , Cambridge University Press, стр. 27, ISBN 978-0-521-48364-3
38. Рао, Мурали; Стеткер, Хенрик (1991). Комплексный анализ: приглашение: краткое введение в теорию комплексных функций. World Scientific. стр. 113. ISBN 9789810203757.
39. "Бесконечность". math.dartmouth.edu . Получено 2019-11-16 .
40. Мур, AW (1991). Бесконечность . Routledge.
41. Даубен, Джозеф (1993). «Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств» (PDF) . Труды 9-й конференции ACMS : 4.
42. Коэн 1963, стр. 1143
43. Саган 1994, стр. 10–12
44. Клайн 1972, стр. 1197–1198.
45. Дорические линзы Архивировано 24.01.2013 в Wayback Machine – Application Note – Axicons – 2. Intensity Distribution. Получено 7 апреля 2014 г.
46. Джон Гриббин (2009), В поисках Мультивселенной: Параллельные миры, скрытые измерения и окончательный поиск границ реальности , ISBN 978-0-470-61352-8 . стр. 88 
47. Брейк, Марк (2013). Alien Life Imagined: Communicating the Science and Culture of Astrobiology (иллюстрированное издание). Cambridge University Press. стр. 63. ISBN 978-0-521-49129-7.
48. Купелис, Тео; Кун, Карл Ф. (2007). В поисках Вселенной (иллюстрированное издание). Jones & Bartlett Learning. стр. 553. ISBN 978-0-7637-4387-1.Выдержка из стр. 553
49. «Будет ли Вселенная расширяться вечно?». NASA. 24 января 2014 г. Архивировано из оригинала 1 июня 2012 г. Получено 16 марта 2015 г.
50. "Наша Вселенная Плоская". FermiLab/SLAC. 7 апреля 2015 г. Архивировано из оригинала 10 апреля 2015 г.
51. Маркус Й. Ю (2011). «Неожиданные связи». Инженерное дело и наука . LXXIV1: 30.
52. Уикс, Джеффри (2001). Форма пространства . CRC Press. ISBN 978-0-8247-0709-5.
53. Каку, М. (2006). Параллельные миры. Knopf Doubleday Publishing Group.
54. Макки, Мэгги (25 сентября 2014 г.). «Гениалистично: Пол Дж. Стейнхардт — физик из Принстона о том, что не так с теорией инфляции, и его взгляд на Большой взрыв». Nautilus . № 17. NautilusThink Inc. Получено 31 марта 2017 г.
55. Кембриджский философский словарь , второе издание, стр. 429
56. "Бесконечность и NaN (библиотека GNU C)". www.gnu.org . Получено 2021-03-15 .
57. Гослинг, Джеймс и др. (27 июля 2012 г.). "4.2.3.". Спецификация языка Java (Java SE 7 ред.). Калифорния: Oracle America, Inc. Архивировано из оригинала 9 июня 2012 г. Получено 6 сентября 2012 г.
58. Stokes, Roger (июль 2012). "19.2.1". Learning J. Архивировано из оригинала 25 марта 2012. Получено 6 сентября 2012 .
59. Клайн, Моррис (1985). Математика для нематематиков . Courier Dover Publications. стр. 229. ISBN 978-0-486-24823-3., Раздел 10-7, стр. 229 Архивировано 16.05.2016 на Wayback Machine
60. Шаттшнайдер, Дорис (2010). «Математическая сторона М. К. Эшера» (PDF) . Уведомления AMS . 57 (6): 706–718.
61. Бесконечные шахматы на Chess Variant Pages Архивировано 2 апреля 2017 г. на Wayback Machine Бесконечная шахматная схема.
62. "Бесконечные шахматы, PBS Infinite Series" Архивировано 07.04.2017 в Wayback Machine PBS Infinite Series, с академическими источниками Дж. Хэмкинса (бесконечные шахматы: Эванс, CDA; Джоэл Дэвид Хэмкинс (2013). "Трансфинитные игровые значения в бесконечных шахматах". arXiv : 1302.4377 [math.LO].и Эванс, CDA; Джоэл Дэвид Хэмкинс; Норман Льюис Перлмуттер (2015). "Позиция в бесконечных шахматах со стоимостью игры $ω^4$". arXiv : 1510.08155 [math.LO].).
63. Элглали, Ясмин Надер; Куек, Фрэнсис. "Обзор книги "Откуда берется математика: как воплощенный разум воплощает математику" Джорджа Лакоффа и Рафаэля Э. Нуньеса" (PDF) . CHI 2009 . Архивировано из оригинала (PDF) 26.02.2020 . Получено 25.03.2021 .

Библиография

• Каджори, Флориан (1993) [1928 и 1929], История математических обозначений (два тома, объединенные в один), Довер, ISBN 978-0-486-67766-8
• Джеминьяни, Майкл С. (1990), Элементарная топология (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-66522-1
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых величин (2-е изд.)
• Мэддокс, Рэндалл Б. (2002), Математическое мышление и письмо: переход к абстрактной математике , Academic Press, ISBN 978-0-12-464976-7
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних времен до наших дней , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 1197–1198, ISBN 978-0-19-506135-2
• Рассел, Бертран (1996) [1903], Принципы математики , Нью-Йорк: Norton, ISBN 978-0-393-31404-5, OCLC  247299160
• Саган, Ганс (1994), Кривые, заполняющие пространство , Springer, ISBN 978-1-4612-0871-6
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативная редакция), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
• Тейлор, Ангус Э. (1955), Advanced Calculus , Blaisdell Publishing Company
• Уоллес, Дэвид Фостер (2004), «Всё и даже больше: Краткая история бесконечности» , Norton, WW & Company, Inc., ISBN 978-0-393-32629-1

Источники

• Aczel, Amir D. (2001). Тайна Алефа: Математика, Каббала и Поиск Бесконечности . Нью-Йорк: Pocket Books. ISBN 978-0-7434-2299-4.
• DP Agrawal (2000). Древняя джайнская математика: введение , Infinity Foundation.
• Белл, Дж. Л.: Непрерывность и бесконечно малые. Стэнфордская энциклопедия философии. Пересмотрено в 2009 г.
• Коэн, Пол (1963), «Независимость гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 50 (6): 1143–1148, Bibcode : 1963PNAS...50.1143C, doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC  221287 , PMID  16578557.
• Джайн, Л. К. (1982). Точные науки из джайнских источников .
• Джейн, Л. К. (1973). «Теория множеств в джайнской школе математики», Индийский журнал истории науки .
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Гребень павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.). Penguin Books . ISBN 978-0-14-027778-4.
• H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Первое издание 1976; второе издание 1986. Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил второе издание в формате .pdf для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
• Эли Маор (1991). К бесконечности и далее. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7.
• О'Коннор, Джон Дж. и Эдмунд Ф. Робертсон (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор» Архивировано 16 сентября 2006 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor .
• О'Коннор, Джон Дж. и Эдмунд Ф. Робертсон (2000). «Джайнская математика» Архивировано 20 декабря 2008 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor .
• Пирс, Ян. (2002). «Джайнизм», Архив истории математики Мактьютора .
• Ракер, Руди (1995). Бесконечность и разум: наука и философия бесконечности . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00172-2.
• Сингх, Навджйоти (1988). «Джайнская теория актуальной бесконечности и трансфинитных чисел». Журнал Азиатского общества . 30 .

Внешние ссылки

• «Бесконечность». Интернет-энциклопедия философии .
• Infinity в программе In Our Time на BBC
• A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets Архивировано 27.02.2010 в Wayback Machine , Питера Субера. Из St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. Отдельное приложение к Infinite Reflections , ниже. Краткое введение в математику Кантора бесконечных множеств.
• Бесконечные размышления Архивировано 2009-11-05 в Wayback Machine , Питером Субером. Как математика бесконечности Кантора решает несколько древних философских проблем бесконечности. Из St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
• Грайм, Джеймс. «Бесконечность больше, чем ты думаешь». Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2017-10-22 . Получено 2013-04-06 .
• Отель Инфинити
• Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор». Архивировано 16 сентября 2006 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor .
• Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон (2000). «Джайнская математика» Архивировано 20 декабря 2008 г. в Wayback Machine , архив истории математики MacTutor .
• Ян Пирс (2002). «Джайнизм», архив истории математики MacTutor .
• Тайна Алефа: математика, каббала и поиск бесконечности
• Словарь бесконечности (сборник статей о бесконечности в физике, математике и философии)