Точка схода — это точка на плоскости изображения перспективной визуализации , где кажется, что двумерные перспективные проекции взаимно параллельных линий в трехмерном пространстве сходятся. Когда набор параллельных линий перпендикулярен картинной плоскости , такая конструкция называется одноточечной перспективой, а их точка схода соответствует окуляру или «точке глаза», из которой изображение следует рассматривать для правильной геометрии перспективы. [1] В традиционных линейных рисунках используются объекты с одним-трем набором параллелей, определяющие от одной до трех точек схода.
Итальянский гуманист -эрудит и архитектор Леон Баттиста Альберти впервые представил эту концепцию в своем трактате о перспективе в искусстве De pictura , написанном в 1435 году. [2] Прямые железнодорожные пути — знакомый современный пример. [3]
Точку схода можно также называть «точкой направления», поскольку линии, имеющие одинаковый вектор направления, скажем, D , будут иметь одну и ту же точку схода. Математически пусть q ≡ ( x , y , f ) будет точкой, лежащей в плоскости изображения, где f — фокусное расстояние (камеры, связанной с изображением), и пусть v q ≡ (Икс/час,й/час,ж/час) — единичный вектор, связанный с q , где h знак равно √ Икс 2 + y 2 + f 2 . Если мы рассмотрим прямую линию в пространстве S с единичным вектором n s ≡ ( n x , ny , n z ) и ее точкой схода v s , единичный вектор, связанный с v s , равен ns , предполагая, что обе точки направлены в сторону плоскость изображения. [4]
Когда плоскость изображения параллельна двум осям мировых координат, линии, параллельные оси, пересекаемой этой плоскостью изображения, будут иметь изображения, которые встречаются в одной точке схода. Линии, параллельные двум другим осям, не образуют точки схода, поскольку они параллельны плоскости изображения. Это одноточечная перспектива. Аналогично, когда плоскость изображения пересекает две оси мировых координат, линии, параллельные этим плоскостям, встретятся, образуя две точки схода в плоскости изображения. Это называется двухточечная перспектива. В трехточечной перспективе плоскость изображения пересекает оси x , y и z , и поэтому линии, параллельные этим осям, пересекаются, в результате чего возникают три разные точки схода.
Теорема о точке схода является основной теоремой науки о перспективе. Он гласит, что изображение в картинной плоскости π линии L в пространстве, не параллельной картинке, определяется ее пересечением с π и точкой схода. Некоторые авторы использовали фразу: «Образ линии включает в себя точку схода». Гвидобальдо дель Монте дал несколько подтверждений, а Хамфри Диттон назвал результат «главным и великим предложением». [5] Брук Тейлор написал первую книгу о перспективе на английском языке в 1714 году, в которой был введен термин «точка схода» и был первым, кто полностью объяснил геометрию многоточечной перспективы, а историк Кирсти Андерсен собрал эти наблюдения. [1] : 244–6 Она отмечает, что с точки зрения проективной геометрии точка схода — это изображение точки на бесконечности, связанной с L , поскольку линия взгляда от O через точку схода параллельна L.
Как точка схода возникает на прямой, так и линия схода возникает в плоскости α , которая не параллельна изображению π . Учитывая точку глаза O и β — плоскость, параллельную α и лежащую на O , то линия схода α равна β ∩ π . Например, когда α — это базовая плоскость, а β — плоскость горизонта, то линия схода α — это линия горизонта β ∩ π .
Проще говоря, линия схода некоторой плоскости, скажем α , получается в результате пересечения плоскости изображения с другой плоскостью, скажем β , параллельной интересующей плоскости ( α ), проходящей через центр камеры. Для разных наборов прямых, параллельных этой плоскости α , их соответствующие точки схода будут лежать на этой исчезающей линии. Линия горизонта — это теоретическая линия, которая представляет уровень глаз наблюдателя. Если объект находится ниже линии горизонта, его линии наклоняются к линии горизонта. Если объект находится выше, они наклоняются вниз.
1. Проекции двух наборов параллельных линий, лежащих в некоторой плоскости π A, кажутся сходящимися, т. е. точка схода, связанная с этой парой, на линии горизонта или линия схода H , образованная пересечением плоскости изображения с плоскостью, параллельной π A и проходящий через точечное отверстие. Доказательство: рассмотрим базовую плоскость π как y = c , которая для простоты ортогональна плоскости изображения. Также рассмотрим линию L , лежащую в плоскости π , которая определяется уравнением ax + bz = d . Используя перспективные проекции-обскуры, точка на L , проецируемая на плоскость изображения, будет иметь координаты, определенные как:
Это параметрическое представление изображения L' линии L с параметром z . Когда z → −∞ , он останавливается в точке ( x′ , y′ ) = (−ФБ/а,0) на оси x’ плоскости изображения. Это точка схода, соответствующая всем параллельным линиям с наклоном —б/ав плоскости π . Все точки схода, связанные с разными линиями с разными наклонами, принадлежащими плоскости π , будут лежать на оси x' , которая в данном случае является линией горизонта.
2. Пусть A , B и C — три взаимно ортогональные прямые в пространстве и v A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) — три соответствующие точки схода соответственно. Если мы знаем координаты одной из этих точек, скажем, v A , и направление прямой линии на плоскости изображения, которая проходит через вторую точку, скажем, v B , мы можем вычислить координаты как v B, так и v C. [4]
3. Пусть A , B и C — три взаимно ортогональные прямые в пространстве и v A ≡ ( x A , y A , f ) , v B ≡ ( x B , y B , f ) , v C ≡ ( x C , y C , f ) — три соответствующие точки схода соответственно. Ортоцентр треугольника с вершинами в трёх точках схода — это пересечение оптической оси и плоскости изображения. [4]
Криволинейная перспектива — это рисунок с 4 или 5 точками схода. В 5-точечной перспективе точки схода отображаются в круг с четырьмя точками схода в кардинальных заголовках N, W, S, E и одной в начале круга.
Обратная перспектива — это рисунок с точками схода, расположенными за пределами картины с иллюзией, что они находятся «перед» картиной.
Некоторые методы обнаружения точки схода используют сегменты линий, обнаруженные на изображениях. Другие методы включают непосредственный учет градиентов интенсивности пикселей изображения.
На изображении присутствует значительно большое количество точек схода. Поэтому цель состоит в том, чтобы обнаружить точки схода, соответствующие основным направлениям сцены. Обычно это достигается в два этапа. На первом этапе, который, как следует из названия, называется этапом накопления, сегменты линий группируются в предположении, что кластер будет иметь общую точку схода. Следующий шаг находит основные кластеры, присутствующие на сцене, и поэтому он называется шагом поиска.
На этапе накопления изображение отображается в ограниченное пространство, называемое аккумуляторным пространством. Пространство аккумулятора разделено на блоки, называемые ячейками. Барнард [6] предположил, что это пространство представляет собой гауссову сферу с центром в оптическом центре камеры как аккумуляторное пространство. Отрезок линии на изображении соответствует большому кругу на этой сфере, а точка схода на изображении отображается в точку. Гауссова сфера имеет аккумуляторные ячейки, которые увеличиваются, когда через них проходит большой круг, т.е. на изображении отрезок линии пересекает точку схода. С тех пор было сделано несколько модификаций, но одним из наиболее эффективных методов было использование преобразования Хафа , отображающее параметры отрезка прямой в ограниченное пространство. Каскадное преобразование Хафа применялось для нескольких точек схода.
Процесс сопоставления изображения с ограниченными пространствами приводит к потере фактических расстояний между сегментами линий и точками.
На этапе поиска находится аккумуляторная ячейка, через которую проходит максимальное количество отрезков линии. За этим следует удаление этих сегментов линий, и шаг поиска повторяется до тех пор, пока это количество не станет ниже определенного порога. Поскольку теперь доступна большая вычислительная мощность, можно найти точки, соответствующие двум или трем взаимно ортогональным направлениям.
.jpg/1280px-Entrega_de_las_llaves_a_San_Pedro_(Perugino).jpg)