В геометрии точка на бесконечности или идеальная точка — это идеализированная предельная точка на «конце» каждой линии.
В случае аффинной плоскости (включая евклидову плоскость ) существует одна идеальная точка для каждого пучка параллельных прямых плоскости. Присоединение этих точек создает проективную плоскость , в которой ни одна точка не может быть различима, если мы «забудем», какие точки были добавлены. Это справедливо для геометрии над любым полем , и, в более общем смысле, над любым телом . [1]
В вещественном случае точка на бесконечности завершает линию в топологически замкнутую кривую. В более высоких измерениях все точки на бесконечности образуют проективное подпространство с одной размерностью меньше, чем у всего проективного пространства, которому они принадлежат. Точка на бесконечности также может быть добавлена к комплексной линии ( которую можно рассматривать как комплексную плоскость), тем самым превращая ее в замкнутую поверхность, известную как комплексная проективная линия, C P 1 , также называемая сферой Римана (когда комплексные числа отображаются в каждую точку).
В случае гиперболического пространства каждая линия имеет две различные идеальные точки . Здесь множество идеальных точек принимает форму квадрики .
В аффинном или евклидовом пространстве большей размерности бесконечно удаленные точки — это точки, которые добавляются к пространству для получения проективного завершения . [ требуется ссылка ] Множество бесконечно удаленных точек называется, в зависимости от размерности пространства, бесконечно удаленной прямой , бесконечно удаленной плоскостью или бесконечно удаленной гиперплоскостью , во всех случаях проективным пространством с размерностью на одну меньше. [2]
Поскольку проективное пространство над полем является гладким алгебраическим многообразием , то же самое верно для множества точек на бесконечности. Аналогично, если основное поле является действительным или комплексным полем, множество точек на бесконечности является многообразием .
В художественном рисовании и технической перспективе проекция на плоскость изображения точки, находящейся в бесконечности, класса параллельных линий называется их точкой схода . [3]
В гиперболической геометрии точки на бесконечности обычно называются идеальными точками . [4] В отличие от евклидовой и эллиптической геометрий, каждая линия имеет две точки на бесконечности: если задана линия l и точка P, не лежащая на l , то правые и левые предельные параллели асимптотически сходятся к разным точкам на бесконечности.
Все бесконечно удаленные точки вместе образуют абсолют Кэли или границу гиперболической плоскости .
Симметрия точек и прямых возникает в проективной плоскости: так же, как пара точек определяет прямую, так и пара прямых определяет точку. Существование параллельных прямых приводит к установлению точки на бесконечности, которая представляет собой пересечение этих параллелей. Эта аксиоматическая симметрия возникла из изучения графической перспективы , где параллельная проекция возникает как центральная проекция , где центр C является точкой на бесконечности, или образной точкой . [5] Аксиоматическая симметрия точек и прямых называется дуальностью .
Хотя бесконечно удаленная точка рассматривается наравне с любой другой точкой проективного диапазона , в представлении точек с проективными координатами отмечается различие: конечные точки представлены с 1 в конечной координате, тогда как бесконечно удаленная точка имеет там 0. Необходимость представления бесконечно удаленных точек требует, чтобы была необходима одна дополнительная координата за пределами пространства конечных точек.
Эта конструкция может быть обобщена на топологические пространства . Для данного пространства могут существовать различные компактификации, но произвольное топологическое пространство допускает расширение Александрова , также называемое одноточечной компактификацией , когда исходное пространство само по себе не является компактным . Проективная прямая (над произвольным полем) является расширением Александрова соответствующего поля. Таким образом, окружность является одноточечной компактификацией вещественной прямой , а сфера является одноточечной компактификацией плоскости. Проективные пространства P n для n > 1 не являются одноточечными компактификациями соответствующих аффинных пространств по причине, указанной выше в § Аффинная геометрия, и пополнения гиперболических пространств с идеальными точками также не являются одноточечными компактификациями.